2019-2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3空间向量与空间角练习-1

1、学必求其心得，业必贵于专精3.2.3 空间向量与空间角 （建议用时：40分钟）基础篇一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为（）a30b150c30或150d以上均不对【答案】al1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选a2已知二面角。l.的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角。l。的大小为（)a bc或 d或【答案】c由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向,因此二面角。l的大小为或，故选c3.如图3。2。27,空间正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是cd,

2、cc1的中点,则异面直线a1m与dn所成角的大小是(）图3。2。27a b c d【答案】d以d为原点，da，dc，dd1所在直线为坐标轴建系(图略），则，,cos，0.,。4已知在正四面体abcd中，e为棱ad的中点,则ce与平面bcd的夹角的正弦值为（)a bcd【答案】b作ao平面bcd于点o，则o是bcd的中心，以o为坐标原点，直线od为y轴，直线oa为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设ab2,则o(0,0,0），a,c，e，cos，.ce与平面bcd的夹角的正弦值为.5如图3。2。28所示,已知四棱锥p。abcd中，底面abcd是菱形，且pa平面abcd，paadac，点f为pc的中

3、点，则二面角c.bf.d的正切值为（)图3。2。28a b c d【答案】d如图所示，设ac与bd交于点o，连接of.以o为坐标原点,ob，oc，of所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系oxyz。设paadac1,则bd,所以o(0，0,0），b，f，c,，易知为平面bdf的一个法向量，由，可得平面bcf的一个法向量为n（1,，）所以cosn,，sin。故二面角cbf。d的正切值为。二、填空题6若直线l的方向向量a(2，3,1)，平面的一个法向量n(4，0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_【答案】由题意，得直线l与平面所成角的正弦值为.7已知点e，f分别在正方体abcd。a1b1

4、c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb,cf2fc1,则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于_【答案】如图,建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面abc的法向量为n1（0,0,1），平面aef的法向量为n2(x,y，z)所以a(1,0,0)，e，f，所以，,则即取x1,则y1，z3。故n2（1,1，3)所以cosn1，n2。所以平面aef与平面abc所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .8如图3。2。29，正三角形abc与正三角形bcd所在的平面互相垂直，则直线cd与平面abd所成角的正弦值为_。 图3.2。29【答案】取bc的中点o，连接ao,do,建

5、立如图所示的空间直角坐标系oxyz。设bc1，则a，b，c，d,所以，。设平面abd的法向量为n(x，y，z)，则,所以，取x1，则y，z1，所以n（1，1），所以cosn,因此直线cd与平面abd所成角的正弦值为。三、解答题9。如图3.2.30，平面abde平面abc，abc是等腰直角三角形，acbc4，四边形abde是直角梯形，bdae，bdba，bdae2，o,m分别为ce,ab的中点图32.30（1)求异面直角ab与ce所成角的大小；（2)求直线cd与平面odm所成角的正弦值【答案】（1）dbba,平面abde平面abc,平面abde平面abcab,db平面abde,db平面abcbd

6、ae,ea平面abc如图所示，以c为坐标原点，分别以ca,cb所在直线为x，y轴，以过点c且与ea平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系acbc4，c（0,0,0)，a（4,0,0)，b（0,4，0)，e（4,0，4），（4,4,0),（4,0，4)cos，,异面直线ab与ce所成角的大小为。(2）由（1）知o（2,0，2）,d（0,4,2),m(2，2，0），(0，4，2)，(2，4,0），（2，2,2）设平面odm的法向量为n(x，y，z)，则由，可得，令x2，则y1,z1，n(2,1，1）设直线cd与平面odm所成的角为，则sin |cosn，直线cd与平面odm所成角的正弦值为。10如图

7、3231，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，点m在线段pb上,pd平面mac，papd，ab4。图3。2。31(1）求证：m为pb的中点；(2）求二面角b。pd。a的大小；（3)求直线mc与平面bdp所成角的正弦值. 【答案】（1)证明：设ac，bd交于点e，连接me，因为pd平面mac，平面mac平面pdbme，所以pdme.因为四边形abcd是正方形，所以e为bd的中点，所以m为pb的中点（2)如图，取ad的中点o,连接op，oe.因为papd，所以opad又因为平面pad平面abcd,且op平面pad，所以op平面abcd因为oe平面abcd,所以opo

8、e.因为四边形abcd是正方形，所以oead如图，建立空间直角坐标系o。xyz，则p(0,0，)，d(2,0，0），b（2,4,0），（4,4,0），(2，0，）设平面bdp的法向量为n（x，y，z)，则即令x1，则y1,z。于是n（1,1，）平面pad的法向量为p（0,1,0),所以cosn,p.由题意知二面角bpd。a为锐角，所以它的大小为。(3）由题意知m，c（2,4,0)，.设直线mc与平面bdp所成角为，则sin cosn，|，所以直线mc与平面bdp所成角的正弦值为.提升篇1.如图3。2。32，在三棱柱abc。a1b1c1中，侧棱aa1底面abc，底面abc是等腰直角三角形，acb

9、90，侧棱aa12，d，e分别是cc1与a1b的中点,点e在平面abd上的射影是abd的重心g。则a1b与平面abd所成角的正弦值为(）图32。32a bcd【答案】a以c为坐标原点，ca所在的直线为x轴，cb所在的直线为y轴，cc1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设cacba，则a（a,0,0），b（0，a，0），a1（a，0，2），d(0,0，1），e，g，(0，a，1)点e在平面abd上的射影是abd的重心g，平面abd，0,解得a2，(2，2，2），平面abd,为平面abd的一个法向量又cos,，a1b与平面abd所成角的正弦值为。2如图3.2.33,已知矩形abcd与矩形

10、abef全等，二面角dab。e为直二面角，m为ab的中点，fm与bd所成的角为，且cos ,则(）图3.2。33a1 b c d【答案】c不妨设bc1，ab,则.记a，b，c，则ba，cb，根据题意,a|c|1，|b，abbcca0，b22,而|，|，|cos，得。故选c3在空间中，已知平面过（3，0,0)和（0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面与平面xoy的夹角为45，则a_。【答案】平面xoy的法向量为n(0，0,1)，设平面的法向量为u（x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u.而cos，解得a2或2(舍去)，所以ae2。5如图3。235,四面体abcd中，abc

11、是正三角形，acd是直角三角形,abdcbd，abbd图3。2.35(1）证明:平面acd平面abc;(2）过ac的平面交bd于点e,若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分,求二面角dae。c的余弦值【答案】(1）证明:由题设可得abdcbd，从而adcd又acd是直角三角形，所以adc90。取ac的中点o，连接do，bo，则doac，doao。又因为abc是正三角形，故boac,所以dob为二面角d。acb的平面角在rtaob中,bo2ao2ab2,又abbd，所以bo2do2bo2ao2ab2bd2,故dob90。所以平面acd平面abc（2)由题设及（1)知,oa,ob，od两两垂直，以o为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则a(1,0,0)，b（0，0）,c(