五振动学基础

1、基本要求：基本要求： 1. 掌握简谐振动的规律以及有关物理量（周期、频率、振掌握简谐振动的规律以及有关物理量（周期、频率、振 幅和位相等）的意义。幅和位相等）的意义。 2. 了解了解阻尼振动阻尼振动和和受迫振动受迫振动的基本特征。的基本特征。 3. 掌握两个同频率同方向谐振动合成的方法和规律。了解掌握两个同频率同方向谐振动合成的方法和规律。了解 拍现象。拍现象。 4. 了解两个互相垂直振动合成的规律。了解两个互相垂直振动合成的规律。 第五章第五章 振动学基础振动学基础 5.1 简谐振动简谐振动 1. 1. 平衡与振动平衡与振动 我们仅讨论处于稳定我们仅讨论处于稳定 平衡（严格地说，稳定平平衡（

2、严格地说，稳定平 衡是理想情况，绝对的稳衡是理想情况，绝对的稳 定平衡是没有的）或亚稳定平衡是没有的）或亚稳 平衡而扰动较小的情况，平衡而扰动较小的情况， 此时物体将会发生振动。此时物体将会发生振动。 我们把振动的物体称为我们把振动的物体称为振振 子子。 一、振动的一些相关问题一、振动的一些相关问题 2. 2. 恢复力与弹性力恢复力与弹性力 图中的图中的“弹簧振子弹簧振子”有一个平衡有一个平衡 位置位置 O，在那个位置，弹簧既没有伸，在那个位置，弹簧既没有伸 长也没有缩短，对物体不施加作用力，长也没有缩短，对物体不施加作用力， 物体得以平衡。试把物体从平衡位置物体得以平衡。试把物体从平衡位置

3、移开，例如移到点移开，例如移到点P，然后放手，拉，然后放手，拉 长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物 体的作用力驱使物体向平衡位置移动。体的作用力驱使物体向平衡位置移动。 这种驱使物体向平衡位置移动的力叫这种驱使物体向平衡位置移动的力叫 作作恢复力恢复力。 恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争，它们的作用交替恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争，它们的作用交替 消长，力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。消长，力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。 弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于 弹簧的伸长或缩短。它满足胡克

4、定律：弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律： kxF 由胡克定律可知弹性力有两个由胡克定律可知弹性力有两个特点特点： 因为弹性力因为弹性力 F 的指向总与位移的指向总与位移 x 的方向相反，故弹的方向相反，故弹 性力性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到 平衡位置；平衡位置； 因为因为 F 的数值大小正比于位移的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体的大小，所以物体 偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也越偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也越 大。大。 单摆所受的虽不是弹性力，但在形式上与弹性力完全单摆所受的虽不是弹性力，但在形式上

5、与弹性力完全 相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力，叫做相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力，叫做准准 弹性力弹性力。 二、简谐振动的描述二、简谐振动的描述 kxxm 如图所示，设弹簧振子如图所示，设弹簧振子 的质量为的质量为 m，弹簧的倔强系，弹簧的倔强系 数为数为 k，选取，选取 x 轴，以平衡轴，以平衡 位置位置 O 为原点，则振子的运为原点，则振子的运 动方程为：动方程为： 1. 简谐振动解简谐振动解 令：令： m k 2 解为：解为：) cos( 0 tAx 其中其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运动为待定常数，由初始条件确定。称这种运动 为为简谐振动简谐振动。 0

6、 ,A 描绘一个简谐振动的特征参量有三个：描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频率振幅、角频率 和位相和位相。 2. 2. 简谐振动的特征参量简谐振动的特征参量 ) cos( 0 tAx 振幅振幅 A A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于(E)1/2，即它，即它 的平方正比于系统的机械能，的平方正比于系统的机械能，A2 E ； (2) 角频率角频率（也称圆频率）（也称圆频率） 振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时 间称为间称为周期周期，用，用

7、 T 表示。由表示。由(7.1.13)可知周期可知周期 T 与角频率与角频率的关系为：的关系为： T = 2 /。周期的倒数称为。周期的倒数称为频率频率，= 1/T = /2。周期的单位是。周期的单位是 “秒秒”；频率的单位是；频率的单位是“秒秒-1”，这有个专门的名称，这有个专门的名称“赫兹（赫兹（Hz）”； 角频率的单位是角频率的单位是“弧度秒（弧度秒（rad/s）”。 k m T m k 2 , 2 1 对于弹簧振子，频率与周期为对于弹簧振子，频率与周期为 可见，弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，可见，弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定， 而与初始条件无关，故称为振子的

8、而与初始条件无关，故称为振子的固有频率固有频率。 相位相位（或（或位相位相） 0 t 0 cos( )xAt 其中时刻其中时刻 t = 0 的相位，称为的相位，称为初相位初相位。相位是相对的，通过。相位是相对的，通过 计时零点的选择，我们总可以使初相位：计时零点的选择，我们总可以使初相位： 0 0 而多个简谐运动之间的而多个简谐运动之间的相位差相位差是重要的。是重要的。 例例1：一弹簧振子：一弹簧振子 时时 ， 求振动的初位相。求振动的初位相。 解：解： 0 0 0 1 cos 2 sin0 3 x x A v A 在第一象限， 例例2：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。：讨论振动的位移

9、，速度和加速度之间的关系。 速度的位相比位移的位相超前速度的位相比位移的位相超前 加速度的位相比速度的位相超前加速度的位相比速度的位相超前 加速度的位相比位移的位相超前加速度的位相比位移的位相超前 3. 简谐振动的描述简谐振动的描述 (1) x-t曲线图示法曲线图示法 简谐振动可以用三角函数表示，也可用图简谐振动可以用三角函数表示，也可用图7.6的曲线图表的曲线图表 示，图上已将振幅、周期和初相标出。示，图上已将振幅、周期和初相标出。 (2) 振幅矢量法振幅矢量法 简谐振动还可以用旋转振幅简谐振动还可以用旋转振幅 矢量（也称相矢量）来表示。自矢量（也称相矢量）来表示。自 原点画一条长等于振幅的

10、矢量原点画一条长等于振幅的矢量A， 开始时开始时 ( t=0 )，让矢量，让矢量A与与 x 轴轴 的夹角等于振动的初位相，令的夹角等于振动的初位相，令A 以角速度（就是振动角频率）逆以角速度（就是振动角频率）逆 时针方向旋转，则矢量在轴上的时针方向旋转，则矢量在轴上的 投影就是振动的位移（如图投影就是振动的位移（如图 7.7）。）。 这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把振幅、这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把振幅、 频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表示法。频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表示法。 (3) 复数法复数法 利用三角函数与复数的关系，

11、简谐振动也可用复数表示利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示 ) ( 0 ti Aex ti eAx 或或 0 i AeA 其中：其中： 是复数，称是复数，称复振幅复振幅，它已包含了初位相。，它已包含了初位相。 4. 4. 谐振子的能量谐振子的能量 振子的坐标和速度为：振子的坐标和速度为： ) cos( 0 tAx) sin( 0 tA dt dx v 其中其中 mk / 2 ) cos( 0 tAx) sin( 0 tA dt dx v 动能：动能： ) (2cos1 2 1 2 1 ) (sin 22 1 0 2 0 22 2 2 tkAtm A mvEk 势能：势能： 2222

12、 00 1111 cos ( )1cos2( ) 2222 p EkxkAtkAt 2 0 2 0 2 2 22 2 1 ) (cos) (sin 22 1 2 1 kAtt kA kxmvE 此式表示简谐振动的机械能是守恒的。此式表示简谐振动的机械能是守恒的。 机械能：机械能： 可见，动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两可见，动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两 倍。不难求出，一个周期内动能、势能的时间平均值都等于倍。不难求出，一个周期内动能、势能的时间平均值都等于 总能量的二分之一。总能量的二分之一。 dttkA T dtE T E T k T k ) (2cos1 2 1 2

13、 111 0 2 00 E 2 1 dttkA T Vdt T V TT ) (2cos1 2 1 2 111 0 2 00 E 2 1 三、简谐振动的合成与分解三、简谐振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振简谐振动是最简单、最基本的振动，任何一个复杂的振 动都可以看成若干个简谐振动的合成。动都可以看成若干个简谐振动的合成。 方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振方向垂直、频率相同的两个简

14、谐振动的合成（二维振 动）动） 方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如 图形图形 振动的分解、谐波分析（振动的分解、谐波分析（Fourier分析）分析） 1.1.方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成方向、频率相同，初位相不同的两个简谐振动的合成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，每个设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，每个 振动的位移与时间关系可表为振动的位移与时间关系可表为 ) cos( ) cos( 222 111 tAx tAx ) cos( 21 tAxxx 2211 2211 1221 2 2 2 1

15、coscos sinsin tan )cos(2 AA AA AAAAA 1 1 A 1 xx 0 A x 2 x 2 A 2 讨论讨论 合振动的振幅取决于两振动的位相差合振动的振幅取决于两振动的位相差 , 2 , 1 , 0 ,2 ) 1 ( 12 kk 则则 21 AAA )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA )cos()( 21 tAAx xx t oo A 1 A 2 A T , 2 , 1 , 0 ,) 12( )2( 12 kk tAxcos 11 )cos( 22 tAx )cos()( 12 tAAx xx t oo T 2 A 2 1 A A 12 ) 3(为一

16、般值，为一般值，则则 2121 |AAAAA 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅简谐运动的合成，其合振动的振幅 时而加强时而减弱的现象叫时而加强时而减弱的现象叫拍拍，v称为称为拍频拍频，拍的振动曲线如图所示。，拍的振动曲线如图所示。 当两振动的振幅不等，即当两振动的振幅不等，即 A1 A2 时，也有拍现象，此时合振幅仍有时大时，也有拍现象，此时合振幅仍有时大 时小的变化，但不会达到零。时小的变化，但不会达到零。 2. 方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成方向相同，频率不同的两个简谐振动的合成 ) cos( ) cos( 2222

17、 1111 tAx tAx 为简单起见，设为简单起见，设 AAA 21 22 cos 22 cos2 )cos()cos( 21212121 221121 ttA ttAxxx 若若 2121 , | 有有 2 cos 22 cos2 21 1 2121 ttAx 2 cos 22 cos2 21 1 2121 ttAx 此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等 21 21 , 2 而振幅随时间的变化为而振幅随时间的变化为 22 cos2 2121 tA 由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定由于振幅所涉及的是绝对值，故其变化周期由下式决定 T

18、 2 21 故振幅变化频率：故振幅变化频率： | | 2 1 21 21 T 3.方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动）方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成（二维振动） 振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，例如振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动，例如 单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个振动沿单摆，就可以同时参与这样的两个振动。设一个振动沿 x 方方 向，一个沿向，一个沿 y 方向，即：方向，即： ) cos( ) cos( yy xx tAy tAx 这实际上就是合振动的坐标参量方程。这实际上就是合振动的坐标参量方程。 )(sin)cos( 2 12 2

19、12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 简简 谐谐 运运 动动 的的 合合 成成 图图 两两 相相 互互 垂垂 直直 同同 频频 率率 不不 同同 相相 位位 差差 4.方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形方向垂直、频率不同的两个简谐振动的合成，利萨如图形 如果如果 x 方向振动的频率方向振动的频率 vx 和和 y 方向振动的频率方向振动的频率 vy 不不 相等，它们的合成振动为：相等，它们的合成振动为： ) cos( ) cos( yyy xxx tAy tAx 当当x 与与y 成整数比时，合成整数比时，合 振动的轨迹仍是一些闭合振动的轨迹仍是一些闭合

20、曲线，如图所示，称为曲线，如图所示，称为利利 萨如图形萨如图形。当。当x 与与y的比的比 例一定时，初位相差不同，例一定时，初位相差不同， 对应的曲线形状和走向也对应的曲线形状和走向也 不同。图中给出了三种频不同。图中给出了三种频 率比，五种初位相差的图率比，五种初位相差的图 形。形。 当当x 与与y 不成整数比时，不成整数比时， 合振动的轨迹不再是闭合合振动的轨迹不再是闭合 曲线。利用利萨如图形的曲线。利用利萨如图形的 这些性质，可精确判定两这些性质，可精确判定两 种频率是否成整数比，并种频率是否成整数比，并 可据此由己知频率确定未可据此由己知频率确定未 知频率。知频率。 5. 振动的分解、

21、谐波分析（振动的分解、谐波分析（Fourier分析）分析） 对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它对于非简谐振动，直接分析它们往往较困难。如果把它 们分解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称们分解为许多简谐振动的叠加，事情就好办得多，数学上称 这种分解为傅里叶这种分解为傅里叶（Fourier）分析。我们不打算在这里讲数分析。我们不打算在这里讲数 学的定理和相应的推导，下面只给出一些定性的结论：学的定理和相应的推导，下面只给出一些定性的结论： 任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动任何一个周期性的振动都可分解为一系列频率为原振动 频率（称为频率（称为基频基频）整数倍

22、的简谐振动，在数学上这称为）整数倍的简谐振动，在数学上这称为 谐波分析谐波分析。以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做。以频率为横坐标、各谐频振幅为纵坐标所做 的图解，叫做的图解，叫做频谱频谱，此时的频谱为分立谱。不同的乐器，此时的频谱为分立谱。不同的乐器 有不同的频谱，反映在它们不同的音色上。有不同的频谱，反映在它们不同的音色上。 非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立非周期振动也可以用频谱来表示。这时频谱不再为分立 谱，而是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分谱，而是连续谱。不过，有些特殊的非周期振动可以分 解为频率不可通约的若干个分立的分振动。解为频率不可通约的若干个分立的

23、分振动。 5.2 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 一、阻尼振动一、阻尼振动 vCF r 阻尼力阻尼力 阻力系数阻力系数 maCkxv 0 d d d d 2 2 kx t x C t x m 0 d d 2 d d 2 0 2 2 x t x t x m k 0 mC 2 固有角频率固有角频率 阻尼系数阻尼系数 角频率角频率 振幅振幅 )cos( tAex t o t x 三种阻尼的比较三种阻尼的比较 阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线 A A t O x )0( 22 0 )cos( tAex t 0 d d d d 2 2 kx t x C t x m 22 0 b b

24、）过阻尼）过阻尼 22 0 a a）欠阻尼）欠阻尼 22 0 c c）临界阻尼）临界阻尼 t Ae T a b c tAe t cos 强迫力强迫力 tFkx t x C t x m p 2 2 cos d d d d m k 0 mC2 mFf tfx t x t x p 2 0 2 2 cos d d 2 d d )cos()cos( p0 tAteAx t 2 p 22 p 2 0 4)( f A 2 p 2 0 p 2 tg 强迫力的角频率强迫力的角频率 二、受迫振动二、受迫振动 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动称为振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受受 迫振动迫

25、振动，这种周期性的外力称为，这种周期性的外力称为策动力（强迫力）策动力（强迫力）。 三、共振三、共振 强迫力的频率和物体的固有频率相同时，外力在整个周强迫力的频率和物体的固有频率相同时，外力在整个周 期内对物体作正功，受迫振动的能量达到最大值。此时速度期内对物体作正功，受迫振动的能量达到最大值。此时速度 振幅也将达到最大值振幅也将达到最大值 tfx t x t x p 2 0 2 2 cos d d 2 d d )cos( p tAx 2 p 22 p 2 0 4)( f A 0 d d p A 22 0r 2 共振频率共振频率 22 0 r 2 f A 共振振幅共振振幅 P A o 共振频率

26、共振频率 0 大阻尼大阻尼 小阻尼小阻尼 阻尼阻尼0 共振现象的危害共振现象的危害 1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌 a b 例例3 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a ，水面以下高度为，水面以下高度为b。水密度。水密度为为 木块密度为木块密度为 ，不计水，不计水 的阻力现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐的阻力现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐 。求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。 任意位置木块受到的任意位置木块受到的合外力合外力为：为： 合外力和位移成正比，方向和位移相反，合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振动。木块作谐振动。 gx = s F = ()bbax+ssgg( 平平 衡衡 位位 置置 b c a . 0 x s y 平衡时：平衡时：