一、连续函数的运算法则

1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数 xx cot,tan在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 连续xx cos,sin 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如例如, 例如例如,xysin在 , 22 上连续单调递增， 其反函数xyarcsin (递减). (证明

2、略) 在 1 , 1 上也连续单调递增. 递增 (递减)也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的. x ey 在),(上连续 单调 递增, 其反函数xyln在),0(上也连续单调递增. 证证: 设函数)(xu, 0 连续在点 x .)( 00 ux ,)( 0 连续连续在点在点函数函数uufy . )()(lim 0 0 ufuf uu 于是 )(lim 0 xf xx )(lim 0 uf uu )( 0 uf)( 0 xf 故复合函数)(xf. 0 连续在点 x 又如又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如, x y 1

3、sin是由连续函数链 ),(,sinuuy , 1 x u * Rx 因此 x y 1 sin在 * Rx上连续 . 复合而成 , x y o x y 1 sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 设)()(xgxf与 均在,ba上连续, 证明函数 )(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续. 证证: 2 1 )(x)()(xgxf)()(xgxf )()()( 2 1 xgxfx)()(xgxf 根据连续函数运算法则 , 可知 )(, )(xx也在,ba上 连续 . )(, )(min)(xgxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的

4、连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如例如, 2 1xy 的连续区间为 1, 1 (端点为单侧连续) xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2( 1cosxy的定义域为Znnx,2 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求. )1 (log lim 0 x x a x 解解: 原式 x x a x 1 )1 (loglim 0 e a log aln 1 例例3. 求. 1 lim 0 x a x x 解解: 令, 1 x at则, )1 (logtx a 原式 )

5、1 (log lim 0t t a t aln 说明说明: 当, ea 时, 有0 x )1ln(x1 x e xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 0 cos1 2 lim. 1 x x x e 解解: : 所以运用等价无穷小的代换所以运用等价无穷小的代换, , 有有 2 0 cos1 2 lim 1 x x x e 2 2 0 () 2 2 lim x x x 2 2 0 1 lim() 8 x x x 1 8 例例4. 求求 0, x 因为当时 2 22 cos1 ()2, 1 22 x xx ex 1,4 1, )( xx xx x例例5. 设, 1,2 1, )( 2 xx

6、xx xf 解解: 讨论复合函数)(xf 的连续性 . )(xf 1, 2 xx 1,2xx 故此时连续; 而 )(lim 1 xf x 2 1 lim x x 1 )(lim 1 xf x )2(lim 1 x x 3 故 )(xfx = 1为第一类间断点 . 1)(),( 2 xx 1)(, )(2xx ,)(1为初等函数时xfx 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 023 lim( ),lim( ),lim( ). xxx f xf xf x 例例6. 求函数求函数 32 2 33 ( ) 6 xxx f x xx 的连续区间的连续区间, 并求并求 2 (3

7、)(1) (3)(2) xx xx 2 1 3 2 x x x 32 2 33 ( ) 6 xxx f x xx 因为 (, 3)( 3,2)(2,) 所以函数所以函数f (x) 的连续区间为的连续区间为 解解: 32 2 00 33 lim( )lim 6 xx xxx f x xx 而而 32 2 22 33 lim( )lim 6 xx xxx f x xx 32 2 33 33 lim( )lim 6 xx xxx f x xx 2 3 (3)(1) lim (3)(2) x xx xx 2 3 18 lim 25 x x x 1 2 limlnln(2). n nnn limln 2

8、 n n n n 2 limln(1) 2 n n n 2 lim ln(1) 2 n n n 2 lnlim(1) 2 n n n 解解: limlnln(2) n nnn 2 lim 2 ln n n n e 2 ln2e 例例7. 求求 内容小结内容小结 基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续 连续函数的四则运算四则运算的结果连续 连续函数的反函数反函数连续 连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5 思考与练习思考与练习 ,)( 0 连续在点若xx