第五章(电容元件与电感元件)

1、电路分析基础电路分析基础-李瀚荪李瀚荪 p在在第一篇（第一章第一篇（第一章第四章）中第四章）中，以电阻电路为例介，以电阻电路为例介 绍绍了电路分析的基本定律、定理和分析方法了电路分析的基本定律、定理和分析方法。 p电阻电路各元件（电阻、独立源和受控源）的伏安电阻电路各元件（电阻、独立源和受控源）的伏安 关系（关系（VCRVCR）均为代数关系，通常将这类元件称为）均为代数关系，通常将这类元件称为静静 态元件态元件。而把由静态元件组成的电路称为静态电路，。而把由静态元件组成的电路称为静态电路， 描述静态电路的是一组描述静态电路的是一组代数方程代数方程。 p电阻电路的特点：当激励作用到电路的瞬间，电

2、路电阻电路的特点：当激励作用到电路的瞬间，电路 中会产生即时响应，并且如果激励是常量响应也是常中会产生即时响应，并且如果激励是常量响应也是常 量，量，t t时刻的响应仅与时刻的响应仅与t t时刻的激励有关，无记忆性！时刻的激励有关，无记忆性！ p实际实际电路中电路中，不可避免，不可避免的存在的存在另一类元件另一类元件: : 如电感、如电感、 电容，这些元件的的电容，这些元件的的电流电流或或电压关系涉及到对时间的微电压关系涉及到对时间的微 分或积分，其分或积分，其VCRVCR为以电流或电压为变量的为以电流或电压为变量的微分方程微分方程， 故称其为故称其为动态元件动态元件。（动态仅指其过渡过程）。

3、（动态仅指其过渡过程） p把把至少含有一个动态元件的电路称为动态电路至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。在。在线线 性非时变的条件下，其描述方程是性非时变的条件下，其描述方程是线性常微分方程线性常微分方程。 p若若电路中只包含一个动态元件，可以用一阶微分方电路中只包含一个动态元件，可以用一阶微分方 程程描述，此时电路描述，此时电路常称为常称为一阶电路一阶电路。一般而言。一般而言，若电，若电 路中包含有路中包含有n n个独立的动态元件，可以用个独立的动态元件，可以用n n阶微分方程阶微分方程 描述描述, ,此电路此电路称为称为n n阶电路阶电路。 第五第五章章 动态动态元件元件 第六第六章章

4、 一阶电路一阶电路 第七第七章章 二阶电路二阶电路 它只具有存储它只具有存储 电荷、从而存储电场能量的电荷、从而存储电场能量的作用，是一种作用，是一种储能元件储能元件。 其其参数为电容参数为电容C C： u q C + +- - u(t)u(t) i(t)i(t) C C(t)(t) q(t)q(t) u u( (V V) ) q(C)q(C) 0 0 关联参考方向关联参考方向库库- -伏特性伏特性曲线曲线 0 0 u/Vu/V q/Cq/C 斜率为斜率为C C 按时间：非时变与时变按时间：非时变与时变 按按u u-q-q关系关系：线性与：线性与非线性非线性 + +- - u(t)u(t) i

5、(t)i(t) C C q(t)q(t) C C R RC C C C ESRESR dt tdu Cti )( )( dt dq(t) i(t) q(t) = Cu(t) 说明说明 2 2、如、如电容电压电容电压不变（直流电压），不变（直流电压），则电流为零，相则电流为零，相 当于开路，此为电容的当于开路，此为电容的隔直流隔直流效应效应（隔直通交隔直通交特性）。特性）。 3 3、如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快，、如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快， 电流就越大。电流就越大。 4 4、由于、由于i(t)为有限值，为有限值， 也为有限值，所以电容两也为有限值，所以电容两 端的

6、电压不能跃变端的电压不能跃变连续性连续性。 dt tdu )( dt tdu Cti )( )( 说明说明 得：得： di C tu t )( 1 )( 1 1、上式上式表明表明： 在某一时刻在某一时刻t t电容电压的数值电容电压的数值u(tu(t) )取决于取决于从从-到到t t所所 有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有 关关记忆性记忆性。 说明说明 2 2、考察电路往往、考察电路往往只需了解在某一任意选定的初始时刻只需了解在某一任意选定的初始时刻 t t0 0以后电容电压的情况，则上式可改写为：以后电容电压的情况，则上式可改写为： di

7、C di C tu t t t 0 0 )( 1 )( 1 )( 0 t 0 0 )( 1 )t ()(ttdi C utu t 注意：注意：1、当、当u(t0)和和C确定后，确定后，u(t)才可以被唯一确定。才可以被唯一确定。 2、只有当、只有当u(t0)=0时，时， u(t)与与i(t)才是线性函数关系。才是线性函数关系。 说明说明 设设u u(t(t0 0)=)=U U0 0 ，则，则t ttt0 0时电容电压可写为：时电容电压可写为： 0 t 0 0 )( 1 )t ()(ttdi C utu t 一个初始电压为一个初始电压为U U0 0的的电容电容，可，可等效为一等效为一个初始电压为

8、个初始电压为 0 0的电容的电容与与电压源电压源U U0 0相相串联的电路串联的电路。 + - a b i(t) c u(t) 0 10 )()(tttuUtu i(t) a b uc(t) + + + + + + + - - - - - - - + - + ) t (uc 00c U)t (u- ) t (u1 0)t (u 01 0s Uu 线性化线性化 说明说明 di C tu t )( 1 )( di C ttu tt )( 1 )( di C tuttuu tt t )( 1 )()( 说明说明 16 正值正值表示电容吸收功率，而负值表示释放功率，即表示电容吸收功率，而负值表示释放功

9、率，即 将吸收的功率退还给电源或电路的其他部分。将吸收的功率退还给电源或电路的其他部分。 这这与电阻功率总是正值是不同的，电阻总是消耗功与电阻功率总是正值是不同的，电阻总是消耗功 率，而电容元件是不消耗功率的。率，而电容元件是不消耗功率的。 1 1、电容、电容的瞬时功率的瞬时功率 关联方向时关联方向时电容吸电容吸 收的收的功率为：功率为： p=i(t)u(t)p=i(t)u(t)， 有时为正，有时为负。有时为正，有时为负。 + + + + + + - - - - - - a b i(t) u(t0)=U0 c u(t) 由于由于：p=dwp=dwC C/dt/dt， 因而因而电容的能量电容的能

10、量w wC C应为功率对时间应为功率对时间t t的积分。的积分。 t p()d wC(t)= 2 2、电容的能量、电容的能量 从时刻从时刻t t1 1到到t t2 2电容元件吸收的能量为：电容元件吸收的能量为： ( () ) t2 t1 p()t1-t2 d wC t2 t1 u()i() d t2 t1 Cu() d d u() d u(t2) u(t1) Cudu Cu 2 2 1 u(t2) u(t1) C 2 1 u(t2)2-u(t1)2 ( )( )0tCu 2 1 tw 2 CC 电容电容元件在任何时刻元件在任何时刻t t的储能为：的储能为： 1 1、电容电容储能不能为储能不能为

11、负负, ,电容是无源器件电容是无源器件。 3 3、在、在t t1 1到到t t2 2期间供给电容的能量只与时刻期间供给电容的能量只与时刻t t1 1和和t t2 2的电的电 压值压值u(tu(t1 1) )和和u(tu(t2 2) )有关。有关。A A、与过程无关；、与过程无关；B B不能突变；不能突变； C C、与电流无关；、与电流无关；D D、u u为电容的状态变量。为电容的状态变量。 电容储能公式电容储能公式 2 2、在、在u u一定时，一定时，C C越大则越大则W W越大，所以越大，所以C C代表了电容器代表了电容器 储存电场能的能力。储存电场能的能力。 说明说明 电容元件电容元件充电

12、充电时，时，|u|u（t t2 2）| |u|u（t t1 1）| |，w w（t t2 2） w w（t t1 1），故在此时间内元件），故在此时间内元件吸收能量吸收能量； 电容元件电容元件放电放电时，时，|u|u（t t2 2）| |u|u（t t1 1）| |，w w（t t2 2） w w（t t1 1），故在此时间内元件），故在此时间内元件释放能量释放能量。 电容在充电时吸收并储存的能量一定在放电完毕时电容在充电时吸收并储存的能量一定在放电完毕时 全部释放，它不消耗能量，是全部释放，它不消耗能量，是不耗能元件不耗能元件。 同时，电容元件也无法释放出多于它吸收并储存的同时，电容元件也无

13、法释放出多于它吸收并储存的 能量，所以它又是一种能量，所以它又是一种无源元件无源元件。 3 3、电容的充放电、电容的充放电 试求：试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t0； (3) u(1)和和u ( 0.5)； (4) 作出作出t0时该电容的等效电路。时该电容的等效电路。 已知电容已知电容C=4F，对所有，对所有t、i(t)波形如图所示，波形如图所示， 电容电压电容电压u(t)与与i(t)参考方向关联。参考方向关联。 （1 1）根据已知条件，）根据已知条件，t00时时 仅在仅在11t00时，时，i(t)=2A(t)=2A。 ( ) 0 1 V5 . 0 4 2 2 4 1 0dtu

14、u(0)记忆了记忆了t=0以前所有电流的充电作用。以前所有电流的充电作用。 例题例题 解解 + +- - u(t)u(t) i(t)i(t) C C q(t)q(t) （2） 5-8 (续续) ( )( )()Vtdtutu t 75.05.03 4 1 0 0 t0时，不能忽略初始电压时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了它反映了t0电流对电流对t 0时时u（t）的影响。）的影响。 t 0时时 （3） ( )()V25.1V175.05 .01 , 01 u tst故故得得属属 ()V25.02 4 1 5.0 ,0s5.0 5.0 1 dtu tt故故得得属属 例题例题 （4） 5-9

15、(续续) t 0时时的等效电路的等效电路 i1(t) i(t)在在t0时的部分；时的部分；t0的部分已不必再考虑。的部分已不必再考虑。 例题例题 1 1、定义、定义：一个二端元件，如果在任一时刻：一个二端元件，如果在任一时刻t t，它的磁，它的磁 通通 与流过它的电流与流过它的电流i i之间的关系是由之间的关系是由 -i-i平面（或平面（或i-i- 平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感电感 元件元件(inductor)(inductor)。这条曲线称。这条曲线称韦安特性曲线韦安特性曲线。 线性线性非时变电感元件非时变电感元件 特性特性方程方程

16、 Li 线性电感元件的磁通链线性电感元件的磁通链与电流与电流i i的比值为常量，称为的比值为常量，称为 感应系数，简称电感，单位为亨感应系数，简称电感，单位为亨H H。 它只具有产生磁通、它只具有产生磁通、 从而存储磁场能量的作用。从而存储磁场能量的作用。 储能元件储能元件 2 2. .电感元件的电感元件的VCRVCR ddi uL dtdt （线性时不变电感）（线性时不变电感） 动态特性动态特性： t t时刻的电感时刻的电感电压电压u u取决于取决于该时刻电感电流该时刻电感电流i i 随时间随时间t t的的变化率变化率，称为动态，称为动态元件。元件。 Li 通直流特性通直流特性： 电感元件对

17、直流电流短路。电感元件对直流电流短路。 记忆特性：记忆特性： t t时刻的电流值取决于从时刻的电流值取决于从 到到t t时刻时刻的全部电压的全部电压 值，具有值，具有“记忆记忆”电压的性质，是一种记忆元件。电压的性质，是一种记忆元件。 电感电流的连续性：电感电流的连续性： 1 ()( )( ) tt t ii tti tud L u u有界，则当有界，则当t0t0时，就有时，就有i0i0。即只要电感电。即只要电感电 压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变 。 电感电流增量：电感电流增量： 电感电感VCRVCR的积分形式的积分形式 0 00 0

18、1111 ( )( )( )( )( ) tttt iudududi tud ttLLLL i(t0) 称为初始电流称为初始电流 3 3、电感、电感元件的等效电路元件的等效电路 具有具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的初始电流的电感可以等效成无初始电流的 电感与电流源的并联。电感与电流源的并联。 0 00 0 1111 ( )( )( )( )( ) tttt iudududi tud ttLLLL i(t0) 称为初始电流称为初始电流 线性化线性化 4 4、电感元件的能量电感元件的能量 1 1）瞬时功率）瞬时功率 L pui 电流和电压取一致参考电流和电压取一致参考方向时：方向时： 当当pL0时，电感吸收功率；当时，电感吸收功率；当pL00时，时，w wL L增加，外电路供给电感能量；增加，外电路供给电感能量； 电感的储能过程：电感的储能过程： （2 2）当）当p pL L00时，时，w wL L减少，电感中的磁场能返回给外电路；减少，电感中的磁场能返回给外电路； 电感的电感的能量能量w wL L应应为功率对时间为功率对时间t t的积分。的积分。 t p()d wC(t)= 从时刻从时刻t t1 1到到t t2 2电感元件吸收的能量为：电感元件吸收的能量为： ( () ) t2 t1 p()t1-t2 d wL t2