风险理论第2章个别保单的理赔额

1、 一张保单发生损失可以有许多不同的结果，保 险公司在设计保险产品时，一般会根据以前大量 相似或同类保单的损失情况，对产品可能出现的 损失情况做出估计，找一个分布函数来刻画保单 发生各种损失的概率。在此基础上预测理赔额并 对保险产品制定合理的定价。 本章的目的就是讨论如何根据一张保单的损失 额的分布来确定理赔额的分布。 2.1 2.1 几种常见的理赔形式几种常见的理赔形式 )(1dXLXPLXPyfY )(1 )(1 )(1 )()( 11 dF LF dF dFLF dXP LXdP X X X XX dLy 注注: :当当时，时， 下面计算每次损失事件中被保险人获得的实际下面计算每次损失事件

2、中被保险人获得的实际 赔付额赔付额Id的期望（通常称为纯保费）和每次理赔事的期望（通常称为纯保费）和每次理赔事 件中保险人的理赔额件中保险人的理赔额Y的期望。分两种情况讨论：的期望。分两种情况讨论： （1）免赔额）免赔额d存在，没有规定最高保单限额存在，没有规定最高保单限额L 故故 d X d XX d Xd dxxF dxxFdxxF dXEXEdxxfdxIE )( )()( )()()()()( 1 11 00 由于由于 )( , , 0 dXX dXdX dX XId 故理赔额故理赔额Y的期望（剩余期望函数）为：的期望（剩余期望函数）为： )( )( )( )( )( )()()( d

3、F dxxF dF dXEXE dx dF xf dxdXXIEYE X d X X d X X d 1 1 1 1 )(YE表示随机变量表示随机变量X比比d高出的平均水平，即在高出的平均水平，即在 dX 的条件下，的条件下，X-d的期望值，即免赔额为的期望值，即免赔额为d时理赔额的期望。时理赔额的期望。 如果如果X表示产品的使用寿命，表示产品的使用寿命， )(YE 时间长度后剩余的平均寿命，反映了随机变量的尾部性质，时间长度后剩余的平均寿命，反映了随机变量的尾部性质， 是对随机变量做了是对随机变量做了“掐头掐头”的处理。的处理。 d X dxxFdXE 0 1)( 反映了随机变量的前部性质，

4、反映了随机变量的前部性质， 是做的是做的“去尾去尾”的处理的处理。 表示产品使用表示产品使用d的的 例例2-1-4 设某险种的损失费设某险种的损失费X(万元万元)具有密度函数具有密度函数 , )( )(0 3 324 5 x x xf 假设免赔假设免赔额额d为为0.5万元，万元， 求理赔额求理赔额Y的期望。的期望。 解：分布函数为解：分布函数为 4 4 0 5 3 81 1 0 3 4 324 3 324 )( )( )( )( x x xdx x xF x X 理赔额理赔额Y可表示为可表示为).().(5050 XXY 故理赔额故理赔额Y的期望为的期望为).()(5050 XXEYE 166

5、51 53980 62970 503 81 3 81 501 1 4 50 4 50 . . . ).( ).( )( . . dx x F dxxF X X )()( , , , 0 )(dXLX LXdL LXddX dX XI L d X dxxFdXELXEXIE)()()()(1 )( )( )( )()( )()( dF dxxF dF dXELXE dXXIEYE X L d X X 1 1 1 )(XI每次损失事件的实际理赔额每次损失事件的实际理赔额的期望为：的期望为： 理赔额理赔额Y的期望为：的期望为： (2)保单同时规定最高保单限额为保单同时规定最高保单限额为L，免赔额为，

6、免赔额为d,由于由于 dXELXEXIE dF dXELXE YE 1 可以计算实际赔付额可以计算实际赔付额I(X)和理赔额和理赔额Y的期望的期望 前两章练习题前两章练习题 第第1题：题：已知随机变量已知随机变量X的矩母函数为的矩母函数为 5 . 0,21 9 tttM X 则则X的方差为（的方差为（ ）（）（05年真题）年真题） A.33 B.34 C.35 D.36 E.37 182118 0 10 0 ttX ttMXE解： 36021360 0 11 0 2 ttX ttMXE 36324360 18360 222 XEXEXVar故 故选择故选择D 第第2题：题：某保险人承保的损失额

7、某保险人承保的损失额X的概率密度函数为的概率密度函数为 20 2 x x xf已知已知 1, 1 1, 0 21 XX X YXY和 的期望值分别为的期望值分别为P0与与P1，则，则P0+ P1=（ ） A.5/12 B.5/6 C.6/7 D.7/4 E.4/3 3 4 62 2 0 2 0 3 10 x dx x xXEYEP解： 12 5 462 11 2 1 2 1 23 21 xx dx x xXEYEP 4 7 12 5 3 4 10 PP所以选择D 第第3题：题：假设某车险实际损失额假设某车险实际损失额X的分布函数为：的分布函数为： 0,1 . 09 . 01 0001. 002

8、. 0 xeexF xx 假设保单规定了保单限额为假设保单规定了保单限额为5000元，则平均理赔元，则平均理赔 额为（额为（ ） A.208.54 B.325.15 C.438.47 D.1038.26 E.144.33 解：平均理赔额为解：平均理赔额为 5000 0 15000dxxFXE dxee xx 5000 0 0001. 002. 0 1 . 09 . 0 47.438 0001. 0 1 . 0 02. 0 9 . 0 0001. 0 1 . 0 02. 0 9 . 0 5 . 0100 ee 5000 0 0001. 002. 0 0001. 0 1 . 0 02. 0 9 .

9、 0 xx ee 选选C 第第4题：题：已知某险种已知某险种X的实际损失额分布为帕累托分的实际损失额分布为帕累托分 布，其密度函数为：布，其密度函数为： 4 3 2000 20003 x xf 则假如保单中规定免赔额则假如保单中规定免赔额500元后，每次理赔事件元后，每次理赔事件 中理赔额中理赔额Y的密度函数为（的密度函数为（ ） 3 4 3 4 4 3 4 3 4 3 2000 20003 . 2500 25003 . 2000 25003 . 2000 20003 . 2500 25003 . y yfE y yfD y yfC y yfB y yfA YY YYY 解：分布函数为：解：分

10、布函数为： xx x dy y dyyfxF 0 3 4 3 0 2000 2000 1 2000 20003 4 3 3 3 4 3 2500 25003 5002000 2000 5002000 20003 1yydF dyf yf X X Y 选选A 第第5题：题：假设每次事故的损失假设每次事故的损失X的密度函数的密度函数 为为 其他, 0 0,xe xf x X 而每份保单规定的免赔额为而每份保单规定的免赔额为 1 ，则保险公司对，则保险公司对 每张保单的理赔额每张保单的理赔额Y的期望为（的期望为（ ） 3 .2. 2 .1. 1 .EDCBA 解：解： X服从指数分布，分布函数为服从

11、指数分布，分布函数为 x X exF 1 dF dxXF dF dXEXE YE X d X X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e e e dxe x x 选选A 第第6题：题：已知某损失额已知某损失额X的分布满足的性质如下表所的分布满足的性质如下表所 示。若保单规定免赔额为示。若保单规定免赔额为100元，记元，记Y为每次理赔事为每次理赔事 件中理赔额，则件中理赔额，则E(Y)=（ ） A.100 B.200 C.300 D.400 E.500 xF(x)E(Xx) 000 1000.291 2000.6153 5000.8224 10001.0331 解：解： X的最大取值小于的最大取

12、值小于1000元元,故故 E(X) =E(X1000) =331 300 2.01 91331 1001 100 F XEXE YE则 选选C 第第7题：题：已知某险种已知某险种X的实际损失额分布为帕累托分的实际损失额分布为帕累托分 布，其密度函数为：布，其密度函数为： 4 3 2000 20003 x xf 若保单规定了免赔额为若保单规定了免赔额为500元，保单限额为元，保单限额为2500， 每次损失事件的理赔额为每次损失事件的理赔额为Y，则，则E(Y)=（ ） A.764.2 B.864.2 C.964.2 D.1064.2 E.1164.2 解：分布函数为：解：分布函数为： xx x dy y dyyfxF 0 3 4 3 0 2000 2000 1 2000 20003 2.864 2500 2000 2000