第五章 假设检验基础：单一样本检验

1、假设检验基础： 单一样本检验 Mechanical 职员工在岗培训标准教材 T&D 审 批： 工程部门审批： 使用部门审批： 编写： 版本： 编号： 2 学习目标 Learning Objectives 1.区别假设的类型区别假设的类型 Types of Hypotheses 2.描述假设检验过程描述假设检验过程 Process 3.解释假设检验误差解释假设检验误差 Errors 4.解决假设检验问题解决假设检验问题 单一总体均值单一总体均值 (已知已知 ) One population mean 单侧和双侧检验单侧和双侧检验 One & Two-Tailed Tests 3 什么是假设? W

2、hats a Hypothesis? 假设是对总体参数的一种推断假设是对总体参数的一种推断 总体参数如：均值、比率和方差总体参数如：均值、比率和方差 进行分析前必须先识别参数进行分析前必须先识别参数 我相信这个班级的平均 GPA为 3.5! ?1984-1994 T/Maker Co. 4 零假设 The Null Hypothesis 1. 陈述需要检验的假设陈述需要检验的假设 例如例如: H0: 3 2. 零假设用零假设用 H0 表示表示 3. 代表代表“正常正常”的情形的情形 “Business as usual” 4. 总是包含等号总是包含等号“=” 5. 检验以检验以“假定零假设为真

3、假定零假设为真”开始开始 5 备择假设 The Alternative Hypothesis 1.为零假设的对立情况为零假设的对立情况 例如例如: H1: 3 2.备择假设用备择假设用H1表示表示 3. 代表对代表对“正常正常”情形挑战情形挑战 Captures the challenge to Business as Usual 4. 从不包含等号从不包含等号 6 识别问题中的假设 Identifying Hypotheses in Problems 1.检验总体均值是否为检验总体均值是否为3 2.步骤步骤 问题的统计学表述问题的统计学表述 H0: = 3 对立情况的统计学表述对立情况的统计

4、学表述 H1: 3 假设具有互斥性和完备性 mutually exclusive & exhaustive 有时先建立备择假设较为容易 7 思考题 Thinking Challenge 1.总体的平均看电视时间为总体的平均看电视时间为12小时吗？小时吗？ 2.总体平均看电视时间不为总体平均看电视时间不为12小时吗？小时吗？ 3.一顶帽子的花费小于等于一顶帽子的花费小于等于$20吗吗? 4.书店里平均消费大于书店里平均消费大于$25吗吗? 假设是什么？ 8 解答 Solution 1.总体平均看电视时间为总体平均看电视时间为12小时吗小时吗? = 12 12 H0: = 12H1: 12 2.总

5、体平均看电视时间不是总体平均看电视时间不是12小时吗小时吗? 12 = 12H0: = 12H1: 12 9 解答 Solution 3.一顶帽子的花费小于等于一顶帽子的花费小于等于 $20吗吗? H0: 20H1: 20 4.书店里平均消费大于书店里平均消费大于 $25吗吗? H0: 25H1: 25 （上述答案是否正确？试加以讨论）（上述答案是否正确？试加以讨论） 10 假设检验步骤 Hypothesis Testing Process 总体总体 我认为：我认为： 总体平均年龄总体平均年龄 为为50岁。岁。 (假设假设) 拒绝拒绝 样本均值样本均值 为为20 样本样本 假设假设 否吗？50

6、 20 X 11 样本均值样本均值 = 50 基本思想Basic Idea 抽样分布抽样分布 样本均值不大 可能为这个值 . . 如果这实际 上是总体均值 . 因此拒绝零假 设 = 50. 20 H0 12 显著性水平 Level of Significance 1.定义如果零假设成立样本统计量不可能的取值区间定义如果零假设成立样本统计量不可能的取值区间 称为样本分布的拒绝域称为样本分布的拒绝域 Rejection region of sampling distribution 2.用用 表示表示 典型值为典型值为 0.01, 0.05, 0.10 3.由研究人员在开始时选定由研究人员在开始时

7、选定 13 检验结论错误 Errors in Making Decision 1.第一类错误第一类错误 否真错误否真错误 后果往往严重后果往往严重 出现第一类错误的概率为出现第一类错误的概率为 等于显著性水平 Level of Significance 2.第二类错误第二类错误 存伪错误存伪错误 出现第二类错误的概率为出现第二类错误的概率为 14 检验决策结果 Decision Results H0: 无罪无罪 陪审团裁决陪审团裁决 0 检验检验 实际情况实际情况 裁决裁决无罪有罪决策决策H0 为真 H0为假 无罪无罪 正确错误 不拒绝不拒绝 H0 置信度 1 - 第二类 错误 () 有罪有罪

8、 错误正确 拒绝拒绝 H0 第一类 错误 ( ) 检验能力 (1 - ) 15 与 的逆向关系 & Have an Inverse Relationship 不能同时降低两类错误! 16 影响 值的因素 Factors Affecting 1.总体参数的真值总体参数的真值 随着假设值与真值之差的减少而增加随着假设值与真值之差的减少而增加 2.显著性水平显著性水平 随着随着 值的值的减少而增加减少而增加 3.总体的标准差总体的标准差 随着随着 增加而增加增加而增加 4.样本容量样本容量 n 随着随着n 减少而增加减少而增加 17 H0 检验步骤 1.定义定义 H0 2.定义定义 H1 3.选择选

9、择 4.选择选择 n 5.选择检验选择检验: Z检验或检验或 p值检验值检验 6.确定临界值确定临界值 Critical Values 7.收集数据收集数据 8.计算检验统计量计算检验统计量 9.作出统计决策作出统计决策 10. 表述决策表述决策 18 已知的Z检验 Z-Test Statistic ( Known) 1.将样本统计量（如将样本统计量（如, )转换为标准正态分布转换为标准正态分布Z变量变量 2.与与Z的临界值比较的临界值比较 如如Z检验统计量的值落在临界域外则拒绝检验统计量的值落在临界域外则拒绝H0 否则，不拒绝否则，不拒绝H0 Z XX n x x X 19 p 值检验值检验

10、 （p Value Test） 1.给定给定H0 为真，得到的检验统计量在实际样本值以外的概率为真，得到的检验统计量在实际样本值以外的概率 2.称作可观测的显著性程度称作可观测的显著性程度 表明如果拒绝表明如果拒绝H0 犯第一类错误的概率犯第一类错误的概率 3.用来判定是否拒绝用来判定是否拒绝H0 如果如果 p ,则不拒绝则不拒绝 H0 如果如果 p ,则拒绝则拒绝 H0 20 已知已知 ，均值的单侧，均值的单侧Z Z检验检验 One-Tailed Z Test for Mean ( Known) 1.假设假设 总数服从正态分布总数服从正态分布 当当n 30)时，不服从正态分布的总体可以用正态

11、分布来逼近时，不服从正态分布的总体可以用正态分布来逼近 2.零假设只有零假设只有 或者 号 3.Z检验统计量检验统计量 Z XX n x x 21 Z 0 拒绝H 0 Z 0 拒绝H 0 拒绝域 Rejection Region H0:0 H1: 0 必须显著低于较小的值与H0不矛盾. 拒绝 H0! 22 Z.05.07 1.6 .4505 .4515 .4525 1.7 .4599 .4608 .4616 1.8 .4678 .4686 .4693 .4744.4756 Z0 Z = 1 1.96 单侧Z检验：确定临界Z值 One-Tailed Z Test: Finding Critica

12、l Z Values .500 - .025 .475 .06 1.9.4750 标准正态概率表(部分) 在在 = 0.025时，求时，求Z? /2 = .025 23 实例实例Example 每盒所装的麦片平均数是否超过每盒所装的麦片平均数是否超过368克克? 随机抽取随机抽取25盒 为样本为样本，均值 为为X = 372.5。公司确定在公司确定在0.05，标 准差为15 克的条件下进行检验。克的条件下进行检验。 368 克. 24 解答解答Solution H0: 368 H1: 368 = 0.05 n = 25 临界值： 检验统计量检验统计量: 决策决策: 结论：结论： = .05水平

13、上不拒绝H0 没有足够的依据说明均 值超过368克 Z X n 3725368 15 25 150 . . Z0 1.645 .05 拒绝 25 Z 01.50 p 值值= .0668 p 值检验解答值检验解答 样本统计量的Z值 在Z表中找到: 1.50 .4332 用备择假设 确定检验的 方向 .5000 -.4332 .0668 P值为：P(Z 1.50) = 0.0668 26 01.50 Z 拒绝拒绝H0 p值检验解答值检验解答 (p = 0.0668) ( = 0.05). 不拒绝零假设H0 p = 0.0668 = 0.05 检验统计量不在拒绝域内 27 已知时均值的双侧Z检验 T

14、wo-Tailed Z Test for Mean ( Known) 1.假设假设 总体服从正态分布总体服从正态分布 当当(n 30)时，不服从正态分布的总体可以用正态分布来近似时，不服从正态分布的总体可以用正态分布来近似 2.零假设只有零假设只有=号 3.Z检验统计量检验统计量 Z XX n x x 28 H0 临界值临界值 1/2 1/2 样本统计量样本统计量 拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域 非拒绝域非拒绝域 拒绝域 Rejection Regions 抽样分布 1 - 置信度 29 Z.05.07 1.6 .4505 .4515 .4525 1.7 .4599 .4608 .4616 1.8

15、.4678 .4686 .4693 .4744.4756 Z0 Z = 1 1.96-1.96 双侧检验: 确定临界值 Z Two-Tailed Test: Finding Critical Z values .500 - .025 .475 .06 1.9.4750 标准正态分布表 (部分) 给定给定 = 0.05，求，求Z? = .025 /2 = .025 30 实例实例 Example 假定您是质量控制经理，现在要知道新机器制造的电线是否符合客户的要求：假定您是质量控制经理，现在要知道新机器制造的电线是否符合客户的要求： 平均抗平均抗拉强度为强度为70磅。已知标准差磅。已知标准差 = 3.5 磅。取磅。取36根电线为样本得到样本根电线为样本得到样本 均值均值69.7磅。在磅。在为 .05时是否可以说该机器生产的电线没有达到平均抗拉强 度？ 31 解答解答Solution H0: = 70 H1: 70 = .05 n = 36 临界值: 检验统计量检验统计量 决策决策: 结论结论: = .05时，不拒绝零假设 抽样结果不足以说 明平均值低于 70 Z X n x 69770 35 36 51 . . . Z0 1.96-1.96 .025 据绝H 0 拒绝H 0 .025 32