工程力学第八章

1、1 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 第第 8 章章 扭扭 转转 8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变 8-2 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形 8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件 8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 8-5 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 8-0 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 2 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 8-0 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 A B l A B l oo a b b O O b T T 3 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转

2、2021-7-2 如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作如上图所示，杆件在横向平面内的外力偶作 用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线用下发生扭转变形。其侧面上原有的直线ab变为变为 螺旋线螺旋线ab, 诸诸横截面绕杆的轴线相对转动，例如横截面绕杆的轴线相对转动，例如 B截面相对于截面相对于A截面转过一角度截面转过一角度bOb。 为了分析横截面上的内力，取为了分析横截面上的内力，取m-m截面。截面。 m A B l oo a b b O m b T T O 4 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 由图示任意横截面由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条左边一段杆的平衡

3、条 件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于 横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩扭矩， 常用符号常用符号MT表示。表示。 m x T MT m m A B l oo a b b O m b T T O 5 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 由由Mx（F）= 0 T MT = 0 即即MT = T m x m MT T m A B l oo a b b O m b T T O 6 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 扭矩的正负号由右手螺旋法则规定：扭矩的正负

4、号由右手螺旋法则规定： 使使卷曲右手的四指卷曲右手的四指其转向与扭矩其转向与扭矩MT的转向相的转向相 同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反同，若大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反 之为负。之为负。 MT (a) MT (b) 例：例： 扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。 7 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 一传动轴的计算简图如图所示，作一传动轴的计算简图如图所示，作 用于其上的外力偶矩之大小分别是：用于其上的外力偶矩之大小分别是：TA=2 kNm , TB=3.5kNm , TC =1 kNm , TD =

5、 0.5 kNm , 转向如转向如 图。试作该传动轴之扭矩图。图。试作该传动轴之扭矩图。 解：只要求出解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的段任意截面上的 扭矩，即可作出扭矩图。扭矩，即可作出扭矩图。 aaa ABCD TATBTCTD 例题例题 6-6 8 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1-1截面：截面： Mx（F）= 0 MT1 + TA = 0得得 MT1=TA= -2 kN.m 分别作截面分别作截面1-1、 2-2、3-3，如右图，如右图 所示。所示。 aaa ABCD TA TBTCTD1 1 2 2 3 3 TA MT 1 x A 1 1 考虑考

6、虑1-1截面截面 例题例题 6-6 9 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 2-2截面：截面： MT2 - TB + TA = 0得得 MT2= TB - TA = 3.5 - 2 = 1.5 kNm A B x TA TB 2 2 MT 2 aaa ABCD TA TBTCTD1 1 2 2 3 3 Mx（F）= 0 例题例题 6-6 10 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 同理得同理得MT3 = 0.5 kNm 由此由此,可作扭矩图如下：可作扭矩图如下： x MT (kNm) 1.5 0.5 + 2 aaa ABCD TATBTCTD

7、例题例题 6-6 11 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？ 思考题思考题6-6 x MT (kNm) 1.5 0.5 + 2 aaa ABCD TATBTCTD 12 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 作杆的扭矩图。作杆的扭矩图。 1 m 1 m 0.2m 0.1 m 0.1 m 4 kN 1 kN 2 kN 思考题思考题6-7 13 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1m1m 0.2m 0.1m 0.1m 4 kN 1 kN 2 kN 思考题

8、思考题6-7参考答案参考答案 MT /kNm x 0.4 0.2 O 14 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 我们在讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题：我们在讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到这样的问题： m m MT T x x MT TA B A B a b T | m | m l T b O 15 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转杆件在横向平面内的外力偶的作用下，要发生扭转 变形，产生相对扭转角变形，产生相对扭转角 bOb(B截面相对于截面相对于A截面），截面）， 受扭杆之内力如上。用分离

9、体分析扭矩受扭杆之内力如上。用分离体分析扭矩MT 。 本章主要研究以下内容：本章主要研究以下内容： (1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变；薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直圆截面等直杆受扭时的应力和变形；（等直 圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简圆杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简 单。）单。） (3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学 中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截 面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。）面不再保持平面，要发生扭曲，求解复杂。） 16 工程力学

10、电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力 还是切应力？为什么？还是切应力？为什么？ 思考题思考题 8-1 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力答：切应力，因为与正应力相应的分布内力 之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。之合力不可能是个作用在横截面上的力偶。 17 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变 了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量 （以

11、弧度计）称之为（以弧度计）称之为切应变切应变。 8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变薄壁圆筒扭转时的应力与应变 T T g (rad) l 平均半径为平均半径为 r。厚度为。厚度为 且且 r。 18 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下，均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆筒横截面上与此切应变相应的切

12、应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系 T T g (rad) l 19 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 沿外圆周的切向，如下图所示。沿外圆周的切向，如下图所示。 T MT（ MT =T） 上述内容主要说明：上述内容主要说明： (1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； (2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等； 20 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭

13、 转转 2021-7-2 (3) 薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿外周线的 切线。切线。 对于薄壁圆筒（对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点很小），横截面上其它各点 处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向 变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的 切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。即如图中所示。 T MT（ MT =T） 21 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021

14、-7-2 这样，知道了切应力这样，知道了切应力t t 的分布规律后的分布规律后 ，便可以利用，便可以利用 静力学关系静力学关系 r 用平均半径用平均半径r0代替代替 上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算 公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情 况下导出的。况下导出的。 A rAMd T t t 则则 A ArArM 00T dt tt t 从而有从而有 (8-1)2/( )2/( )/( 2 0T 00T 0T t t rM rrM ArM 22 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-

15、7-2 当当 /r0=10 ，其误差为，其误差为4.5。 T T g (rad) l 至于切应变，由上图得至于切应变，由上图得 rl g g 式中式中 r为圆筒外半径。为圆筒外半径。 则则 lr/ g g 但，此关系还未与但，此关系还未与T建立联系。建立联系。 23 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外 加力偶矩在某一范围内时，扭转角加力偶矩在某一范围内时，扭转角f f 与外力偶矩与外力偶矩T之之 间成正比。间成正比。 T f O lr/g )2/( 2 0 trM T 剪切比例剪切比

16、例 极限极限 ptt t g O 24 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 剪切比例剪切比例 极限极限 ptt t g O 图中的线性关系为图中的线性关系为 t t = Gg g 上式称之为材料的剪切胡克定律，不只是适用于上式称之为材料的剪切胡克定律，不只是适用于 薄壁圆筒。薄壁圆筒。 ( 拉压胡克定律拉压胡克定律 s s = Ee e) 式中式中 G材料切变模量，量纲为材料切变模量，量纲为MPa。如如各种钢的各种钢的 切变模量均约为切变模量均约为8.0104 MPa，至于剪切比例极限，至于剪切比例极限， 则随钢种而异；则随钢种而异；Q235钢，钢，t tp =120

17、 MPa。 25 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，理论分析和实验都表明，对于各向同性材料， 剪切弹性模量与其它两弹性参数剪切弹性模量与其它两弹性参数E和和n n 之间存在下列之间存在下列 关系：关系： 泊松比泊松比 )1(2n n E G 以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。 它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。 26 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，实心圆截面杆和非薄壁

18、空心圆截面受扭时， 我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在 受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。 8-2 圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形 8.2.1 横截面上的切应力横截面上的切应力 现在的关键在于：现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横确定切应力在横截面上的变化规律，即横 截面上距圆心为任意半径截面上距圆心为任意半径r r 的一点处切应力的一点处切应力 t tr r与与r r的关系。的关系。 27 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 首先观察受扭时，表面的

19、首先观察受扭时，表面的 变形情况，据此作出涉及变形情况，据此作出涉及 杆件内部变形情况的假设，杆件内部变形情况的假设， 最后还要利用应力和应变最后还要利用应力和应变 之间的物理关系。之间的物理关系。 (1) 几何关系几何关系 (2) 物理关系物理关系 (3) 静力学关系静力学关系 28 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1. 几何关系：几何关系： (1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕 杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形 较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。

20、较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。 如下图，实验表明：如下图，实验表明： A B a b O b T T 29 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 (2) 平截面假设平截面假设 等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那 样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横 截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只 是绕圆心旋转了一个角度。是绕圆心旋转了一个角度。 A B a b O b T T 30 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭

21、转转 2021-7-2 取微段取微段dx分析：得半径为分析：得半径为r r的任意圆柱面上的切的任意圆柱面上的切 应变。应变。 g TM g fd (a) T M r r d x 式中：式中：d f f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常是长度方向的变化率，按平面假设是常 量。这样，等直圆杆受扭时，量。这样，等直圆杆受扭时，r r与与g gr r 成线性关系。成线性关系。 (1) d d ( d d tan xx f f r r f fr r g gg g r rr r 31 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 2. 物理关系：物理关系： 由剪切胡克定律：由剪切胡

22、克定律：t tr r=Gg gr r ，在，在 t tt tp 时，可把时，可把(1) 式代入，得：式代入，得： 上式表明：受扭的等直杆在上式表明：受扭的等直杆在 线性弹性范围内工作时，横截线性弹性范围内工作时，横截 面上的切应力在同一半径面上的切应力在同一半径r的圆的圆 周上各点处大小相同，但它们周上各点处大小相同，但它们 随随r r 作线性变化，同一横截面上作线性变化，同一横截面上 的最大切应力在圆周边缘上的最大切应力在圆周边缘上 （图（图(b)，方向垂直于各自的半方向垂直于各自的半 径。径。 TM (b) maxt rt r (2) ) d d ( x GG f f r rg gt t

23、r rr r 32 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 上式与上式与MT没有联系起来。没有联系起来。 若等截面圆杆在若等截面圆杆在MT 作用下，则作用下，则t t 如何？如何？ 3. 静力学关系：静力学关系： (2) ) d d ( x GG f f r rg gt t r rr r 33 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 整个横截面面积整个横截面面积A范围内每个微面积范围内每个微面积dA乘以它乘以它 到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质， 称之为横截面的极惯性矩，常用称之为横截面的极惯

24、性矩，常用Ip来表示，即：来表示，即： (2) ) d d ( x GG f f r rg gt t r rr r AM A d T r rt t r r A A x GMd d d 2 T r r f f （单位：（单位：mm4或或m4） A p AId 2 r r 34 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 A A x GMd d d 2 T r r f f A p AId 2 r r p T d d GI M x f f 35 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 上式为等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力上式为等直圆杆受扭时横截面上任一点

25、处切应力 的计算公式。的计算公式。 若求若求t tmax，则令，则令r r =r，有，有 p T d d GI M x f f 又又) d d ( x GG f f r rg gt t r rr r 故故 p T I Mr r t t r r p T max I rM t t 36 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线 性弹性范围内受扭情况。性弹性范围内受扭情况。 改写成改写成 T T max W M t t 其中抗扭截面模量其中抗扭截面模量 ， 常用单位：常用单位：mm3或或m3 。

26、 r I W p T 37 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 . O A B MT 思考题思考题8-2 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之 横截面，该截面上的扭矩横截面，该截面上的扭矩MT 亦如图所示，试绘亦如图所示，试绘 出水平直经出水平直经AB上各点处切应力的变化图。上各点处切应力的变化图。 38 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 MT AB O 思考题思考题8-2参考答案参考答案: 39 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 一受扭圆轴一受扭圆轴,由实心杆由实心杆1和

27、空心杆和空心杆2紧配合而成。紧配合而成。 整个杆受扭时两部分无相对滑动整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿试绘出切应力沿 水平直经的变化图，若水平直经的变化图，若(1) 两杆材料相同，即两杆材料相同，即 G1=G2=G；(2) 两材料不同，两材料不同，G1=2G2。 MT 1 2 思考题思考题8-3 40 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题8-3(1)答案：答案： MT G1=G2=G 2 1 41 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题8-3(2)答案：答案： MT G1=2G2 2 1 42 工程力学电子教

28、案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 主要计算实心圆截面和空心圆截面。主要计算实心圆截面和空心圆截面。 如图有如图有 r rd o 8.2.2 极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量Ip和和Wp 对于实心圆截面对于实心圆截面 A p AId 2 r r r rr rd2d A 32/ d2 d 4 2 2/ 0 2 p d AI d A r rr rr r r r 43 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 r rd o 对于空心圆截面（外径对于空心圆截面（外径D，内内 径径d） 式中：式中：a a =d / D 16/ 2/ 3p p d d I W

29、)1( 32 )( 32 d2 d 44 44 2 2/ 2/ 2 p a a r rr rr r r r D dD AI D d A 44 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 千万不要出错！千万不要出错！ 应当注意：应当注意： )1( 16 2/ 4 3 p p a a D D I W 45 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题：思考题：165页思考题页思考题(第一版第一版133 页思考题页思考题) 46 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 8.2.3 扭转角扭转角 ) d d ( x G f f r rt

30、t r r AT A d r rt t r r p d d GI T x f f x GI T dd p f f x GI T l p l dd 0 f ff f 47 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 若若 l 范围内，范围内，T是常量，是常量，GIp也为常量，则上式也为常量，则上式 GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。 l gTT （弧度）（弧度） p GI Tl f f 比较：比较： EA lF l N 48 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 一水轮机的功率为一水轮机的功率为Nk=7350 kW

31、，其，其 竖轴是直径为竖轴是直径为d =650 mm，而长度为而长度为l =6000 mm的的 等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G =0.8105 MPa。求当水轮机以转速。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀匀 速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的 相对扭转角相对扭转角f f。 O T a 例题例题 8-2 49 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 O T a 解：轴传递功率解：轴传递功率Nk(kW) ， 相当于每分钟传递功相当于每分钟传递功 W=1000Nk60(

32、Nm) (1) 令令(1)、(2)相等，得相等，得 外力偶作功外力偶作功 (2)nTTW2 nTNT2/100060 k 即即 m)(kN/55. 9 k nNT 例题例题 8-2 50 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 因此作用在轴上的外力偶矩因此作用在轴上的外力偶矩T为为 O T a m)(kN1217 7 .57/735055. 9 T mN1022. 110001217 6 T TM 3 33 3 T m0539. 0 )10650( 16/ dW MPa6 .22/ TTmax WMt t 极惯性矩极惯性矩 44 p m0175. 032/ dI rad0

33、0523. 0/ pT GIlMf f 例题例题 8-2 51 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。图示传动轴系钢制实心圆截面轴。 已知：已知： T1=1592Nm，T2=955Nm，T3=637Nm 截面截面A与截面与截面B 、C之间的距离分别为之间的距离分别为lAB=300mm 和和lAC=500mm。轴的直径。轴的直径d =70mm, 钢的剪切弹性钢的剪切弹性 模量模量G=8104 MPa 。试求截面试求截面C对对B的扭转角的扭转角 1T 2T d AB l 3T A B C AC l 例题例题 8-3 52 工程力学电子教案工程力

34、学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1T 2T d AB l 3T A B C AC l 解：由截面法得解：由截面法得，两段内扭矩分别为两段内扭矩分别为M T = 955 Nm, M T = 637 Nm 。先分计算 。先分计算B ，C截面截面 对对A之扭转角之扭转角f fAB， f fAC , 则可以假想此时则可以假想此时A不动。不动。 p T p T GI lM GI lM AC AC AB AB f ff f， 例题例题 8-3 53 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1T 2T d AB l 3T A B C AC l 由于假想截面由于假想截面A固定不动

35、，故固定不动，故 截面截面B、C相对于截面相对于截面A的相对的相对 转动应分别与扭转力偶矩转动应分别与扭转力偶矩T2、 T3的转向相同，从而的转向相同，从而f fAB和和f fAC 的转向相同。由此可见，截面的转向相同。由此可见，截面 C对对B的扭转角的扭转角f fBC应是：应是： 上两式中的上两式中的Ip可以利用可以利用 32/ 4 p dI rad1052. 1 107)32/(1080 3 . 0955 3 849 AB f f rad1069. 1 3 AC f f同理：同理： 例题例题 8-3 54 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 其转向与扭转力偶矩其转

36、向与扭转力偶矩T3相同。相同。 1T 2T d AB l 3T A B C AC l rad107 . 1 4 ABACBC f ff ff f 例题例题 8-3 55 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 直径直径50mm的钢圆轴，其横截面的钢圆轴，其横截面上的扭矩上的扭矩 MT=1.5 kNm，求横截面上的最大切应力。求横截面上的最大切应力。 思考题思考题8-4 T =1.5 kN m T l T 56 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题 8-5 空心圆轴的直径空心圆轴的直径d =100 mm，长长l =1m，作用作用 在两个

37、端面上的外力偶之矩均为在两个端面上的外力偶之矩均为T=14 kNm，但但 转向相反。材料的切变模量转向相反。材料的切变模量G=8104 MPa。求：求： (1) 横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭 转角。转角。 (2) 图示横截面上图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。三点处切应力的大小及方向。 A BC O 25 T l T 57 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 (1) t tmax=71.3 MPa f f = 0.01784 rad (2) t tA=t tB=t tmax= 71.3 MPa t tC=35.

38、7 MPa 思考题思考题8-5答案：答案： A BC O 25 58 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 下图下图(a)所示的扭转超静定问题，若假想地解所示的扭转超静定问题，若假想地解 除除B端的约束，而利用端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位截面的扭转角为零作为位 移条件求解移条件求解(图图(b)，试列出其求解过程。试列出其求解过程。 A ab l C B T 思考题思考题8-6 59 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 A T B TB 思考题思考题8-6答案：答案： 先考虑先考虑 T 作用，则作用，则 只考虑只考虑TB的作用，则的作

39、用，则 0 B f f p p 1 /GITa GI ACT BA f f 2 ppp () BBB BA TABTabT l GIGIGI f 60 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 A T B TB 相容条件：相容条件： 则则TA=T b/l 上述结果可与书例题上述结果可与书例题8-4进行比较。进行比较。 21BABAB f ff ff f pp 0 B T lTa GIGI 得得)/(laTTB 61 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 8.2.4 斜截面上的应力斜截面上的应力 通过扭转实验发现：通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件

40、系横截面剪断；低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成铸铁试件则沿着与轴线成45的螺旋线剪断；的螺旋线剪断； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。 研究类似铸铁试件破坏原因研究类似铸铁试件破坏原因 考虑斜截面上的应力。考虑斜截面上的应力。 62 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 方法：扭杆假想切开斜截面方法：扭杆假想切开斜截面 扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面 x T A (a) 点上切一个单元体点上切一个单元体 63 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7

41、-2 (1) 左、右横截面左、右横截面 (2) 顶、底面，径向截面顶、底面，径向截面 前、后面，切向截面前、后面，切向截面 (3)切应力互等，纯剪切切应力互等，纯剪切 状态状态 xx (b) ad c d 64 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题 8-7 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截 面面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出 （1）横截面）横截面AGB上应力沿直径上应力沿直径AB的分布；的分布； （2）径截面）径截面ABEF上应力分别沿直径上应力分别沿直径AB、C

42、D、 EF的分布。的分布。 T M E C FDB A G T M 65 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题8-7答案答案: E C FDB A G T M T M 66 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 现从受扭圆杆件的表面现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图取出一单元体（图(b)）, 图图(b)处于纯剪切状态处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：现改其为平面图表示： x T A (a) xx (b) a d c b y a bc d e n x a t a (a) t t d e t a a n x c (b) as at

43、 67 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 y a bc d e n x a t a (a) 研究垂直于前后两个面的任意斜截面研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的上的 应力应力,如图如图(a)、(b)。de 斜面作着未知的正应斜面作着未知的正应 力力s sa a和和切切应力应力t ta a。 t t d e t a a n x c (b) as at 设设de的面积为的面积为dA，则则 a aa asindd,cosddAAAA cedc 68 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 t t d e t a a n x c (b) as at

44、 0d cos)sind( sin)cosd( , 0 A A A Fn a a s s a aa at t a aa at t 简化后：简化后： a at ts s a a 2sin 同理同理 0 t t F 得：得：a at tt t a a 2cos 69 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 t t d e t a a n x c (b) as at t 1 2 3 4 45 45 t t t 当当a a0o与与a a90o时：时： t ta a有最大值，即为有最大值，即为t t a a=45o的情况下：的情况下： s sa a有极值，即为有极值，即为t t。

45、a a=145o，s sa a=s smin=-t t a a=-45o，s sa a=s smax=+t t a at ts s a a 2sin a at tt ta a2cos 70 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上 是沿是沿45方向拉伸引起的断裂。方向拉伸引起的断裂。 也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂 的最大拉应力的最大拉应力s smax总是等于横截面上相应的切应总是等于横截面上相应的切应 力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就

46、以力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以 横截面上的横截面上的t t 作为依据。如下图所示。作为依据。如下图所示。 T T maxs 断裂线断裂线 min 71 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1. 薄壁圆筒扭转时的应力和变形。薄壁圆筒扭转时的应力和变形。 小结：小结： 2. 圆杆扭转时的应力和变形。圆杆扭转时的应力和变形。 (1) 横截面上的应力横截面上的应力 2 0 (1) 2 T M r t 材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律g gt tG )2( 、n n三者之间的关系三者之间的关系 )1(2 )3( E G 72 工程力学电子教案工程力学电子教案扭

47、扭 转转 2021-7-2 (a) 几何关系几何关系 (b) 物理关系物理关系 (c) 静力学关系静力学关系 ) d d ( x f f r rg g r r r rr r g gt t G x G d df f r rt t r r A AMd T r rt t r r A A x GMd d d 2 T r r f f 73 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 (d) 极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量 实心圆截面实心圆截面 代入代入Ip得得 p T d d GI M x f f TT m ax pT , MM IW r r tt 32/ 4 p dI

48、16/ 3 T dW 74 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 空心圆截面空心圆截面 扭转角扭转角 斜截面上的应力斜截面上的应力 )( 32 44 p dDI )( 16 44 T dD D W x GI M l l dd 0 p T f ff f p T GI lM f f a at ts s2sin a at tt t2cos 75 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题 8-8 直径直径d =25 mm的钢圆杆，受轴向拉力的钢圆杆，受轴向拉力60 kN 作用时，在标距为作用时，在标距为200 mm的长度内伸长了的长度内伸长了

49、0.113 mm；当它受一对矩为；当它受一对矩为0.2 kNm的外力偶作的外力偶作 用而扭转时，相距用而扭转时，相距200 mm的两个横截面相对转的两个横截面相对转 动了动了0.732的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性的角度。试求此圆杆所用钢材的弹性 常数常数E、G和和v。 76 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题8-8答案答案 4824 m10833. 3,m10906. 4 IpA EA Fl l a lA Fl EMP1016. 2 5 p GI Tl f f MPa1017. 8 4 p I Tl G f f )1(2 E G322. 01 2 G

50、 E 77 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 实心或空心圆截面杆受扭时实心或空心圆截面杆受扭时,杆内所有的点均杆内所有的点均 处于纯剪切应力状态处于纯剪切应力状态,而整个杆的危险点在横截面而整个杆的危险点在横截面 的边缘处。的边缘处。 8-3 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件 1. 强度条件强度条件 受扭圆杆的强度条件：受扭圆杆的强度条件： max t tt t 对于等截面杆：危险点必在对于等截面杆：危险点必在MTmax 所在截面所在截面 边缘处边缘处, 即即 T max Tmax /WM t t 由以上两式得到由以上两式得到/ T max T t t WM 7

51、8 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆根据上述公式，可对空心或实心圆截面受扭杆 件进行件进行 (1) 校核强度校核强度 (2) 选择截面尺寸选择截面尺寸 (3) 计算容许荷载计算容许荷载 2. 刚度条件刚度条件 满足了强度条件，但若变形过大，必将对满足了强度条件，但若变形过大，必将对 正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角正常工作产生影响。刚度条件通常是以扭转角 沿杆长的变化率沿杆长的变化率q q (=df f/dx ), 其最大值其最大值q qmax不超不超 过某一规定的容许值过某一规定的容许值q q 来表达，即来表达，即

52、 79 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 式中式中q q 为单位长度杆的容许扭转角，单位为单位长度杆的容许扭转角，单位/m 来计算。化为角度每米则为来计算。化为角度每米则为 max q qq q 对于等直的圆杆，其对于等直的圆杆，其q qmax按式：按式： p T d d GI M x f f (8-17) m a x p 1 8 0 T M G I q 式中，式中，MTmax Nm，G Pa，Ip m4 80 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 容许扭转角容许扭转角q q ，对于精密仪器的轴，对于精密仪器的轴 ，常常取，常常取 0.150

53、.30 /m。至于一般的轴则取至于一般的轴则取 2 /m。 书例书例8-4校核强度和刚度校核强度和刚度 书例书例8-5选择截面尺寸选择截面尺寸 书例书例8-6 建立强度条件建立强度条件 81 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 阶梯形圆柱直径分别为阶梯形圆柱直径分别为d1= 4 cm , d2=7 cm,轴上装有轴上装有3个皮带轮如图所示。已知由轮个皮带轮如图所示。已知由轮3 输入的功率为输入的功率为T3=30 kW,轮轮1输出的功率为输出的功率为 T1=13 kW , 轴作匀速转动轴作匀速转动,转速转速n = 200转转/分分,材料材料 的剪切许用应力的剪切许用应力

54、t t =60 MPa,G = 80 GPa,许用扭转许用扭转 角角q q = 2 /m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 0.5 m0.3 m1 m A C DB 1 2 3 1M 2M3M d1 d2 第八章第八章 扭扭 转转 例题例题 8-7 82 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 解解: 计算扭矩：计算扭矩： 0.5 m0.3 m1 m A C DB 1 2 3 1 T 2 T 3 T d1 d2 强度校核：强度校核： mkN612. 0200/1355. 9/55. 9 11 nNT mkN432. 1200/3055. 9/55. 9 33

55、nNT mkN811. 0 132 TTT MPa4 .49 104 10621. 016 16 63 3 3 1 1 max t t t t d T AC段段： 例题例题 8-7 83 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 故强度满足。故强度满足。 刚度校核：刚度校核： AC段：段： 0.5 m0.3 m1 m A C DB 1 2 3 1 T 2 T 3 T d1 d2 3 3 max 336 2 1616 1.432 10 21.3MPa 710 T DB d tt 段： /m77. 1 1041080 18062132 180 32 33494 1 1 max

56、q qq q dG T 例题例题 8-7 84 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 0.5 m0.3 m1 m A C DB 1 2 3 1 T 2 T 3 T d1 d2 故刚度满足。故刚度满足。 DB段：段： /m44. 0 1071080 180143232 180 32 28494 2 3 max q q q q dG T 例题例题 8-7 85 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已 知轴的转速知轴的转速n=100 转转/分，传输功率分，传输功率N

57、 =7.5 kW,材料材料 的容许切应力的容许切应力t t =40MPa,试选择实心轴直径试选择实心轴直径d1和内和内 外径比值为外径比值为0.5的空心轴的外径的空心轴的外径D。 2d 1d 3d 例题例题 8-8 86 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 解解: 扭矩计算：扭矩计算： 计算实心轴直径计算实心轴直径,由强度条件由强度条件 2d 1d 3d mN716 100 5 . 7 55. 955. 9 n N T 16 3 1 max t tt t d T 36 1 16 716/ 40 1045mmd 例题例题 8-8 87 工程力学电子教案工程力学电子教案扭

58、扭 转转 2021-7-2 计算空心轴直径计算空心轴直径,由强度条件由强度条件: 2d 1d 3d )1( 16 43 2 max t t a a t t d T mm46)5 . 01(1040/71616 3 46 2 d 例题例题 8-8 88 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也如同拉伸和压缩时一样，杆件在受扭时杆内也 积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，积蓄有应变能。杆在弹性范围内工作，f f 与与Me成线成线 性关系。性关系。 8-4 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 ff o Me e M Me 89

59、 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 ff o Me e M Me 2 M W f f 2 f f e M U 又又 e p M l GI f 则则 p 2 e 2GI lM U 或或 2p 2 f f l GI U 90 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取对于杆的各横截面上扭矩不相等的情况，取微段分微段分 析入手。析入手。 例如：例如： 1 l 1e M 2 l 2e M 3e M 1e M xd 1e M 从而知：左段杆内的应变能：从而知：左段杆内的应变能： 2 1 11 p d dd/ 2 2 e

60、 e Mx UM GI f p 1 2 1 11 2 d 1GI lM uU e l 91 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 1 l 1e M 2 l 2e M 3e M 1e M xd 1e M 整个杆内积蓄的应变能为：整个杆内积蓄的应变能为： 右段杆内：右段杆内： 2 p 2 2 3 22 2 d l e GI lM uU p 2 2 3e p 1 2 1e 21 22GI lM GI lM UUU 92 工程力学电子教案工程力学电子教案扭扭 转转 2021-7-2 思考题思考题 8-9 (1) 求图示同一杆件在三种受力情况下的应变能。求图示同一杆件在三种受力情