河南省鹤壁高中2020-2021学年高二数学下学期寒假学习效果检测试题 理

1、河南省鹤壁高中2020-2021学年高二数学下学期寒假学习效果检测试题 理河南省鹤壁高中2020-2021学年高二数学下学期寒假学习效果检测试题 理年级：姓名：18河南省鹤壁高中2020-2021学年高二数学下学期寒假学习效果检测试题 理考试时间：120分钟一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1复数z满足z（1+i）1i，则z的虚部等于（）aib1c0d12要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）a2种b3种c6种d8种3设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）a15x4b15x4c20ix4d20i

2、x44如图，正方形abcd的边长为1，延长ba至e，使ae1，连接ec、ed，则sinced（）a31010b1010c510d5155设随机变量n（，1），函数f（x）x2+2x没有零点的概率是0.5，则p（01）（）附：若n（，2），则p（x+）0.6826，p（2x+2）0.9544a0.1587b0.1359c0.2718d0.34136将四颗骰子各掷一次，记事件a“四个点数互不相同”，b“至少出现一个5点”，则概率p（b|a）等于（）a23b16c60671d2406717数列an中，a12，am+naman若ak+1+ak+2+ak+1021525，则k（）a2b3c4d58用数学

3、归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+n）2n123（2n1）（nn*）从k（kn*）到k+1，若设f（k）（k+1）（k+2）（k+k），则f（k+1）等于（）af（k）+2（2k+1）bf（k）2（2k+1）cf(k)+2k+1k+1df(k)2k+1k+19如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，ab、cd是底面圆o的两条互相垂直的直径，e是母线pb的中点，已知过cd与e的平面与圆锥侧面的交线是以e为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点p的距离为（）a1b32c62d10410如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p为对角线bd1的三等分点，p到各顶点的距离的不同取值有（）a

4、3个b4个c5个d6个11若n是正奇数，则7n+cn17n1+cn27n2+cnn-17被9除的余数为（）a2b5c7d812已知函数f(x)=emx-1mlnx，当x0时，f（x）0恒成立，则m的取值范围为（）a（1，+）b（e，+）c(1e，e)d(1e，+)二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13若x，yr+，且1x+2y3，则yx的最大值为 14曲线ylnx-1x在x1处的切线的倾斜角为，则sin2 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜

5、的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 16设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为f1、f2，若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则|pf1|+|pf2|的取值范围是 三解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c设（sinbsinc）2sin2asinbsinc（1）求a；（2）若2a+b2c，求sinc18（12分）数列an中，a1=13，2an+1an+an+1an0（1）求an的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+an1an17的n的最大值19（12分）如图，d为圆锥的

6、顶点，o是圆锥底面的圆心，ae为底面直径，aeadabc是底面的内接正三角形，p为do上一点，po=66do（1）证明：pa平面pbc；（2）求二面角bpce的余弦值20（12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（）用x表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量x的分布列和数学期望；（）设m为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件m发生的概率21（12分）已知椭圆e：x2a2+y2b2=1（ab0）的半焦距为c，原点o

7、到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为12c（）求椭圆e的离心率；（）如图，ab是圆m：（x+2）2+（y1）2=52的一条直径，若椭圆e经过a、b两点，求椭圆e的方程22（12分）已知函数f（x）x2ex（）求f（x）的极小值和极大值；（）当曲线yf（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围鹤壁高中2022届寒假学习效果检测数学（理科）试卷参考答案一选择题（共12小题）1【解答】解：复数z满足z（1+i）1i，z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=1-2i+i21-i2=-i，z的虚部为1故选：b2【解答】解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能

8、选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：c32c11a22=6故选：c3【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为c64x4i215x4，故选：a4【解答】解：法一：利用余弦定理在ced中，根据图形可求得ed=2，ce=5，由余弦定理得cosced=5+2-1225=31010，sinced=1-910=1010故选b法二：在ced中，根据图形可求得ed=2，ce=5，cde135，由正弦定理得cesincde=cdsinced，即sinced=cdsincdece=sin1355=1010故选：b5【解答】解：由题意得，p（01）=0.9544-0.68262=0.

9、1359，故选：b6【解答】解：根据题意，记事件a“四个点数互不相同”，b“至少出现一个5点”，则p（ab）=4a536666，p（a）=a646666，则p（b|a）=p(ab)p(a)=4a53a64=23，故选：a7【解答】解：由a12，且am+naman，取m1，得an+1a1an2an，an+1an=2，则数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，则ak+1=22k=2k+1，ak+1+ak+2+ak+10=2k+1(1-210)1-2=211+k-2k+1=21525，k+15，即k4故选：c8【解答】解：由数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+n）2n13（2n1）（nn*）

10、时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是(2k+1)(2k+2)k+1=2（2k+1），则f（k+1）f（k）2（2k+1），故选：b9【解答】解：如图所示，过点e作efab，垂足为fe是母线pb的中点，圆锥的底面半径和高均为1，ofef=12oe=22在平面ced内建立直角坐标系设抛物线的方程为y22px（p0），f为抛物线的焦点c(22，1)，1=222p，解得p=22f(24，0)即点f为oe的中点，该抛物线的焦点到圆锥顶点p的距离为(22)2+(24)2=104，故选：d10【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|ab|3，则a（3，0，0），b（3

11、，3，0），c（0，3，0），d（0，0，0），a1（3，0，3），b1（3，3，3），c1（0，3，3），d1（0，0，3），bd1=（3，3，3），设p（x，y，z），bp=13bd1=（1，1，1），dp=db+(-1，-1，1)=（2，2，1）|pa|pc|pb1|=12+22+12=6，|pd|pa1|pc1|=22+22+12=3，|pb|=3，|pd1|=22+22+22=23故p到各顶点的距离的不同取值有6，3，3，23共4个故选：b11【解答】解：n是正奇数，则7n+cn17n1+cn27n2+cnn-17+cnn-1（7+1）n1（91）n19ncn1 9n1+cn2 9n

12、2+cnn-1 9-cnn-1，它被9除的余数为-cnn-12，即它被9除的余数为7，故选：c12【解答】解：由题意，若m0显然f（x）不是恒大于零，故m0（由4个选项也是显然，可得m0），则显然f(x)=emx-1mlnx0在（0，1上恒成立；当x1时，f(x)=emx-1mlnx0emx1mlnxmxemxxlnx=lnxelnx，令g（t）tet（t0），g（t）（1+t）et0，g（t）在（0，+）上单调递增因为mx0，lnx0（x1），所以mxemxlnxelnxmxlnx，即mlnxx(x1)，再设h(x)=lnxxh(x)=1-lnxx2(x1)，令h（x）0，则xe，易得h（x

13、）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以h(x)max=h(e)=1e，故m1e，所以m的取值范围为(1e，+)故选：d二填空题（共4小题）13【解答】解：3=1x+2y21x2y，yx（322）2=98；故答案为：9814【解答】解：由ylnx-1x，得y=1x+1x2，曲线ylnx-1x在x1处的切线斜率k2，曲线ylnx-1x在x1处的切线的倾斜角为，tan2，sin22sincos=2tan1+tan2=45故答案为：4515【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包

14、含的情况有：前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p10.40.60.50.50.60.036，前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p20.60.40.50.50.60.036，前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p30.60.60.50.50.60.054，前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p30.60.60.50.50.60.054，则甲队以4：1获胜的概率为：pp1+p2+p3+p40.036+0.036+0.054+0.0540.18故答案为：0.1816【解答】解：如图，由双曲线x2-y23=1，得a21，b23，c=a2+b2=2不妨

15、以p在双曲线右支为例，当pf2x轴时，把x2代入x2-y23=1，得y3，即|pf2|3，此时|pf1|pf2|+25，则|pf1|+|pf2|8；由pf1pf2，得|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=4c2=16，又|pf1|pf2|2，两边平方得：|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=4， |pf1|pf2|6，联立解得：|pf1|=1+7，|pf2|=-1+7，此时|pf1|+|pf2|=27使f1pf2为锐角三角形的|pf1|+|pf2|的取值范围是（27，8）故答案为：（27，8）三解答题（共6小题）17【解答】解：（1）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，

16、c（sinbsinc）2sin2asinbsin csin2b+sin2c2sinbsincsin2asinbsinc，由正弦定理得：b2+c2a2bc，（2分）cosa=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，0a，a=3 （5分）（2）2a+b2c，a=3，由正弦定理得2sina+sinb=2sinc，62+sin(23-c)=2sinc （7分）解得sin（c-6）=22，c-6=4，c=4+6， （9分）sincsin（4+6）sin4cos6+cos4sin6=2232+2212=6+24（10分）18【解答】解：（1）2an+1an+an+1an01an+1-1an=2，（2分）

17、又1a1=3，数列1an是以3为首项，2为公差的等差数列，1an=2n+1，an=12n+1；（5分）（2）由（1）知，an-1an=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)(n2)，（7分）a1a2+a2a3+an1an=12(13-15)+(15-17)+(12n-1-12n+1)=12(13-12n+1)，a1a2+a2a3+an1an17，12(13-12n+1)17，（10分）4n+242，n10，nn*，n的最大值为9（12分）19【解答】解：（1）不妨设圆o的半径为1，oaoboc1，aead2，ab=bc=ac=3，do=da2-oa2=3，po=66do=2

18、2，pa=pb=pc=po2+ao2=62，（2分）在pac中，pa2+pc2ac2，故papc，（4分）同理可得papb，又pbpcp，（5分） 故pa平面pbc；（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有b(32，12，0)，c(-32，12，0)，p(0，0，22)，e（0，1，0），故bc=(-3，0，0)，ce=(32，12，0)，cp=(32，-12，22)，（8分）设平面pbc的法向量为m=(x，y，z)，则mbc=-3x=0mcp=32x-12y+22z=0，可取m=(0，2，1)，（10分）同理可求得平面pce的法向量为n=(2，-6，-23)，（11分）故cos=|m

19、n|m|n|=255，即二面角bpce的余弦值为255（12分）20【解答】解：（i）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故xb（3，23），（2分） 从而p（xk）=c3k(23)k(13)3-k，k0，1，2，3所以，随机变量x的分布列为：x0123p127 29 49 827 （4分） 随机变量x的期望e（x）323=2（6分）（ii）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为y，则yb（3，23），（8分）且mx3，y1x2，y0，由题意知x3，y1与x2，y0互斥，且x3与y1，x2与y0相互独立，（10分）由（i）知，p（m）p（x3，y1x

20、2，y0p（x3，y1+px2，y0p（x3）p（y1）+p（x2）p（y0）=82729+49127=20243 （12分）21【解答】解：（）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cybc0，则原点到直线的距离为d=bcb2+c2=12c，即为a2b，（2分）e=ca=1-b2a2=32；（4分）（）由（）知，椭圆e的方程为x2+4y24b2，由题意可得圆心m（2，1）是线段ab的中点，则|ab|=10，易知ab与x轴不垂直，记其方程为yk（x+2）+1，代入可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）24b20，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=-8k(1+2k)1+4k2x1x2=4(1+2k)2-4b21+4k2，（6分）由m为ab的中点，可得x1+x24，得-8k(1+2k)1+4k2=-4，解得k=12，（8分