第五章测量误差知识

1、误差理论的应用误差理论的应用 第五章测量误差知识课堂练习题第五章测量误差知识课堂练习题 第五章测量误差知识课堂练习题答案第五章测量误差知识课堂练习题答案 结束结束 测量实践中可以发现，测量结果不可避 免的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0 一、一、 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。 1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件 粗差：因读错、记错、测错造成的错误。 二、二、 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上， 呈现出以下特性： 误差的绝对

2、值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 1、系统误差 误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量 作一系列的观测，如果观测结果的差异在 正负号及数值上，都没有表现出一致的倾 向， 即没有任何规律性，这类误差称为 偶然误差。 2、偶然误差 偶然误差的特性偶然误差的特性 180lxl 真误差 观测值

3、与理论值之差观测值与理论值之差 正态分布曲线正态分布曲线 四个特性：四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性有界性，趋向性，对称性，抵偿性。 0limlim 21 nn n n n -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24 x= y 误差分布频率直方图误差分布频率直方图 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消； 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 0 lim n n 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性） 绝对值小的误差比绝对值大的

4、误差出现的机 会要多；（密集性、区间性） （抵偿性） 1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。 2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。 3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。 返回 精度：又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，各观测值之间的离散 程度。 评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差 一、一、 中误差中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X） 进行n次独立观测，观测值l1， l2， ln，偶然误差（真误差）1，2， n，则中误差m的定义为： n m xli in ,. 22 3 2 2 2 1 式中式中 式中： 例：试根据下表数

5、据，分别计算各组观测值的中 误差。 解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差： 第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。 说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越 高高 5 . 2 10 ) 4(2) 1() 2(34) 3(120 2222222222 1 m 2 . 3 10 ) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1( 2222222222 2 m 21 mm 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观 测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。这个限值就是容许（极限）误 差。

6、 二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差； 即容=2m 或容=3m 。 极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。 超出超出317317；超出；超出2 24545；超出；超出3 333。 n偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占 总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只 有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中 误差的没有出现。 中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式

7、 来表示，称其为相对（中）误差。即: m D D m K 1 三、三、 相对误差相对误差 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。 返往 平均 DD D K 1 例 已知：D 1 =100m, m 1 =0.01m， D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2 解： 20000 1 200 01. 0 10000 1 100 01. 0 2 2 2 1 1 1 D m K D m K 返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。 函数形式 倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数 常见函数形式常见函数形式 一、倍数函数形式一、倍数函数形式 倍

8、数函数形式：倍数函数形式： 函数真误差：函数真误差： (i=1,2, (i=1,2, n)n) 上式平方有：上式平方有：(i=1,2, (i=1,2, n)n) 上式求和除以：上式求和除以： 由中误差定义可知：由中误差定义可知： 将将代入代入式有：式有： kxZ ii xkZ 222 )()( ii xkZ n Z m i z 2 2 )( n xk n Z ii 222 )()( n x m i x 2 2 )( xzxz kmmmkm 222 mdD38500 mmm dD 1 . 0500 量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误 差 ,求建筑物得园周长及其中误差。 解：圆周长 )

9、(03. 038.108 03. 0)01. 0(1416. 3 38.10850.341416. 3 mP mmm DP DP = = = 结果可写成 中误差 mmD01. 0 例题例题2 2： (i=1,2, (i=1,2, n)n) yxZ iii yxZ iiiii yxyxZ2 222 n yx n y n x n Z iiiii 2 222 , 0 lim n yx 222 yxz mmm 假设假设 n xxxxZ 321 22 3 2 2 2 1 2 xnxxxz mmmmm xnxxx mmmmm 321 nmmmnm zz 22 例题例题3 3：某测站测得后视读数某测站测得后

10、视读数4.3984.398，前视读数，前视读数 3.2553.255， 3 3，求和，求和 。 。 解：解：4.3984.3983.2553.2551.1431.143 （ ） ）2 2 （ ） ）2 2 （ ） ）2 2 3 32 23 32 21818 mmmh2318所以， 4322 llllD mmmD1045 差及其中误差。 两点间的高求中误差得高差到从 中误差得高差进行到水准测量从 CAmmCB mmmh mh hBCBC hABAB ,009. 0,747. 5 ,012. 0,476.15 B,A )(015. 0223.21 015. 0 223.21747. 5476.15

11、 009. 0012. 0 2222 m m m h mmm hhh AC hBChABhAC BCABAC += =+=+= +=+=+=解： 例题例题5 5： 3.用长30m得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的 中误差为5mm，求全长D及其中误差。 )(016.0300 16105 . 3001030 1021 mD mmnmm D mD lD lll = = += = 但 解：全长 例题例题6 6： 1 11 12 22 2n nn n1 1 1 1 1 12 2n n xzxz kmmmkm 222 22 3 2 2 2 1 2 xnxxxz mmmmm 222 3 2 3 2 2 2

12、2 2 1 2 1 2 nnz mkmkmkmkm 设非线性函数的一般式为： 式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”替代“d”， 得 ),( 321n xxxxfz i x n mmmm, 321 n x n xxZ x f x f x f )()()( 21 21 式中： 是函数F对 的偏导 数，当函数式与观测值确定后，它们均为常 数，因此上式是线性函数，其中误差为： i x f ), 2 , 1(ni 222 2 2 2 2 1 2 1 2 )()()( n n Z m x f m x f m x f m i x 222 2 2 2 2 1 2 1 )()

13、()( n n Z m x f m x f m x f m 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式 例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾 角=15000030求：水平距离D 解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 d DDddD)sin()(cos cosDD 22 222 03 )15sin50(05.0)15(cos )sin()(cos m Dmm DD )(048.0mm D 1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与 观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 ),( 21n xxxfZ n x n xxZ d x f

14、d x f d x f d)()()( 21 21 )( i x f 求观测值函数中误差的步骤： 五、五、 运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。 222 2 2 2 2 1 2 1 2 )()()( n n Z m x f m x f m x f m 函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差 倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 一般函数一般函数 n xxxz 21 nnx kxkxkz 2211 ),( 21n xxxfZ kxz xz kmm 22

15、 2 2 1nz mmmm 222 2 2 2 2 1 2 1nnz mkmkmkm 222 2 2 2 2 1 2 1 )()()( n n Z m x f m x f m x f m 返回 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次， 观测值为l1、l2ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真 值）L 为： n l n lll x n 21 一、一、 求最或是值（求最或是值（算术平均值算术平均值） L L 设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差 公式为 （i=1i=1，2 2，n n） 将上式相加得 或 故 nxlll nn )( 2121 nxl x n l n 推

16、导过程： xli i 由偶然误差第四特性知道，当观测次数 无限增多时， 即 （算术平均值） 说明，n n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 0lim nn L n l xn, 例题例题1： 对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段 距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。 解： LixLixii x L x LL Lii LLLxv Lx n n L n L n L x LL )()( 00 0 0 0 0 =+= += = += + = += 又 则 令 例1（续） 次序观测值(m)v(mm)vv(mm2) 1346.53515+416

17、 2346.54828-981 3346.5200+19361 4346.54626-749 5346.55030-11121 6346.53717+24 v=-2vv=632 mx mm n m MmLx n vv m n x L x 005.0539.346 6 .4 6 2 .11 539.346019.0520.346 16 632 1 19 6 116 0 = = =+=+= = )(116 mm L 520.346 0 L取116 L 因为 式中，1n为常数。由于各独立观测 值的精度相同，设其中误差均为m。 设平均值的中误差为mL，则有 n l n l n l nn l L 111

18、 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1111 m n m n m n m n m nL 二、二、 算术平均值中误差算术平均值中误差mL n m m L 由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 倍。 n 1 故，故，算术平均值的中误差为： 三、精度评定 第一公式 第二公式 （白塞尔公式白塞尔公式） 这是观测值的中误差 条件：观测值真值已知 条件：观测值真值未知， 算术平均值L已知 n m 1 n VV m 其中 观测值改正数， i V ii lLV 证明证明： 1 n VV n m ii lLV xli i （i=1，2，3，n） 两式相加，有 xLV ii ii v 即

19、解解： （i=1，2，3，n） 设 则 xL 将上列等式两端各自平方，并求其和，则 2 2nVVV 将将 代入上式，则代入上式，则 2 nvv 0lLnv 故故 2 2 2 n nn n QP n 2 222)( 1 2 433221 22 2 2 1 2 （PQ） 又因又因 nn xl x n l xL 由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特 性，即 n , 21 QP 0lim n QP n 2 1 )1( m n VV n VVn n n VV 例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。 算术平均值L中误差

20、是： 1 . 1 ) 16( 6 34 ) 1( nn VV n m mL 返回 误差理论的应用误差理论的应用 Lm mkmL Lm l m L l m l L mm l L nnlLl nmm m hhhh h h h h n 2 ,1 , , 21 = = = = = = = += 中 站 站 站 站 站 的中误差为每公里往返测高差中数 中误差。是每公里水准测量高差即时，当 则令 则即全长设每站距离均为 ，则均为设每一站高差的中误差 一、水准测量的精度 二、铁路线路水准的限差：二、铁路线路水准的限差： mmLmF mmLmm L mmLLmm L mmm mm fhh Lfh kmL km

21、 302 152 )( 25 . 7 25 . 7 .5 . 7 = = = = 容许高差闭合差为 的中误差即闭合差公里往返高差之差 中误差为公里单程水准测量高差 则平均值的中误差不大于 要求每公里往返测高差铁路线路水准测量中， 单 单单 单 误差理论的应用误差理论的应用 三、两半测回角值之差的限差：三、两半测回角值之差的限差： 03 432 712212 212 262 6, 6 = = = = = 故铁路线路测量规定为 误差，则有若取两倍中误差为容许 误差为：两半测回角值之差的中 故半测回角的中误差为 一测回角的中误差为 一测回方向中误差为对于 半 半 方 方 m mm mm mm mJ

22、误差理论的应用误差理论的应用 两测回角值之差的限差：两测回角值之差的限差： 03, 422 : 21226 26 6 = = = 为两测回角值之差的限差对于 定差，故铁路线路测量规考虑到还有一些其他误 误差，则容许误差若取两倍中误差为容许 差为：两测回角值之差的中误 一测回角的中误差为 DJ m m m 误差理论的应用误差理论的应用 四、钢尺量距的精度：四、钢尺量距的精度： 差是单位长度的偶然中误 ，则令 Dm l m D l m l D mnmm nlD D D = = = = 误差理论的应用误差理论的应用 返回 第五章测量误差知识课堂练习题 一、填空题： 85.测量误差是由于_、_、_ 三

23、方面的原因产生的。 86.直线丈量的精度是用_来衡量的。 87.相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _。 88.衡量观测值精度的指标是_、_和 _。 89.对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值 的中误差是观测值中误差的_倍。 返回 第五章测量误差知识课堂练习题 90.在等精度观测中,对某一角度重复观测多次, 观测值之间互有差异,其观测精度是_的。 91.在同等条件下，对某一角度重复观测次，观 测值为、其误差均为，则该量的算术平 均值及其中误差分别为和_。 92.在观测条件不变的情况下,为了提高测量的精 度,其唯一方法是_。 93.当测量误差大小与观测值大小有关时,衡量测 量精度一般用_

24、来表示。 返回 第五章测量误差知识课堂练习题 94.测量误差大于_时,被认为是错误,必须 重测。 95.用经纬仪对某角观测四次,由观测结果算得观 测值中误差为20,则该角的算术平均值中误 差为_ 96.某线段长度为300m,相对误差为1/1500,则该 线段中误差为_。 97.有一N边多边形,观测了N-1个角度,其中误差 均为10,则第N个角度的中误差是_。 返回 第五章测量误差知识课堂练习题 二、选择题： 45.在等精度观测的条件下，正方形一条边a的观测中 误差为m，则正方形的周长（=4a）中的误差为（ ） .m； .2m； .4m 46.丈量某长方形的长为=200.004m，宽为 b=15

25、0.00m，它们的丈量精度（ ） 相同；.不同；.不能进行比较 47.衡量一组观测值的精度的指标是（） .中误差；.允许误差；.算术平均值中 误差 48.在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（ ） .相对误差；.中误差； .往返误差 返回 第五章测量误差知识课堂练习题 49.下列误差中（）为偶然误差 .照准误差和估读误差；.横轴误差和指 标差；.水准管轴不平行与视准轴的误差 50.若一个测站高差的中误差为m站，单程为 个测站的支水准路线往返测高差平均值的中误 差为（） .nm站；. . 51.在相同的观条件下，对某一目标进行个测 站的支水准路线往返测高差平均值的中误差为 （） .； .； . m n 站 2/ m n 站 nm/ ）（1/nm ）（1/nnm 返回 第五章测量误