振动与波动第一次

1、1 第七章 振动和波动 2 第七章 振动和波动 7-1 简谐振动 7-2 简谐振动的叠加 7-3 阻尼振动、受迫振动和共振 7-4 关于波动的基本概念 7-5 简谐波 7-6 波动方程和波的能量 7-7 波的干涉 7-8 多普勒效应 * 7-9 声波、超声波和次声波 3 人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电 学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。 振动的一般概念：任何一个物理量在某一定值附 近作反复变化，都可以称为振动。 振动中所涉及的是物体位置随时间的变更，振动中所涉及的是物体位置随时间的变

2、更，称为称为 机械振动。机械振动。 特点特点： 有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。 周期性振动周期性振动在在T 时间时间内运动状态能完全重复。内运动状态能完全重复。 非周期性振动非周期性振动在在T 时间时间内运动状态不能完全重复。内运动状态不能完全重复。 4 机械振动分类：机械振动分类： 按产生振动原因分：按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。 按振动规律分：按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 按自由度分：按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。 按振动位移分：按振动位移分：角振动、线振动。 按系统参数特征分：按系统参数特征分：线性、非线性振动。 简谐振动是最基本

3、的，存在于许多物理现象中。简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。 5 7-1 简谐振动简谐振动 一、一、简谐振动(simple harmonic wave)的基本特征的基本特征 以弹簧振子为例讨论，弹以弹簧振子为例讨论，弹 簧振子是典型的簧振子是典型的简谐振动x x M O 弹簧的弹力弹簧的弹力kxF-= 根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有kx t x mmaF-= d d = 2 2 所以所以0 d d 2 2 2 x t x m k 2 其解其解)cos(tAx （以后只取此式的形式）（以后只取此式

4、的形式） 或或)sin(tAx 6 任何物理量任何物理量x 的变化规律若满足方程式的变化规律若满足方程式 并且并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化 过程就是简谐振动。过程就是简谐振动。 0 d d 2 2 2 x t x 二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量 1. 振幅A (amplitude) 振动物体离开平衡位置的最大幅度。振动物体离开平衡位置的最大幅度。 2. 周期 (period)与频率(frequency)和角频率(angular frequency) 周期周期T 振动振动物体完成一次振动所需的时间物体完成一次振动所需的时间

5、 频率频率 在在1 秒时间内所完成振动的次数秒时间内所完成振动的次数 角频率角频率 物体物体在在2秒内所完成振动的次数秒内所完成振动的次数 三者关系三者关系 T 1 T 2 2 7 3. 相位(phase)和初相位(initial phase)： t+ 和 振动物体初始时刻的位移和速度表示振动物体在振动物体初始时刻的位移和速度表示振动物体在 初始时刻的运动状态初始时刻的运动状态, 也就是振动物体的初始条件。也就是振动物体的初始条件。 振幅振幅A和初相位和初相位 ，数学上是，数学上是 在求解微分方程时引入的两个积在求解微分方程时引入的两个积 分常量，分常量，物理上是由振动系统的物理上是由振动系统

6、的 初始状态所决定的两个描述简谐初始状态所决定的两个描述简谐 振动的特征量。振动的特征量。 振幅一定、角频率已知，在任意时刻运动状态振幅一定、角频率已知，在任意时刻运动状态(位位 置和速度置和速度)完全取决于相位完全取决于相位 t+ ；初始时刻的运动状初始时刻的运动状 态取决于初相位态取决于初相位 。 )sin( d d tA t x v sin cos 0 0 Av Ax 0 0 2 0 2 0 arctan x v v xA 8 y M O P x t 三、简谐振动的矢量图解法和复数三、简谐振动的矢量图解法和复数解法解法 极为重要！极为重要！ 简谐振动可以用旋转矢量来简谐振动可以用旋转矢量

7、来描绘描绘 t=0时刻，投影点位移时刻，投影点位移cos 0 Ax 在任意时刻，投影点位移在任意时刻，投影点位移 )cos(tAx 简谐振动曲线如图：简谐振动曲线如图： 以上描述简谐振动的方法称为简谐以上描述简谐振动的方法称为简谐 振动的振动的矢量图解法矢量图解法。 A t G H I J K LM N T T 相 差相 差 指 的 是 两 振 动 的 相 位 之 差 ， 相指 的 是 两 振 动 的 相 位 之 差 ， 相 差差 ，相，相 和相差用来比较两个简谐振动的步调是否一致及讨论和相差用来比较两个简谐振动的步调是否一致及讨论 振动的叠加。振动的叠加。 )()()()( 12121122

8、 ttt 9 简谐量的简谐量的复数表示复数表示 cos()sin() () xAAtAt t ei i 简谐量简谐量 是复数是复数 的实部，振幅与复数的模相对应，的实部，振幅与复数的模相对应， 相位与辐角相对应。相位与辐角相对应。 x x 例例1 有一劲度系数为有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧的轻弹簧, 放置在放置在 光滑的水平面上，其一端被固定光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量为另一端系一质量为 500g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡 位置位置10.0cm 处，然后将物体由静止释放处，然后将物体由静止释放, 物体将在物

9、体将在 水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的 位移、速度和加速度与时间的关系。位移、速度和加速度与时间的关系。 10 解解 设物体沿设物体沿x 轴作简谐振动轴作简谐振动 A = 10.0 cm = 0.100 m 1 -1 srad008srad 5000 032 . . . m k 当当t = 0 时时 ，x = A ，cos =1 ， 即即 = 0 所以所以 x = 0.100 cos 8.00(rads-1) t m 速度、加速度的最大值为速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.000.100 m s 1 = 0.800 m s

10、1 am= 2 A = (8.00)2 0.100 m s 2 = 6.40 m s 2 v = 0.800 8.00(rads-1) t m s 1 a = 6.40 cos 8.00(rads-1) t m s 2 所以所以 11 例例2 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写 出该振动的位移与时间的关系。出该振动的位移与时间的关系。 P 2.0 -2.0 x/cm t/s -4.0 4.0 1 O 解解 由图知由图知 A = 4.0102 m 当当 t=0 时，时， 0, 2 = 00 v A x 由式由式 x0 = A cos v0 = A sin

11、 解得解得 3 ) 3 (cos100 . 4 2 tx 所以所以 m 又由曲线知又由曲线知 当当 t =1s 时时, ,x =0, ,代入上式得代入上式得 04 010 3 2 .cos() m 12 所以所以 11 srad 2 srad 3 因因 0 即即 () 23 5 6 rad srad s -1-1 简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为m) 3 rad 6 5 (cos100 . 4 12 s tx 四、四、简谐振动的能量简谐振动的能量 以弹簧振子为例以弹簧振子为例x = A cos ( t+) v = A sin ( t+) EmvmAt k 1 2 1 2 2222 sin

12、() Ek xkAt p 1 2 1 2 222 cos () 由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性周期性 变化变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到 最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所 以动能也达到最大值。以动能也达到最大值。 13 EEEmAtkAt kp 1 2 1 2 22222 sin ()cos () 总能量总能量 因为因为 2 km/ EmAkA 1 2 1 2 222 所以所以 尽管在振动中

13、弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性 变化变化, , 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。 由公式由公式 Emvk xkA 1 2 1 2 1 2 222 得得 v k m AxAx () 2222 此式表明，此式表明，在平衡位置处，在平衡位置处，x = 0, = 0, 速度为最大；速度为最大； 在最大位移处，在最大位移处，x = A, , 速度为零速度为零。 14 例例 3：长为长为l 的无弹性细线，一端固定在的无弹性细线，一端固定在A点，另一点，另一 端悬挂质量为端悬挂质量为m的物体。静

14、止时，细线沿竖直方向，的物体。静止时，细线沿竖直方向， 物体处于点物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平，是系统的平衡位置。若将物体移离平 衡位置，与竖直方向夹一小角度衡位置，与竖直方向夹一小角度 ，由静止释放，由静止释放, 物体物体 就在平衡位置附近往返摆动就在平衡位置附近往返摆动, 称为称为单摆单摆。证明。证明单摆的单摆的 振动是简谐振动振动是简谐振动，并分析其能量。，并分析其能量。 h O A mgsin mgcos gm f 解解:物体受物体受 和和 两个力作用两个力作用, gm f 根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得 ml t mg d d 2 2 sin 当偏角当偏角 很

15、小时很小时， sin 所以所以 ml t mg d d 2 2 15 即即 d d 2 2 2 0 t 其中其中 2 g l 解微分方程得解微分方程得 = 0 cos ( t+) 说明了在偏角说明了在偏角很小时很小时, 单摆的振动是简谐振动。单摆的振动是简谐振动。 单摆系统的机械能包括两部分：单摆系统的机械能包括两部分： )(sin 2 1 )( 2 1 2 1 22 2 0 222 k tmllmmvE 动能动能 势能势能 Ep = m g h = m g l (1cos ) 将将cos 展开展开 cos ! 1 246 246 因为因为 很小，上式只取前两项，很小，上式只取前两项， 16

16、所以所以 Emglmglt p 1 2 1 2 2 0 22 cos () 因为因为 2 g l 所以所以 Emglml 1 2 1 2 0 2 22 0 2 上式表示上式表示, , 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的尽管在简谐振动过程中，单摆系统的 动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒 定不变的，并与振幅的平方成正比。定不变的，并与振幅的平方成正比。 总能量总能量 pk EEE )(cos)(sintl gmtlmE 2 2 0 22 2 0 2 2 1 2 1 17 7-2 简谐振动的叠加 18 ) ) 2 A1 A2 1 x y O x2

17、x1 7-2 简谐振动的叠加简谐振动的叠加 一、一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动设有两个同频率的谐振动 )cos( 111 tAx)cos( 222 tAx 合振动合振动 )cos()cos( 221121 tAtAxxx 由矢量图得由矢量图得)cos(tAx （仍为同频率谐振动）（仍为同频率谐振动） x ) A 而而 )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA arctan AA AA 1122 1122 sinsin coscos 19 讨论讨论：1. , 2 , 1 , 02 12 kk 2. , 2 , 1 , 0

18、) 12( 12 kk 合振幅减小，合振幅减小，振动减弱振动减弱 21 AAA 合振幅最大，合振幅最大，振动加强振动加强 21 AAA 12 3. 一般情况下一般情况下 为任意值为任意值 2121 AAAAA 2 A A 1 A 2 A A 1 A 2 A A 1 A A 2 A 1 A 2 A 20 x y O 二、二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两谐振动分别为两谐振动分别为 )cos( 1111 tAx )cos( 2222 tAx 合振动合振动)cos()cos( 22211121 tAtAxxx 合振动不再是谐振动，合振动不再是谐振动，

19、 而是一种复杂振动而是一种复杂振动 矢量图解法矢量图解法（如图）（如图） A 1 A 2 A 1 2 1 A A 2 A 2 1 由矢量图得合振动的振幅为由矢量图得合振动的振幅为 AAAA At 1 2 2 2 122121 2cos()() 21 由上式可见，由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异由于两个分振动频率的微小差异 而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象拍现象。 合振动在合振动在1s内加强或减弱的次数称为内加强或减弱的次数称为拍频拍频。 拍频为拍频为 12 三角函数法三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同设两个简谐振动的振幅和初相位相

20、同 合振动为合振动为 ) 2 cos() 2 cos(2 )cos()cos( 1212 2121 ttA tAtAxxx )cos( 11 tAx)cos( 22 tAx 22 拍频的振幅为拍频的振幅为 )cos(tA 2 2 12 振幅的周期为振幅的周期为 1212 2 ) 2 ( T 拍频为拍频为 1 2 21 21 T 拍的振动曲线如右图拍的振动曲线如右图 三、三、两个互相垂直的简谐振动的合成两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为两简谐振动为 )cos(tAx （1） )cos(tBy （2） 23 以以cos 乘以乘以(3)式，式，cos 乘以乘以(4)式，再两式相减得式，再两式

21、相减得 改写为改写为sinsincoscostt A x sinsincoscostt B y （3） （4） )sin(sincoscost B y A x （5） )(sin)cos( 2 2 2 2 2 2 AB xy B y A x 以以sin 乘以乘以(3)式，式，sin 乘以乘以(4)式后两式相减得式后两式相减得 (5)式、式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 )sin(cossinsint B y A x （6） 24 此式表明，此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭

22、圆的振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（形状决定于分振动的相位差（）。）。 xAo-A -B B a b y 讨论：讨论： 1. 0 或或 时时 0 2 )( B y A x 即即x A B y 合振动的轨迹是通过坐标原点合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。的直线，如图所示。 0 时，时，相位相同，取正号，斜率为相位相同，取正号，斜率为B/A； 时，时，相位相反，取负号，斜率为相位相反，取负号，斜率为-B/A。 合振动的振幅合振动的振幅 22 BAC 25 2. 当当 2 时时 x A y B 2 2 2 2 1 合振动的轨迹是以坐标轴为合振动的轨迹

23、是以坐标轴为 主轴的正椭圆，如右图所示。主轴的正椭圆，如右图所示。 = /2 时，时， 合振动沿顺时针方向进行；合振动沿顺时针方向进行； = /2 时，时， 合振动沿逆时针方向进行。合振动沿逆时针方向进行。 若若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。，椭圆变为正圆，如右图所示。 x A B O y -A -B x A A -A -A y O 26 3. 如果如果()不为上述数不为上述数 值，那么合振动的轨迹值，那么合振动的轨迹 为处于边长分别为为处于边长分别为2A(x 方向方向) )和和2B(y方向方向)的矩的矩 形范围内的任意确定的形范围内的任意确定的 椭圆。椭圆。 两个分振动的频率相差两个分振

24、动的频率相差 较大，但有简单的整数比较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线关系，这样的合振动曲线 称为称为利萨如图形利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成。不同频率的垂直振动运动的合成。 27 *四、四、振动的分解振动的分解 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。简谐振动所合成。 把有限个或无限个周把有限个或无限个周 期 分 别 为期 分 别 为 T 、 T / 2 、 T/3、 ( (或角频率分别或角频率分别 为为 、2 、3 、) )的简的简 谐振动合成起来，所得谐振动合成起来，所得 合振动也一定是周期为合振动也一定是周期

25、为 T 的周期性振动。的周期性振动。 28 将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的操 作，称为作，称为频谱分析频谱分析。 所取项的振幅所取项的振幅A和对应的角频率和对应的角频率 画成的图线，就画成的图线，就 是该复杂振动的是该复杂振动的频谱频谱 (frequency spectrum)，其中每其中每 一条短线称为一条短线称为谱线谱线。 O A 周期性函数周期性函数f (t) 的的傅里叶级数傅里叶级数表示为表示为 1 0 n nn tnAAtf)(cos)( 29 7-3 阻尼振动、受迫振动和共振 30 7-3 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振

26、动和共振 一、阻尼振动一、阻尼振动(damped vibration) 振幅随时间减小的振动称为振幅随时间减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。 以物体受流体阻力作用下的振动为例：以物体受流体阻力作用下的振动为例： 阻力为阻力为 物体的振动方程物体的振动方程 t x vF d d 0 d d d d 2 2 xk t x t x m 令令 则则有有 , mm k 2 2 0 d d d d 2 2 0 2 20 x t x t x 式中式中0称为振动系统的称为振动系统的固有角频率固有角频率，称为称为阻阻 尼常量尼常量。 31 讨论：讨论：1. 当当 2 02 时时，阻尼较小，阻尼较小 ，上式，上式的

27、解为的解为 )(cos tAx t e 0 其中其中 2 2 0 振动曲线如图，是一种振动曲线如图，是一种准周期性运动准周期性运动。 2. 当当 2 02 时时， 阻尼较大，即阻尼较大，即过阻尼过阻尼， 不再是周期性运动，如图。不再是周期性运动，如图。 3. 当当 2 02时，处于时，处于临界阻尼状态临界阻尼状态， 如图。如图。 周期为周期为 2 2 0 22 T t 欠阻尼欠阻尼 )(tx O t 过阻尼过阻尼 )(tx O t 临界阻尼临界阻尼 )(tx O 32 二、受迫振动二、受迫振动(forced vibration) 在周期性外力作用下发生的振动，称为在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动受迫振动。 引起受迫振动的周期性外力称为引起受迫振动的周期性外力称为驱动力驱动力。 设驱动力为设驱动力为 F cos t，则振动方程，则振动方程 tFxk t x t x mcos d d d d 2 2 此式表示此式表示, 受迫振动是由阻尼振动受迫振动是由阻尼振动 和简谐振动和简谐振动 两项叠加而成的。两项叠加而成的