第五章 测量误差基础知识

1、第五章第五章 测量误差基础知识测量误差基础知识 昆明理工大学土木工程系昆明理工大学土木工程系 土土 木木 工工 程程 测测 量量 通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差 的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的 感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包 括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。 对未知量进行测量的过程，称为对未知量进行测量的过程，称为观测观测。测量所获得的数值称为。测

2、量所获得的数值称为 观测值观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 质上表现为质上表现为观测值观测值与其与其真实值真实值( (简称为简称为真值真值) )之间的差异，称为之间的差异，称为测量测量 误差误差 或或 观测误差观测误差。 5.1.1 5.1.1 观测及观测误差观测及观测误差 用用L Li i代表观测值，代表观测值，X X代表真值，则有代表真值，则有 i i=L=Li i-X-X(5-1)(5-1) 式中式中i i就是就是观测误差观测误差，通常称为，通常称为 真误差真误差，简称误差。，简称误差。 一般情况下，只要是观测

3、值必然含有误差。一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 观测误差来源于三个方面：观测误差来源于三个方面： 观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测者视觉鉴别能力和技术水平； 仪器、工具的精密程度；仪器、工具的精密程度； 观测时外界条件的好坏。观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果 的精度。观测条件相同的各次观测称为的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测等精度观测；观测条件不相；观测条件不相 同的各次观测，称为同的各次观测，称为非等精度观测非等精度观测。 5.1.2 5.1.2 观测误差的来源观测误差的

4、来源 观测条件观测条件 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至 趋近于零。趋近于零。 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的 误差误差-容许误差容许误差。 根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三 种，即种，即 =1 1+2 2+3 3 (5-2) (5-2) 5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法 粗差粗差是一种大级别的观测误差，例如超限的观测值中往是一种大级别的观

5、测误差，例如超限的观测值中往 往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。 产生的原因产生的原因：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故 障等。障等。 含有粗差的观测值都不能使用含有粗差的观测值都不能使用。在观测中应尽量避免出现粗差。在观测中应尽量避免出现粗差 ，发现粗差的有效方法是，进行必要的，发现粗差的有效方法是，进行必要的重复重复观测，通过多余观测条观测，通过多余观测条 件，采用必要而又严密的件，采用必要而又严密的检核检核、验算验算等。等。 系统误差系统误差在一定的观测条件下进行一

6、系列观测时，符号在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号 和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法 在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统 误差的影响误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前

7、后。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后 视距差等。视距差等。 5.1.3 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法 找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的 改正改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖 直角进行指标差改正等。直角进行指标差改正等。 将系统误差限制在允许范围内将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改。有的系统误差既不便计算改 正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部正，又不能采用一

8、定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管管 水准器轴水准器轴不垂直于不垂直于仪器竖轴仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统的误差对水平角的影响，对于这类系统 误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细 整平将其影响减小到允许范围内。整平将其影响减小到允许范围内。 偶然误差偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测 时，符号和大小均不一定，有偶然性，这种误差称为偶然误差。时，符号和大小均不一定，有偶然性，这种误差称为偶然误差。 5.1 观测误差概述观测误差概述 5.1.3

9、 5.1.3 观测误差的分类及其处理方法观测误差的分类及其处理方法 产生偶然误差的原因往往是产生偶然误差的原因往往是不固定的不固定的和和难以控制难以控制的，如观测者的，如观测者 的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也 会产生偶然误差。会产生偶然误差。 粗差粗差可以发现并被剔除，可以发现并被剔除，系统误差系统误差能够加以改正，而能够加以改正，而偶然误差偶然误差 是不可避免是不可避免的，的，并且是消除不了的并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的。它在消除了粗差和系统误差的 观测值中占主导地位。观测值中占主导地位。

10、从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性 ，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且 误差个数越多，规律性越明显。误差个数越多，规律性越明显。 例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了358358个三角形的全部内个三角形的全部内 角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于 真值真值180180( (表表5-1)5-1) 负 误 差 正 误 差 合 计 误

11、 差 区 间 d 个 数k 频 率k/n 个 数k 频 率k/n 个 数k 频 率k/n 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 18 21 21 24 24 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.

12、017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00 偶然误差处理原则偶然误差处理原则 多余观测，制定限差多余观测，制定限差, ,评定精度。评定精度。 偶然误差的特性分析偶然误差的特性分析 对某一三角形的三个内角进行观测，其和对某一三角形的三个内角进行观测，其和 不等于不等于180180，说明观测存在误差说明观测存在误差。 B C B C A 偶然误差的特性分析偶然误差的特性分析 例如：例如： 对对358358个三角形在相同的观测条件下观个三角形在相同的观测条件下观 测了全部内角，三角形内角和的误差测了全部内角，三角形内角和的误差 i=i=三角形内角三角形内角( (测量值测量值

13、-180-180） 其结果其结果 如表如表5-15-1，图，图5-2, 5-2, 分析三角形内角和分析三角形内角和 的误差的误差 i i的规律。的规律。 偶然误差的特性分析偶然误差的特性分析 在许多实际问题中，遇到的随机变量受到为数众多在许多实际问题中，遇到的随机变量受到为数众多 的相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的的相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的 影响都是微小的，且这些影响是可以叠加的，具有影响都是微小的，且这些影响是可以叠加的，具有 这些特点的随机变量一般可以认为属于正态分布函这些特点的随机变量一般可以认为属于正态分布函 数数N(, )N(, )。 2 2 12 2 (

14、 )fe 2 14 误差区间误差区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值 d d “ K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.059

15、44440.123 0.123 1215 121517170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.092 0.092 1518 151813130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.073 0.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.031 0.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.017 0.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1

16、.000181 0.505 177 0.495 358 1.000 偶然误差的统计偶然误差的统计 表表5-15-1 K：观测个数，：观测个数，K/n：频率：频率 15 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X= y=f( ) k/d 正态分布正态分布 2 2 12 2 ( )fe 图图5-25-2 偶然误差的特性偶然误差的特性: : 1.1.有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。 2. 2.渐降性：误差小的出现的概率大渐降性：误差小的出现的概率大 3.3.对称性：绝对值相等的正负

17、误差概率相等对称性：绝对值相等的正负误差概率相等 4.4.抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近 于零，数学期望值（加权平均值）于零，数学期望值（加权平均值）E(E(）0 0。 5 5-2 评定精度的标准评定精度的标准 1.1.观测观测精度精度: :是指观测误差分布的密集或离散程度. . 2.2.精密度精密度: :表示测量结果中的偶然误差大小的程度. . 3.3.准确度准确度: :是测量结果中系统误差与偶然误差的综 合,表示测量结果与真值的一致程度. . 4.4.多余观测多余观测: :即观测值的个数多于确定未知量所必 需观测的个数.

18、 5.5.闭合差闭合差: :有了多余观测值,在观测值间出现的矛盾. . 6.6.测量平差测量平差: :对这些带有偶然误差的观测值进行处 理,消除闭合差,求出未知量的最可靠值.平差分为 直接平差、间接平差、条件平差。 7.7.中误差中误差: :指误差的概率密度函数的标准差的估值. . 误差的概率密度函数为误差的概率密度函数为： 2 2 12 2 ( )fe 式中式中 是误差分布的方差，由方差的定义知：是误差分布的方差，由方差的定义知： 2 22222 22 ( )()(2()() )( ) ( )( ) DEEEEEE Efd 而而 就是标准差（均方差）就是标准差（均方差）： 2 ()E 中误差

19、：中误差： 222 1 2 1 ()lim() lim N kk n k N kk n k fdfd n n 1 2 2 1 1 lim(,) lim N k kk n k N k n k n nnn nn n 为误差 出现的次数 2 lim n n 即 lim n n 故 不同标准差不同标准差 对应着不同形状的分布曲线，对应着不同形状的分布曲线， 越小，曲线越陡越小，曲线越陡 峭，峭， 越大，曲线越平缓。越大，曲线越平缓。 的大小反映了精度的高低，故的大小反映了精度的高低，故 用标准差用标准差 作为衡量精度的指标。作为衡量精度的指标。 标准差标准差 标准差与观测条件有关。标准差与观测条件有关

20、。 ii lX n m 一、中误差一、中误差 若被观测对象的真值已知为若被观测对象的真值已知为X.X. 则真误差则真误差 标准差常用标准差常用mm表示，在测量上称为中误差表示，在测量上称为中误差. . 观测值观测值 真误差总个数真误差总个数 22 按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差 第一组观测第二组观测次序 观测值 l2观测值 l2 11800003-39180000000 21800002-241595959+11 31795958+241800007-749 41795956+4161800002-24 51800001-111800001-11 618000000017

21、95959+11 71800004-4161795952+864 81795957+39180000000 91795958+241795957+39 101800003-391800001-11 |247224130 中误差 7.2 2 1 n m 6.3 2 2 n m 二、相对误差二、相对误差 在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量 还不能正确反映出测还不能正确反映出测 量的质量。例如，用钢卷尺丈量量的质量。例如，用钢卷尺丈量200m200m 和和40m40m两段距离，量距的中误差都是两段距离，量距的中误差都是2cm2cm，但不能

22、认为两，但不能认为两 者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关，为此，者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关，为此， 用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为“ “相对中误差相对中误差” ”） 描述观测的质量，上述例子中，前者的相对中误差为描述观测的质量，上述例子中，前者的相对中误差为0 00202 200 200 1 11000010000，而后者则为，而后者则为0 002024040l l20002000，前，前 者的量距精度高于后者。者的量距精度高于后者。 三三 容许误差容许误差 m m 3 2 允 允 在大量同精度测量的一组误差中，偶然

23、误差的概率分布为在大量同精度测量的一组误差中，偶然误差的概率分布为： P（-m +m）68.3 P（-2m +2m）95.5 P（-3m +3m）99.7 可见，绝对值大于可见，绝对值大于3m的偶然误差出现的概率仅为的偶然误差出现的概率仅为 0.3，属于不可能事件。因此，以，属于不可能事件。因此，以2m或或3m的偶的偶 然误差作为极限误差或容许误差。然误差作为极限误差或容许误差。 容许误差容许误差 但大多数被观测对象的真值不知，如何评但大多数被观测对象的真值不知，如何评 定观测值的精度定观测值的精度? 即即： =？ m=？ 寻找最接近真值的寻找最接近真值的最或然值最或然值x ? 对同一个量进行

24、多次直接观测，根据最小二乘法原对同一个量进行多次直接观测，根据最小二乘法原 理，求其最或然值。理，求其最或然值。 据此进行平差，称为直接平差法，它分为等精度直据此进行平差，称为直接平差法，它分为等精度直 接平差和非等精度直接平差。接平差和非等精度直接平差。 5 5-3 等精度测量的最或然值等精度测量的最或然值 -算术平均值算术平均值 x n l n i i l 1 满足最小二乘原则的最优解满足最小二乘原则的最优解 算术平均值算术平均值： 观测条件：仪器、观测者水平、外界环境等综合条件。观测条件：仪器、观测者水平、外界环境等综合条件。 观测条件相同的测量称为等精度测量。观测条件相同的测量称为等精

25、度测量。 观测条件不相同的测量称为非等精度测量。观测条件不相同的测量称为非等精度测量。 27 证明（证明（x是最或然值是最或然值） nn lX lX lX 22 11 X n l n n n n l X n lim 0 lim 4 ）特性根据偶然误差第（ x n l 28 5 5-4 测测量量值的精度评定值的精度评定 若被观测对象的真值不知，则取平均数若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解为最优解x （最或然值）（最或然值） 改正值：改正值： 标准差可按下式计算标准差可按下式计算 iii lxllv 1 1 2 n v m n i i 1 1 2 2 n v n i i l 白塞尔公式白

26、塞尔公式 29 证明证明： 将上列左右两式将上列左右两式两边两边相减，得相减，得 nn lX lX lX 22 11 11 11 11 lxv lxv lxv )( )( )( 22 11 xXv xXv xXv nn ， x X设 ii V则 将上式两边平方并求和，得将上式两边平方并求和，得： 2 n2VVV 0 n L n.xn.: i i i LLV由于 nn, ii VV所以因为 2 2 n , n 所以 1nn VV 所以 1n m VV 中误差 32 计算标准差计算标准差（中误差）算（中误差）算例例 次序观测值 l改正数 vvv 1123.457-525 2123.450+24 3

27、123.453-11 4123.449+39 5123.451+11 S123.452040 毫米16. 3 2 32. 6 15 40 452.123 0 m ll 33 小小 结结 一、已知真值一、已知真值X，则真误差，则真误差 二、中误差二、中误差 一、一、真值不知，则真值不知，则 二、中误差二、中误差 ii lX n m i lx i v n l x 1 n vv m 34 5 5-5 误差传误差传播播定律定律 已知：已知：mx1,mx2,-mxn , 求：求：my=? y=? dy y .),( 21 xxfy 设有观测值函数式： n m yy y 误差传播定律：函数误差传播定律：函

28、数 f 的中误差与观测值的中的中误差与观测值的中 误差之误差之 间的函数关系。间的函数关系。 误差传播定律误差传播定律: : 函数的中误差与观测值的中误差之间的关系。函数的中误差与观测值的中误差之间的关系。 n n 3 3 2 2 1 1 dx x dx x dx x dx x d FFFF Z 下面以一般函数关系来推导误差传播定律。下面以一般函数关系来推导误差传播定律。 设有一般函数为：设有一般函数为： Z=F(xZ=F(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) ) （5 51 1） 式中式中x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n为可直接观测的未知量；为可直接观测的未知量； Z Z为

29、不便于直接观测的未知量。为不便于直接观测的未知量。 设设x xi i(i=1(i=1、2 2、n)n)的独立观测值为的独立观测值为l li i，其相应的真，其相应的真 误差为误差为x xi i。由于。由于x xi i的存在，使函数的存在，使函数Z Z亦产生相应的真亦产生相应的真 误差误差Z Z。将式（。将式（5-15-1）取全微分）取全微分 因误差因误差x xi i及及Z Z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用x xi i 及及Z Z代替代替dxdxi i及及dz,dz,于是有于是有: : (5-2) (5-2) n n 2 2 1 1 x x x x x x FFF Z

30、i x F 式中式中 为函数为函数F F对各自变量的偏导数。将对各自变量的偏导数。将x xi il li i代代 入各偏导数中，即为确定的常数，入各偏导数中，即为确定的常数， 设设 i lx i f x ii F nn2211 xfxfxfZ 则式（则式（5-25-2）可写成：）可写成： 为了求得函数与观测值之间的中误差关系式，设想对为了求得函数与观测值之间的中误差关系式，设想对 各各x xi i进行进行k k次观测，则可写出次观测，则可写出k k个类似上式的关系式。个类似上式的关系式。 将以上各式等号两边平方后，再相加，得：将以上各式等号两边平方后，再相加，得： (1)(1)(1)(1) 1

31、122 ( 2 )( 2 )( 2 )( 2 ) 1122 ( k )()()() 1122 Z Z Z nn nn kkk nn fxfxfx fxfxfx fxfxfx 2222222 1122 ,1 n nnijij i j i j Zfxfxfxf fx x 2222 222 12 12 , 1 n ij n ni j i j i j x x xxxZ fffff kkkkk （ 5-4） 上式两端除上式两端除K,K,得得: : 设设 对变量的观测值对变量的观测值 为彼此独立的观测，则为彼此独立的观测，则 当当 时，亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性可知，或理解为时，亦为偶然误差。

32、根据偶然误差的第四个特性可知，或理解为独独 立观测的协方差为立观测的协方差为0 0, ,故（故（5-45-4）式的末项当）式的末项当 时趋近于时趋近于0，即：，即： i x i l ij xx ij k lim0 ij k xx k 故（故（5-45-4）式可写为：）式可写为： 2222 222 12 12 limlim() n n kk xxxZ fff kkkk 根据中误差的定义，上式可写为根据中误差的定义，上式可写为： 2222222 1122znn fff 上式即为误差传播定律上式即为误差传播定律 上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：上式即为计算函数中误差的一般形式

33、。应用上式时，必须注意： 各观测值必须是相互独立的变量；各观测值必须是相互独立的变量； i l i i x l 为未知量 的直接观测值时， 可认为各 之间满足相互独立的条件。 当当 k为有限值时，可写为当当 2222222 1122 222 12 12 ()()() znn zn n mf mf mf m FFF mmmm xxx 即 41 中误差关系式中误差关系式： 小结小结 第一步：写出函数式第一步：写出函数式 第二步：写出全微分式第二步：写出全微分式 第三步：写出中误差关系式第三步：写出中误差关系式 注意：注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一只有自变量微分之间相互独立才可以进一 步

34、写出中误差关系式步写出中误差关系式。 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 . nny mfmfmfm 42 误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例1 观测值：斜距观测值：斜距S和竖直角和竖直角v 待定值：水平距离待定值：水平距离D 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 sincos sincos. 3 sincos. 2 cos. 1 vSD vSD mvSmvm mvSmvm dvvSdsvdD vSD 或， 43 误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例2 观测值：斜距观测值：斜距S和竖直角和竖直角v 待定值：高差待定值：高差h 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 sin

35、 cossin. 3 cossin. 2 sin. 1 vSh vSh mDmvm mvSmvm dvvSdsvdh vSh 或， 设在三角网中同精度观测各内角，其测角中误差均为设在三角网中同精度观测各内角，其测角中误差均为m m ，设 ，设 三角形闭合差为三角形闭合差为f f1 1、 、f f2 2、 、f fn n（真误差），按中误差定义， （真误差），按中误差定义， 得三角形内角和的中误差得三角形内角和的中误差m m 为： 为： 3 33 f f m n mm f f m m n 又因为内角和 是每个三角形各观测角之和即 + + 故测角中误差 该公式称为菲列罗公式，常用来评定测角的精度。

36、 误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例3 45 用三角形闭合差求测角中误差用三角形闭合差求测角中误差（菲列罗公式菲列罗公式 ）：）： 次序观测值 l 1180-00-10.3-10.3106.1 2179-59-57.2+2.87.8 3179-59-49.0+11.0121 4180-00-01.5-1.52.6 5180-00-02.6-2.66.8 S-1.6244.3 秒0 .7 5 3 .244 m CBA 2 2 3mm mm3 秒0 . 43/ mm 水准测量的高差中误差水准测量的高差中误差: : 设水准测量测定设水准测量测定A,B两点间高差，中间共设两点间高差，中间共设n站

37、，则站，则 A,B间高差等于各测站高差之和，间高差等于各测站高差之和， 即：即：hAB=h1+h2+h3+hn 设每测站高差中误差均为设每测站高差中误差均为m站 站， ， 则有则有: : mAB m站 站 即水准测量高差的中误差与距离平方根成正比。即水准测量高差的中误差与距离平方根成正比。 一般水准测量的中误差一般水准测量的中误差m站 站 4mm。 故水准测量容许闭合差故水准测量容许闭合差f容 容 3 mAB 12 （mm） n n 误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例4 47 误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例5: 算术平均值算术平均值的中误差的中误差 已知：已知：m1 =m2 =

38、.=mn=m 求：求：mx n lll x n 21 m n m n m n m n m dl n dl n dl n dx nx n 1 ) 1 () 1 () 1 ( 111 222 2 22 1 2 21 48 在直接观测值在直接观测值l li i之前乘某一系数（不一定之前乘某一系数（不一定 如上式一样是相同的系数），并取其代数和。如上式一样是相同的系数），并取其代数和。 因此，可以把算术平均值看成是各个观测值的因此，可以把算术平均值看成是各个观测值的 线性函救。线性函救。 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1nnx mkmkmkm 如下图的水准网如下图的水准网, ,由水准点由水准点A

39、,B,C(A,B,C(无误差无误差) )向待定点向待定点D D进进 行水准测量行水准测量, ,以测定以测定D D点高程点高程, ,各水准路线的长度为各水准路线的长度为 :S:S1 1=2km,S=2km,S2 2=S=S3 3=4km,S=4km,S4 4=1km,=1km,设以设以2km2km路线观测为单位权观路线观测为单位权观 测值测值, ,其中误差其中误差m=m=2mm,2mm,试求试求D D点高程最或然值点高程最或然值? ? 5 5-7 非等精度测量的最或然值非等精度测量的最或然值-加权平均加权平均值值 50 又如又如:现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值 A组：组： 123.34, 123.39, 123.35 B组：组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32 C组：组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各组的平均值各组的平均值 A组：组： A组：组： B组：组： 123.333 C组：组： 123.356 =? 360.123 A l C l B l 3 CBA lll x x 51 加权平均数加权平均数 各组的平均各组的平均值值及其权及其权 A组：组： 123.360 权权：PA=3 B组：组：