第6章 函数插值-2

1、6.3 牛顿插值牛顿插值(Newtons Interpolation) Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个插值虽然易算，但若要增加一个 节点时，节点时，全部基函数全部基函数 l i ( x ) 都需要重新计算。都需要重新计算。 也就是说，也就是说，Lagrange 插值不具有继承性。插值不具有继承性。 能否重新在能否重新在Pn中寻找新的中寻找新的基函数基函数 ？ 希望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只在原有插值的基础上只在原有插值的基础上 附加部分计算量（或者说添加一项）附加部分计算量（或者说添加一项）即可。即可。 本讲主要内容本讲主要内容: : NewtonNewton插值多

2、项式的构造插值多项式的构造 差商的定义及性质差商的定义及性质 差分的定义及性质差分的定义及性质 等距节点等距节点NewtonNewton插值公式插值公式 问题问题1 求作求作 n 次多项式次多项式( ) n Nx 010201 0121 ( )()()() ()()()() n nn Nxcc xxcxxxx cxxxxxxxx ()( ),0,1, nii Nxf xin (2) 为了使为了使 的形式得到简化的形式得到简化,引入如下记号引入如下记号( ) n Nx 0 11 011 ( )1 ( )()( ) ()()(),1,2, iii i x xxxx xxxxxxin (3) (1)

3、 一、一、 基函数基函数 使满足使满足 De f 1: 由式由式(3)定义的定义的n+1个多项式个多项式 称为称为Newton插值插值的以的以x0 , x1, xn 为节点的为节点的基函数基函数, 即即 01 ( ),( ),( ) n xxx 0011 ( )( )( )( ) nnn Nxcxcxcx 可以证明可以证明,这样选取的基函数是这样选取的基函数是线性无关线性无关的的, 由此得出的问题由此得出的问题 1的解便于求值的解便于求值, 而且而且新增加一个节点新增加一个节点 xn+1时时 只需加一个新项只需加一个新项 即即 11( )nn cx 1001111 ( )( )( )( )(

4、) nnnnn Nxcxcxcxcx 而而 1( ) ()( ) nnn xxxx 依据条件依据条件(2),可以依次确定可以依次确定系数系数 c0 , c1, cn . 如如: 取取 x = x0 得得 000 ()() n cNxf x 取取 x = x2 得得 20120220212 ( )()()()( ) n N xcc xxc xxxxf x 10 2020 2012010 2 20212021 ( )( ) ( )( )() ( )() ()()()() n f xf x f xf xxx N xcc xxxx c xxxxxxxx 1010 211020 1010 2021 (

5、)( )( )( ) ( )( )()() ()() f xf xf xf x f xf xxxxx xxxx xxxx 1021 20 2110 ( )()()( ) () f xf xf xf x xx xxxx 为了得到计算系数为了得到计算系数 ci 的一般方法的一般方法,下面引进下面引进差商的概念差商的概念. 二、二、差商差商( (亦称均差亦称均差) ) /* divided difference */ 01 01 01 ()() , f xf x f xx xx 称为称为f (x)在在x0 , x1处的处的1阶差商阶差商 0112 012 02 , , , , f x xf x x

6、f x x x xx 称为称为f (x)在在x0 , x1 , x2 处的处的2阶差商阶差商 一般地，一般地，n 阶差商：阶差商： 01112 01 0 , , nn n n f xxxf x xx f xxx xx De f 2: 12 12 12 ( )() , f xf x f x x xx 称为称为f (x)在在x1 , x2 处的处的1阶差商阶差商 给定给定a , b中互不相同的点中互不相同的点 x0, x1, x2 , 以及以及 f (x)在这在这 些点处相应的函数值些点处相应的函数值 f (x0) , f (x1) , f (x2) ,则则 差商的性质差商的性质: 01 0 1

7、() ,., () n i n i ni fx fxxx x 性质性质1 (差商与函数值的关系差商与函数值的关系) 证证: 归纳法归纳法. 当当k=1时时, 有有 0101 01 010110 ()()()() , f xf xf xf x f xx xxxxxx 结论成立结论成立. 设设 k = m -1 时时, 结论成立结论成立. 则有则有 1 011 0 0111 () , ()()()() m j m j jjjjjjm f x f x xx xxxxxxxx 12 1 111 () , ()()()() m j m j jjjjjjm f x f x xx xxxxxxxx 由差商的

8、定义由差商的定义, 当当k = m 时时, 有有 01112 02 0 1 1 11110 0 0 01011 , , () 11 ()()()() () ()()1 ()()() mm m m m j j jjjjjjmjjm m j m j mmmmmj f xxxf x xx f xxx xx f x xxxxxxxxxxxx f x f xf x xxxxx 所以所以k = m 时结论成立时结论成立, 由归纳假设知性质成立由归纳假设知性质成立. 00 , , , ijnjin f xxxxf xxxx 性质性质2 (对称性对称性): 差商的值与结点排列顺序无关差商的值与结点排列顺序无关

9、. 在在n阶差商中阶差商中 任意调整节点的顺序任意调整节点的顺序, 差商的值不变差商的值不变. , ijji f x xf xx ( ) 01 ( ) ,., ! n n f f x xx n 01 ( ) , , , , , n f xa bnx xxa b a b 设在上有 阶导数且 则存在使得 性质性质3 (差商与导数的关系差商与导数的关系) 提示提示: 0010 01011 01 ( )( ) (),() ,()()() ()( )()0 nn n g xf xf xf x xxx f x xxxxxxxx g xg xg x 反复应用反复应用Rolle定理定理. 性质性质4: (重节

10、点差商重节点差商) 若若 f (x)在在 xi 处具有处具有k 阶导数阶导数, 则有则有 ( ) 1 1 ,() ! k iiii k f x xxfx k 性质性质5: (线性性线性性) 若若 为常数为常数, 则有则有 ( )( )( ),F xf xg x 010101 , nnn F xxxf xxxg xxx 规定：规定：一个点一个点 x0 的零阶差商为的零阶差商为 f (x0) . 例：例：设设 74 ( )325f xxxx 求求 和和 017 2 ,2 ,2 f 018 2 , 2 , 2 f 差商表差商表 xk f (xk) 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商

11、 n 阶差商阶差商 1 2 3 o n x x x x x 1 2 3 0 n f x f x f x f f x x 12 2 0 3 1 1 , , , , nn f x x f x x x f x x fx 2 3 1 0 2 2 1 1 , , , nnn f x x x f x fx x xx x 321 0123 , , , nnnn f x f xx xx x x x 01 , , , n f x xx 例例1：已知信息已知信息 构造构造 f (x) 的插商表。的插商表。 解：解： f (x) 的插商表如下：的插商表如下： (0)1,( 1)5,(2)1fff 01 154 21

12、21 xi f (xi) 一阶一阶 二阶二阶 例例2: f (x) 的插商表的插商表 11.25 1.52.502.50 01.001.001.50 25.502.252.501.00 xi f (xi) 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 三、三、牛顿牛顿(Newton)插值公式插值公式 当当n=1时：过两点时：过两点 和和 的直线为的直线为 00 (,()xf x 11 (,()xf x 01 1000010 01 ()() ( )()(),() f xf x N xyxxf xf xxxx xx 称为称为1次次Newton插值多项式。插值多项式。 当当n=2时：构造不超过时：构造不超过 2 次

13、的多项式次的多项式: 2001001201 ( )(),(),()()Nxf xf x xxxf x x xxxxx 易知易知N2(x)满足插值条件：满足插值条件： 称之为称之为2次次Newton插值多项式。插值多项式。 2( )(),0,1,2 ii Nxf xi 推广到一般情形推广到一般情形: 令令 001001201 01011 ( )(),(),()() ,()()() n nn Nxf xf x xxxf x x xxxxx f x xxxxxxxx 可证可证 Nn (x) 满足插值条件：满足插值条件： 称之为称之为n 次次Newton插值多项式插值多项式. 或称为或称为Newton

14、插值公式插值公式 ()(),0,1,2, nii Nxf xin 注：注：由由Newton插值公式可以看出插值公式可以看出, 每当增加一个结点时每当增加一个结点时, Newton插值多项式只在原有插值多项式的基础上增加一项插值多项式只在原有插值多项式的基础上增加一项, 克服了克服了Lagrange插值不具备继承性的缺点插值不具备继承性的缺点. ,)()()( 000 xxfxxxfxf ,)(, 101100 xxxfxxxxfxxf ,.,)(,.,., 0010nnnn xxxfxxxxfxxxf 1 2 n 1 1+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn 1) n 1 .)(,

15、)(,)()( 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf ).(,., 100 nn xxxxxxf )().(,., 100nnn xxxxxxxxxf Nn(x) Rn(x) 差商推导差商推导Newton插值插值： (利用差商的定义利用差商的定义) Newton插值的余项：插值的余项：由插值的唯一性或上述推导知由插值的唯一性或上述推导知 (1) 001 ( ) ( ) ,()()( ) (1)! n nnnn f Rxf x xxxxxxx n 例例3: 给定给定 f (x)=ln x的数据表的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f (xi) 0.

16、78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1. 构造差商表构造差商表 2. 分别写出二次、四次分别写出二次、四次Newton插值多项式插值多项式 解解: 差商表差商表 2.20 2.400.87547 2.600.955510.40010 2.801.0296 0.78846 0.43505 0.087375 0.02220.370550.073875 3.001.098610.344950.064000.01646 50 0.00755 xi f (xi ) 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶四阶 N2(x) = 0.78846 + 0.43505 ( x

17、2.20 ) 0.087375 ( x 2.20 ) ( x 2.40 ) N4(x) = 0.78846 + 0.43505 ( x 2.20 ) 0.087375 ( x 2.20 ) ( x 2.40 ) +0.0225 ( x 2.20 ) ( x 2.40 ) ( x 2.60 ) 0.00755 ( x 2.20 ) ( x 2.40 ) ( x 2.60 ) ( x 2.80 ) 例例4 : : 由函数表求由函数表求NewtonNewton插值函数插值函数 x 2 1 0 1 3 y 56 16 2 2 4 001012 012301234 ()56 ,40 ,13 ,2 ,0

18、f xf xxf xx x f xx xxf xx xxx 解解 : : 3( ) 5640(2) 13(2)(1)2 (1)(2)Nxxxxx xx 函数值的计算函数值的计算: : 秦九韶算法秦九韶算法 3( ) 56(2)40(1)132 Nxxxx 例例5 : : 推导计算公式推导计算公式 n k knP 1 3 )( 1 1 2 9 8 3 36 27 19/2 4 100 64 37/2 3 5 225 125 61/2 4 1/4 6 441 216 91/2 5 1/4 0 7 784 343 127/2 6 1/4 0 )4)(3)(2)(1( 4 1 )3)(2)(1(3)2

19、)(1( 2 19 )1(81)( nnnn nnnnnnnP 解解 : : 6.4 等距节点插值公式等距节点插值公式 一、一、差分的概念及性质差分的概念及性质 De f 1: 设设 为等距节点为等距节点 上上 的函数值的函数值, 其中其中 称为步长称为步长, 则则 ( ) ii yf x 0 (0,1, ) i xxih in ()/hban 和和 1 1 iii iii yyy yyy 分别称为分别称为 f (x)在在 xi 处以处以 h 为步长的一阶向前差分和一阶向后为步长的一阶向前差分和一阶向后 差分差分. 2 121 2 112 2 2 iiiiii iiiiii yyyyyy yy

20、yyyy 和和 分别称为分别称为 f (x)在在 xi 处以处以 h 为步长的二阶向前差分和二阶向后为步长的二阶向前差分和二阶向后 差分差分. 一般地一般地 11 1 11 1 mmm iii mmm iii yyy yyy 和和 分别称为分别称为 f (x)在在 xi 处以处以 h 为步长的为步长的 m 阶向前差分和阶向前差分和 m 阶向阶向 后差分后差分. 称为差分算子称为差分算子., 差分的性质差分的性质 Prop1: 各阶差分可用函数值线性表示各阶差分可用函数值线性表示, 其计算公式为其计算公式为 12 12 ( 1)( 1) mssm im imm imm imm i si yyC

21、yC yC yy 其中其中 为组合数为组合数, 即即 s m C (1)(1) ! s m m mms C s Prop2: 差分与差商的关系差分与差商的关系 0 01 , ! nn n n nn yy f xxx n hn h Prop3: 差分与导数的关系差分与导数的关系 ( ) 0 ( ) nnn yh f 在在 x0 与与 xn 之间之间 ( ) ( ) nnn n yh f 在在 x0 与与 xn 之间之间 23 00 110 2 2210 23 33210 23 1230 n iiiiii n nnnnn xyyyyy xy xyy xyyy xyyyy xyyyyy 向前差分表向

22、前差分表 二、等距节点插值二、等距节点插值 当插值节点当插值节点 x0 , xn 为等距分布时为等距分布时, Newton插值公式可以插值公式可以 简化简化. 给定等距节点给定等距节点 后后, 将差分与差商的将差分与差商的 关系式代入关系式代入Newton插值多项式插值多项式, 可得可得 0 (0,1, ) i xxih in 2 00 0001 2 0 011 ( )()()()() 2! ()()() ! n n n n yy Nxf xxxxxxx hh y xxxxxx n h 令令 , 则有则有 0 ,0 xxt h t 称为称为Newton前插多项式前插多项式, 或或Newton前

23、插公式前插公式. 2 00000 (1)(1)(1) ()() 2! n n t tt ttn Nxthf xtyyy n Newton前插公式的前插公式的余项余项 (1) 1(1) 01 ( )(1)() ()( )( ) (1)!(1)! n nn nn ft ttn Rxthxhf nn 类似地类似地, 如果要求如果要求 xn 附近的某点附近的某点 x 的函数值的函数值, 设设 xn 1 x xn , 记记 x = xn + t h ( 1 t 0), 则有则有 2 (1)(1)(1) ()() 2! n nnnnnn t tt ttn Nxthf xtyyy n 称为称为Newton

24、后插公式后插公式 . 其余项为其余项为 (1) 11 0 ( ) ( )()( 1)(1)() (1)! n nn nnn n f RxRxthht ttn n xx 注注: : 若要计算的插值点若要计算的插值点 x 较靠近点较靠近点 x0 , 则用向前插值公式则用向前插值公式 , 这时这时t = (x x0)/n 的值较小的值较小, 数值稳定性较好数值稳定性较好. 反之反之, 若若 x 靠靠 近近 xn , 则用向后插值公式则用向后插值公式 . 向前与向后差分的关系向前与向后差分的关系 22 120 , nn nnnnn yyyyyy 注注: 计算靠近计算靠近 x0 或或 xn 的点的值时的

25、点的值时, 都只需构造向前差分表都只需构造向前差分表 . 22 12 0 (1) ( )()( 1) 2! (1)(1) ( 1), ! nnnnnn nn t t NxNxthyt yy t ttn y n 故后插公式又可表示成故后插公式又可表示成: : 例例: 给定给定 f (x)在等距节点上的函数值表如下在等距节点上的函数值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f (xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用分别用Newton向前和向后差分公式向前和向后差分公式 , 求求 f (0.5) 及及 f (0.9)的近的近 似值似值. 解解: 先构造向前差分表如下先构造向前差分表

26、如下: xi f i f i 2 2f i 3 3f i 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0 = 0.4, h = 0.2, x3 =1.0 . 分别用差分表中对角线上的值和分别用差分表中对角线上的值和 最后一行的值最后一行的值, 得得Newton向前和向后插值公式如下向前和向后插值公式如下: 3 3 (1)(1)(2) (0.40.2 )1.50.30.10.1 23! (1)(1)(2) (10.2 )2.80.60.20.1 23! t tt tt Ntt t tt tt Ntt (1) (2) 当当 x=

27、0.5 时时, 用公式用公式(1) , 这时这时 t = (x - x0)/h = 0.5. 将将t = 0.5 代入代入 (1), 得得 f (0.5)N3(0.5)=1.64375. 当当 x=0.9 时时, 用公式用公式(2), 这时这时t = (x3 - x)/h = 0.5 . 将将 t = 0.5 代入代入 (2), 得得 f (0.9)N3(0.9)=2.46875. 6. 5 分段低次插值分段低次插值 一、龙格现象与分段线性插值一、龙格现象与分段线性插值 利用插值多项式逼近连续函数时利用插值多项式逼近连续函数时 时时, 并非插值多并非插值多 项式的次数越高越好项式的次数越高越好

28、. 因为当插值多项式的次数较高时因为当插值多项式的次数较高时, 给自给自 变量一个小的扰动变量一个小的扰动, 就可能引起函数值较大的变化就可能引起函数值较大的变化, 从而使得从而使得 截断误差很大截断误差很大. 这种现象称为这种现象称为龙格现象龙格现象. ( )yf x 例如：例如：对于连续函数对于连续函数 ，在区间，在区间 上取等距插上取等距插 值节点值节点 2 1 ( ) 1 f x x 5,5 10 1,0,1,2, i xiin n 当当n =10时时, 10次插值多项式次插值多项式L10(x)以及函数以及函数 f (x)的图形见的图形见P185 由此可见由此可见, L10(x)的截断

29、误差的截断误差R10(x)= f (x)-L10(x)在区间在区间 的的 两端非常大两端非常大. 这种现象称为这种现象称为Runge现象现象. 不管不管n 取多大取多大, Runge 现象依然存在现象依然存在. 避免避免Runge现象的方法之一就是采用分段低次现象的方法之一就是采用分段低次 插值插值. 最简单的就是分段线性插值最简单的就是分段线性插值. 5,5 分段线性插值分段线性插值 Def：设函数设函数 个有序插值节点个有序插值节点 满足满足 称之为区间称之为区间a , b的一个的一个划分划分。其中。其中 和和 称为称为边界点边界点， 称为称为内节点内节点。记子区间的。记子区间的 ( )

30、, ,1f xC a b n 0 n ii x 01 : n axxxb 0 x n x 11 , n xx 1 01 max ii in hxx 最大长度最大长度 则称则称分段线性函数分段线性函数 0 ( )( ) ( ) n hii i Ixf x l x 为为f (x) 在区间在区间a , b上关于划分上关于划分 的分段线性插值多项式。的分段线性插值多项式。 其中其中, 插值基函数插值基函数 111 111 ()/(), ( )()/(), ,0,1,2, 0, iiiii iiiiii xxxxxxx l xxxxxxx xin x 其其他他 当当i = 0时没有第时没有第1式，当式，

31、当i = n 时没有第时没有第2式。事实上，分段线性式。事实上，分段线性 插值多项式即为：插值多项式即为： 01 0101 0110 21 1212 1221 1 11 11 ()(), ()(), , ( ) ()(), h nn nnnn nnnn xxxx f xf xxx x xxxx xxxx f xf xxx x Ixxxxx xxxx f xf xxxx xxxx 几何意义：几何意义：以每两个相邻节点为插值点构造一次插值以每两个相邻节点为插值点构造一次插值(即直线即直线 段段), 用各直线段所连成的折线近似代替曲线用各直线段所连成的折线近似代替曲线 y = f (x) . 误差估

32、计：误差估计：若若 f (x) 在插值区间在插值区间a , b上二阶导数连续，并记上二阶导数连续，并记 ，则分段线性插值的余项有如下估计式：，则分段线性插值的余项有如下估计式： 2 max |( ) | axb Mfx 2 2 1 |( )( )|, , 8 h f xIxM hxa b 二、分段二次插值二、分段二次插值 设设 , 已知已知 f (x)在节点在节点 上的函数值上的函数值 . 在区间在区间 上采用二次插值上采用二次插值 , 此时插值节点为此时插值节点为 3 ( ) , f xC a b 111 222 012 1 n n axxxxxxxb 11 22 0 (),(),(),()

33、,() in i f xf xf xf xf x 1 ,(1,2, ) ii xxin ( ) 2 () i Px 1 2 1, , ii i xxx 1 2 1 2 111 222 1 2 1 2 ( ) 1 21 111 1 1 1 ()() ()() ( )()() ()()()() ()() () ,(1,2, ) ()() i i i ii i i iiiii iii i i iii iii i xxxx xxxx Pxf xf x xxxxxxxx xxxx f xxxxin xxxx L 截断误差截断误差 1 2 ( )( ) 221 ( ) ( )( )( )()()() 3!

34、 ii ii i f Rxf xPxxxxxxx 若节点等距若节点等距, 记记 , 则则 1ii hxx 1 2 11 , 2 iii i h xxxxh 设设 1 2 1 1,1, 2 ii i h xxssxxx 则则 1 2 1 2 ( )( ) 22 1 ( )() 2 (1)(1) ()(1)(1) ()() 22 ii i ii i h PxPxs s ss s f xssf xf x 此时此时 3 ( ) 21 ( ) ( )(1) (1) , 1,1, 3!8 i ii fh Rxss ssxx 若若 3 , max |( ) | xa b fxM 则则 3 ( )3 3 23

35、 3 |( )|(1) (1)|, (1,2, ) 48216 i M h Rxss sM hin ( ) 2 ( )( )(0) i Pxf xh 例例: 已知已知 y = f (x) 的观测数据如下的观测数据如下 求分段线性插值和分段二次插值求分段线性插值和分段二次插值 P1(x) 和和 P2(x) . x 0 1 2 3 4 5 6 f (x)-1 -5 3 1 2 4 8 6. 6 Hermite 插值插值 分段线性插值简单易操作分段线性插值简单易操作, 但插值曲线不光滑但插值曲线不光滑, 即在内节点即在内节点 处一节导数不连续处一节导数不连续, 这种情况往往不能满足实际应用的需要这种

36、情况往往不能满足实际应用的需要. 为为 了克服这一缺陷了克服这一缺陷, 通常添加一阶导数作为插值条件通常添加一阶导数作为插值条件 . 一、一、 两个节点的情形：两个节点的情形： 设设 x0 , x1为插值节点，为插值节点， x0 x1，且已知，且已知 在区间在区间x0 , x1上求多项式上求多项式 H (x)，使得满足插值条件，使得满足插值条件 (),()0,1 kkkk yf xmfxk (),()0,1 kkkk H xyH xmk 由于有由于有4个条件，所以个条件，所以H (x)应为次数不超过应为次数不超过3次的多项式，称为次的多项式，称为 Hermite三次插值。三次插值。 定理定理1

37、：设设 ，则在区间，则在区间x0 , x1上满足插值条件上满足插值条件 的不超过的不超过3次的多项式次的多项式H (x)存在且唯一，并可构造如下：存在且唯一，并可构造如下： (),()0,1 kkkk H xyH xmk 1 01 ( ),f xC x x 00110011 ( )( )( )( )( )H xx yx yx mx m 其中插值基函数其中插值基函数 为三次多项式为三次多项式 0101 ( ),( ),( ),( )xxxx 22 011 000 100101 22 001 111 011010 ( )12,( )() ( )12,( )() xxxxxx xxxx xxxxxx

38、 xxxxxx xxxx xxxxxx 如果如果 ，则插值余项为，则插值余项为 4 01 ( ),f xCx x (4) 22 0101 () ( )( )( )() () , 4! x f R xf xH xxxxxxx x 其中其中 在在 x0 与与 x1 之间。之间。 x 插值基函数的性质插值基函数的性质: 1, (),()0,0,1 0, 1, ()0,(),0,1 0, ikik ikik ki xxi k ki ki xxi k ki 插值函数的唯一性：插值函数的唯一性： 设设H (x)和和 都是满足插值条件的不超过都是满足插值条件的不超过3次的次的Hermite 插值多项式，则插

39、值多项式，则 是不超过是不超过3次的多项式，次的多项式， 且满足且满足 这说明这说明 x0 和和 x1 都是都是P (x)的二重根，从而的二重根，从而P (x)为为4次多项式，这次多项式，这 是不可能的。是不可能的。 ( )H x ( )( )( )P xH xH x ()()0,0,1 kk P xP xk 二、二、 一般情形的一般情形的Hermite 插值（二重插值（二重Hermite 插值）插值） 由于插值条件有由于插值条件有2n+2个个, 所以插值多项式不超过所以插值多项式不超过2n+1次次. 并并 且易知这种插值多项式是存在唯一的且易知这种插值多项式是存在唯一的. 对于函数对于函数

40、, 已知已知 f (x)在在a , b上上n+1个互异节个互异节 点处的函数值点处的函数值 及导数值及导数值 , 求一个次数求一个次数 不超过不超过 2n+1次的多项式次的多项式 H2n+1(x) , 使之满足插值条件使之满足插值条件: 1 ( ) , f xC a b ( ) ii f xy() ii fxm 插值基函数插值基函数: 借助于借助于Lagrange插值基函数插值基函数 21 21 ()() ,0,1,2, ()() nkk nkk Hxf x kn Hxfx (1) 设设 为次数不超过为次数不超过 2n+1 的多项式的多项式, 且且 满足满足 ( ),( ) (0,1, ) j

41、j xxjn ( ),( )0 ( ,0,1, ) ( )0,( ) jii jji jijii j xx i jn xx (2) 21 0 ( )( )( ) n nkkkk k Hxx yx m 则则 称为插值节点称为插值节点 上的上的 插值基函数插值基函数. ( ),( ) (0,1, ) jj xxjn 01 , n x xx 满足插值条件满足插值条件(1)的的Hermite插值多项式可写成基函数的线性插值多项式可写成基函数的线性 组合组合 由条件由条件(2), 显然有显然有 2121 (),()(0,1,2, ) nkknkk HxyHxmkn 下面求满足条件下面求满足条件(2)的基

42、函数的基函数 ( ),( ) (0,1, ) jj xxjn 由由( )0,( )0 () jiji xxij 由条件由条件(2)知知, 在在 x = xj 处有处有 令令 , 这里这里 为待定常数为待定常数. 2 ( )() ( ) jjjj xa xblx, jj ab 1 2() ()0 jjj jjjjjj a xb aa xb lx 解得解得 类似地类似地, 由由 0 0 1 2()2 1 12()12 n jjj k jk kj n jjjjj k jk kj alx xx bx lxx xx 于是于是 2 0 1 ( )12()( )0,1, n jjj k jk kj xxxl

43、xjn xx ( )0,( )0 () jiji xxij 令令 , 这里这里 为待定常数为待定常数. 2 ( )() ( ) jjjj xc xdlx, jj cd 由条件由条件(2)知知, 在在 x = xj 处有处有0 2() ()1 jjj jjjjjj c xd cc xdlx 解得解得 1, jjj cdx 因此因此Hermite插值多项式为插值多项式为: (2) 类似于类似于Lagrange插值余项的讨论插值余项的讨论, 有有Hermite插值多项式插值多项式 的余项的余项 于是于是 2 ( )()( )(0,1, ) jjj xxxlxjn 说明说明: (1) 类似于两节点情形

44、类似于两节点情形, 可以得到一般情形可以得到一般情形Hermite插插 值多项式的唯一性值多项式的唯一性. 22 21 000 1 12()( )()( ) nnn njjjjjj jkj jk kj Hxxlx yxx lx m xx (3) 几何意义几何意义: 曲线曲线 y =H2n+1(x) 与与 y = f (x) 在插值节点处有在插值节点处有 公共切线公共切线. (22) 2 21211 ( ) ( )( )( )( ) ,( , ) (22)! n nnn f Rxf xHxxa b n (4) 特例特例: n=1是是, 即为前面介绍的两节点即为前面介绍的两节点Hermite插值插

45、值 . 例例1: 求不超过求不超过3次的多项式次的多项式 H (x)，使之满足插值条件：，使之满足插值条件： ( 1)9,( 1)15,(1)1,(1)1HHHH 解解： (1) 公式法公式法 令令 010101 1,1,9,1,15,1xxyymm 则则 2 2 0 2 2 1 11(2)(1) ( )12, 1 11 14 11(2)(1) ( )12, 1 11 14 xxxx x xxx x x Hermite插值多项式的求法插值多项式的求法1：（：（一般情形的一般情形的Hermite插值）插值） (1) 直接利用公式；直接利用公式； (2) 待定系数法；待定系数法； (3) 利用插商

46、表。利用插商表。 ( ) 0 000 1 () ,Pro : ! p n n fx f x xx n 2 2 0 2 2 1 1(1)(1) ( )(1), 1 14 1(1)(1) ( )(1) 1 14 xxx xx xxx xx 00110011 32 ( )( )( )( )( ) 44 H xx yx yx mx m xxx (2) 待定系数法待定系数法 令令 ，由条件可得：，由条件可得： 23 ( )H xabxcxd x 9, 1, 2315, 231. abcd abcd bcd bcd 解得：解得：0,4,4,1abcd 32 ( )44H xxxx (3) 插商表插商表 x

47、i f ( xi ) 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 19 1915 1155 11131 22 32 ( )9 15(1)5(1)(1) (1) 44 H xxxxx xxx 三、三、 特殊情形的特殊情形的Hermite 插值插值 在带导数的插值问题中在带导数的插值问题中, 有时插值条件中的函数值个数有时插值条件中的函数值个数 与导数值个数不相等与导数值个数不相等, 为特殊情形的为特殊情形的Hermite插值插值. 如如: 给定函数表如下给定函数表如下 xx0 x1x2 f (x)y0y1y2 f (x)m0m1 求次数不高于求次数不高于4 的多项式的多项式 H4(x) , 使之满足使之满足:

48、 4 4 ()(0,1,2) ()(0,1) ii ii Hxyi Hxmi Hermite插值多项式的求法插值多项式的求法2: (特殊情形的特殊情形的Hermite插值插值,即即 插值条件中函数值个数和导数值个数不相等插值条件中函数值个数和导数值个数不相等) (1) 待定系数法待定系数法(Newton插值多项式或一般情形的插值多项式或一般情形的Hermite 插值多项式为基础插值多项式为基础)； (2) 利用插商表利用插商表。 10 以以Newton插值多项式为基础插值多项式为基础 设设 4001001201 012 ( ),(),()() ()()()() Hxyf xxxxf xx xxxxx AxBxxxxxx 其中其中A, B为待定系数为待定系数. 显然显然 4( )(0,1,2) ii Hxyi 由条件由条件 求得常数求得常数 A, B后后, 便可得便可得 H4(x). 4 ()(0,1) ii Hxmi 20 以一般情形的以一般情形的Hermite插值多项式为基础插值多项式为基础 设设 22