材料力学-第6章 弯曲应力

1、1 材料力学材料力学 2 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 内容提纲：内容提纲： 3 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 4 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 剪切弯曲剪切弯曲（横力弯曲）（横力弯曲） 横截面上既存在弯矩，又存横截面上既存在弯矩，又存 在横向剪力在横向剪力 纯弯曲纯弯曲横截面上仅存在横截面上仅存在 弯矩（弯矩（剪力为剪力为0，弯矩为常量，弯矩为常量） 剪力图剪力图 FF A BC D 弯矩图弯矩图 5 内力的起因内力的起因 弯矩弯矩横截面上正应力的合力偶，横截面上正应力的合力偶， 此时，正应力称

2、为此时，正应力称为弯曲正应力弯曲正应力 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 剪力剪力横截面上剪应力的合力，横截面上剪应力的合力， 此时，剪应力称为此时，剪应力称为弯曲剪应力（弯曲切应力）弯曲剪应力（弯曲切应力） S A Fds 6 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 7 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 研究梁横截面上的应力分布，必须从研究梁横截面上的应力分布，必须从几几 何（变形）、物理（本构）和静力学（平衡）何

3、（变形）、物理（本构）和静力学（平衡） 三方面进行综合分析三方面进行综合分析 下面依次分析梁弯曲时，这三个方面的下面依次分析梁弯曲时，这三个方面的 特征特征 8 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 变形几何关系变形几何关系 直梁纯弯曲直梁纯弯曲试验及变形观察试验及变形观察 纵向线纵向线aa，oo ，bb变为弧线变为弧线a a ， o o ， b b a a aa ， oo = o o ， bbb b 横向直线横向直线mm, nn 变形后仍然为直线，变形后仍然为直线， 且垂直于且垂直于a a ， o o ，b b 矩形截面上部变宽，下部

4、变窄矩形截面上部变宽，下部变窄 m m n n a b a b oo y m m n n a b o a b o 9 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 弯曲变形的弯曲变形的平面假设平面假设： 变形后，横截面仍保持为平面，变形后，横截面仍保持为平面， 仍与轴线正交仍与轴线正交 各横截面作相对转动各横截面作相对转动 m m n n a b a b oo y m m n n a b o a b o 10 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 弯曲变形的弯曲变形的单向受力假定单向受力

5、假定 所有与轴线平行的纵向纤维处于所有与轴线平行的纵向纤维处于 轴向拉伸轴向拉伸或或轴向压缩轴向压缩状态状态 纵向纤维之间无相互挤压纵向纤维之间无相互挤压 梁中纵向纤维长度不变的过渡层梁中纵向纤维长度不变的过渡层 称为称为中性层中性层。中性层和横截面的。中性层和横截面的 交线称为交线称为中性轴中性轴 y m m n n a b o a b o 中性层中性层 中性轴中性轴 11 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 y n n a b o m m a b o d 变形几何方程变形几何方程 取长度为取长度为dx的一段微梁，变形后的一段微梁，

6、变形后 的形状如图。记长度不变轴线的形状如图。记长度不变轴线o o (中中 性层）的曲率半径为性层）的曲率半径为 ，则变形后，距，则变形后，距 o o 为为y处纤维的长度为处纤维的长度为 y d y ddxy dx 说明说明 12 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 物理关系物理关系 由于纵向纤维仅受拉伸或压缩，由于纵向纤维仅受拉伸或压缩， 于是在正应力不超过于是在正应力不超过比例极限比例极限时，时， 根据胡克定理，有：根据胡克定理，有：y n n a b o m m a b o d y EE 说明说明 13 M 纯弯曲梁横截面上的正

7、应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 正应力分布正应力分布 y EE z y O M 中性轴中性轴 z y O M 14 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 静力学关系静力学关系 横截面上的正应力平行于横截面上的正应力平行于x轴，其合力为轴，其合力为 轴力轴力FN，正应力对于，正应力对于y，z轴的矩分别记轴的矩分别记 为为My和和Mz z y O M x dA y dA 15 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O M x dA

8、y dA 考虑图示弯曲梁截面的各项内力：考虑图示弯曲梁截面的各项内力： 轴力为零：轴力为零：0 A dA y EE 0 AA yE EdAydA 0 A ydA z A SydA 截面对坐标轴截面对坐标轴z的的静矩静矩 (附录附录A-1) 上式表明，仅当坐标轴上式表明，仅当坐标轴z z通过截面形心时，静矩才为零。通过截面形心时，静矩才为零。 所以，中性轴通过截面形心。所以，中性轴通过截面形心。 16 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O M x dA y dA 考虑图示弯曲梁截面的各项内力：考虑图示弯曲梁截面的各项内力： M

9、y为零：为零：0 A z dA y EE 0 AA yE EzdAzydA 0 A yzdA yz A IyzdA -截面对坐标轴截面对坐标轴y和和z的的惯性积惯性积 (附录附录A-5) 因为因为y轴为截面对称轴，此式恒满足轴为截面对称轴，此式恒满足 17 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O M x dA y dA 考虑图示弯曲梁截面的各项内力：考虑图示弯曲梁截面的各项内力： Mz等于等于M： z A My dAM y EE 2 AA yE EydAy dAM 2 z A Iy dA -截面对中性轴的截面对中性轴的惯性矩惯

10、性矩 ( (附录附录A-3)A-3) 2 z A Iy dA 令令 1 z M EI z My I z y O M 18 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 横截面以中性轴为界，凸的一侧为横截面以中性轴为界，凸的一侧为拉应力拉应力， 凹的一侧为凹的一侧为压应力压应力 最大正应力发生在离中性轴最远的点上，即最大正应力发生在离中性轴最远的点上，即 M max max z My I max z z I W y max z M W 19 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 2 z A

11、 Iy dA -截面对中性轴的截面对中性轴的惯性矩惯性矩 常见截面的惯性矩和弯曲截面系数：常见截面的惯性矩和弯曲截面系数： 6 12 2 3 bh W bh I z z 4 3 64 32 z z d I d W p p z y h bd z y D d z y 44 (1) 64 z ID p 34 (1), 32 z d WD D p z y 20 M z y O M 中性轴中性轴 z y O M 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z My I 问题问题 ： 如何确定任意形状界面的形心和中性轴？如何确定任意形状界面的形心和中性轴

12、？ 21 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 本节作业：本节作业： 5-11；6-1；6-4 3月月4日（第日（第9周）交实验报告周）交实验报告 22 附录附录A：截面几何性质：截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 23 附录附录A：截面几何性质：截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 形心和静矩形心和静矩 z y O A y AzSd A z AySd 24 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O A y AzSd A z AySd 如已知截面面积如已知截面面积A和形心坐标和形心坐标 z y O

13、yc zy SAz SAz A Ay y A c d A Az z A c d 25 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 A y AzSd A z AySd A Ay A S y Az C d A Az A S z A y C d yc zy SAz SAz z y O 26 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O A Ay A S y Az C d A Az A S z A y C d 27 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 对于组合图形，如何确定静矩和形心对于组合图形，如何

14、确定静矩和形心 ？ h1 b1 b2 h2 z y O yc A SzdA Az 0 0 c z zy A SydA Az 1122yy AzA z 12 1 1222 1 122 () 22z c hh bh hb h S z Abhb h 12 1 1222 () 22 hh bh hb h 28 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 29 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 A y AzId 2 A ArId 2 P A yz AyIzd A z AyId 2 z y O 30 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料

15、力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 A y AzId 2 A ArId 2 P A yz AyIzd A z AyId 2 0 0 或或 0 0 0 z y O 31 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O A y AzId 2 A ArId 2 P A z AyId 2 zy III P 32 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 关于惯性积的讨论关于惯性积的讨论 A yz AyIzd z y O z y O 当所取坐标轴当所取坐标轴y y或或z z位于截面对称轴上时，位于截面对称轴上时， 截面对坐标轴截面对坐标轴y

16、y和和z z的惯性积为的惯性积为0 0。 33 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 关于惯性积的讨论关于惯性积的讨论 A yz AyIzd z y C 对于一般非对称截面，如果两通过形心对于一般非对称截面，如果两通过形心 的坐标轴，使得惯性积的坐标轴，使得惯性积Iyz为为0 0， 则称该坐标轴则称该坐标轴yz 为截面的为截面的主形心轴主形心轴。 z y 具体确定方法见附录具体确定方法见附录A A6 6 34 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 惯性矩和惯性矩平行轴定理惯性矩和惯性矩平行轴定理 z0 y0 C z y 2 z

17、 A Iy dA y0z0 为通过截面形心的形心轴为通过截面形心的形心轴, ,yz 为与为与 y0z0 平行的坐标轴平行的坐标轴 点点A A在两坐标系中的坐标分别为在两坐标系中的坐标分别为 ( (z0 ,y0 ), (), (z ,y) ) z0 y0 222 ()2 AAAA ya dAy dAaydAadA 2 2 z AA IaydAadA 2 00 2 zz IaSa A 2 0z Ia A 35 截面几何性质截面几何性质 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 惯性矩平行轴定理惯性矩平行轴定理 2 0zz IIAa 截面对于任一坐标轴截面对于任一坐标轴z z的惯性矩，的惯性矩，

18、 等于对平行形心轴等于对平行形心轴z z0 0的惯性矩加上截面的惯性矩加上截面 面积与两轴间距离平方的乘积，即：面积与两轴间距离平方的乘积，即： z y z0 y0 C 2 0yy IIAb 同理：同理： 截面对于其形心轴截面对于其形心轴z z0 0的惯性矩最小的惯性矩最小 36 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 37 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 问题：问题： 弯曲切应力如何分布？弯曲切应力如何分布？ MS F M z y O S F 38 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O S F 39 弯曲切应

19、力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 dx y S F S F MdM M y dx b F F M dM M 平衡方程：平衡方程： FybdxF 40 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 y dx b F F MdMM 平衡方程：平衡方程： FybdxF 其中：其中：* , z M Fy dA I * z MdM Fy dA I dx y y* 表示截面表示截面对截面形心的静矩对截面形心的静矩* z Sy dA * z FF dM y dA I z z SdM y bIdx Sz z F S bI 41 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材

20、料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 y dx b F F dx y y* ( ) zC SAy Sz z F S y bI 弯曲梁截面切应力：弯曲梁截面切应力： 对于矩形截面梁对于矩形截面梁: : 3 12 z bh I h 2 2 1 22 224 hhb h byyy 2 2 34 1 2 S Fy y bhh 42 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 z y O S F 对于矩形截面梁对于矩形截面梁: : 2 2 34 1 2 S Fy y bhh 应力分布分析应力分布分析 43 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 M 以上分

21、析表明剪应力在横截面上的分布是不均匀的，这以上分析表明剪应力在横截面上的分布是不均匀的，这 种不均匀性将引起种不均匀性将引起不均匀的剪切应变不均匀的剪切应变g g 中性轴处中性轴处( (y y =0)=0)，剪切应变，剪切应变g g 最大最大 上下边缘处上下边缘处( (y y= = h h/2/2) )，剪切应变，剪切应变g g 最小，取零值最小，取零值 不均匀的剪切应变剪引起横截面的不均匀的剪切应变剪引起横截面的翘曲翘曲，从而造成平面，从而造成平面 假设不成立假设不成立 对于矩形截面梁对于矩形截面梁: : 2 2 34 1 2 S Fy y bhh 应变分布分析应变分布分析 44 弯曲切应力

22、弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 翘曲翘曲 45 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 FF A BC D 例题例题1 1：确定图示梁中截面确定图示梁中截面1 1和和2 2中点中点K K的切应力大小的切应力大小 1 12 2 K y z b 2 b b/2 46 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 剪力图剪力图 弯矩图弯矩图 FF A BC D 1 12 2 12 , 0 SS FFF 2 2 34 1 2 S Fy y bhh K y z b 2b b/2 2 12 2 34 1, 0 22 KK Fb b

23、hh 47 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 弯曲正应力与弯曲切应力的比较弯曲正应力与弯曲切应力的比较 y z b h 解解: : 梁的剪力梁的剪力F FS S= =P P，最大弯矩发生在，最大弯矩发生在 固定端，其值为固定端，其值为 M Mmax max =-Pl。 。 由于由于 Wz=bh2/6，所以，所以, max=|Mmax|/Wz=6Pl/bh2 , 最大切应力为最大切应力为 max=3 FS /2bh 从而，从而， max / max=4l/h 48 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 弯曲正应力与弯曲切应力的比较弯

24、曲正应力与弯曲切应力的比较 对于细长、非薄壁矩形截面梁，其横截面上的最大弯对于细长、非薄壁矩形截面梁，其横截面上的最大弯 曲正应力远大于最大弯曲切应力。即曲正应力远大于最大弯曲切应力。即 在矩形截面细长梁的弯曲中，主要的应力是在矩形截面细长梁的弯曲中，主要的应力是 弯曲正应力弯曲正应力 h l O max max 49 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 工字形截面的组成工字形截面的组成 v上、下翼缘上、下翼缘 v垂直腹板垂直腹板 v几何性质可从相关手册中查到几何性质可从相关手册中查到 工字形截面上剪力的分布工字形截面上剪力的分布 v腹板上主要有平行于剪力腹板上

25、主要有平行于剪力FS的切应力的切应力 50 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 v上、下翼缘除有平行于剪力上、下翼缘除有平行于剪力FS的切应的切应 力外，主要还有力外，主要还有平行于翼缘的切应力平行于翼缘的切应力 v上、下翼缘上平行于剪力上、下翼缘上平行于剪力FS的切应力的切应力 与腹板上的切应力相比很小，可以忽与腹板上的切应力相比很小，可以忽 略不计略不计 Sz z F S y I 51 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 A FQ max 2 3 A 各种截面的弯曲切应力分布各种截面的弯曲切应力分布 52 弯曲切应力弯曲切应力

26、 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 max Q max SI F / max SI /由型钢表查得由型钢表查得 53 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 A FQ max 02. 54 弯曲切应力弯曲切应力 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 A FQ max 3 4 A 55 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 梁的强度条件梁的强度条件 56 梁的强度条件梁的强度条件 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 smax bmax 57 梁的强度条件梁的强度条件 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 max max s

27、 s b b n n 58 梁的强度条件梁的强度条件 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 maxs maxb s max s n b max b n 59 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 60 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 通常，梁的强度取决于弯曲正应力的强度，从而，通常，梁的强度取决于弯曲正应力的强度，从而，提高梁提高梁 的强度主要从正应力方面进行分析的强度主要从正应力方面进行分析。 正应力的强度条件为正应力的强度条件为 max=Mmax/Wz 为提高梁的承载能力，需要从两个方面进行设

28、计为提高梁的承载能力，需要从两个方面进行设计。 v 合理安排梁的受力分布（合理安排梁的受力分布（主动力和支撑力主动力和支撑力），以降低），以降低 M Mmax max的值 的值 v 合理设计截面的形状和尺寸，以提高合理设计截面的形状和尺寸，以提高W Wz z的值的值 61 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 载荷及梁支撑的合理布置载荷及梁支撑的合理布置 梁支撑的合理安排梁支撑的合理安排 q l 2 8 ql q l /5l/5l 2 /50ql 2 / 40ql 62 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 改

29、变加载方式改变加载方式 q l 2 /8ql l F / 4Fl l F / 6l 2 5 36 ql 63 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 改变加载方式改变加载方式 / 4F l / 8F l 64 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 截面形状的合理设计截面形状的合理设计 由强度条件由强度条件Mmax Wz可知，为提高梁的承载能力，可可知，为提高梁的承载能力，可 以提高以提高抗弯截面系数抗弯截面系数Wz。为此，为了节省材料，减轻重量，。为此，为了节省材料，减轻重量， 在在截面面积不变截面面积不变的条件

30、下，应尽量使截面的抗弯截面系数的条件下，应尽量使截面的抗弯截面系数 增大增大 1 1 2 b h W W z z h Wz1=b2h/6 Wz2=bh2/6 b 65 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 通常为了比较各种截面的抗弯性能和经济程度，考察通常为了比较各种截面的抗弯性能和经济程度，考察抗弯抗弯 截面系数截面系数Wz与截面面积与截面面积A的比值的比值Wz/ A，此比值越大，就越，此比值越大，就越 经济经济 几种常用截面的几种常用截面的Wz / A 比值比值 66 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力

31、v 工字截面、槽形截面比矩形截面合理工字截面、槽形截面比矩形截面合理 v 圆环截面比实心圆截面合理圆环截面比实心圆截面合理 v 矩形截面比圆截面合理矩形截面比圆截面合理 一般，应尽可能地将材料移至距中性轴较远的地方。一般，应尽可能地将材料移至距中性轴较远的地方。 67 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 材料力学第材料力学第6章章 弯曲应力弯曲应力 v对对塑性材料塑性材料，由于抗拉能力和抗压能力相等，所以，在，由于抗拉能力和抗压能力相等，所以，在 设计截面形状时，可采用对称于中性轴的截面，这样可设计截面形状时，可采用对称于中性轴的截面，这样可 使上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，并且同使上、下边缘的最大拉应力和最大压应力相等，并且同 时达到许用应力时达到许用应力 v对对脆性材料脆性材料，由于材料抗拉能力低于抗压能力，因此，由于材料抗拉能力低于抗压能力，因此， 在设