第16讲 傅里叶变换的性质-2

1、第3章 信号与系统的频域分析 本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶 级数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨级数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨 论其特点。论其特点。 通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶 变换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。变换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶

2、 变换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。变换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统 一用傅里叶变换作为分析工具。一用傅里叶变换作为分析工具。 第3章 信号与系统的频域分析 本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系定功能而进行调整的角度，讨论输

3、出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。统对任意信号的响应。 通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。 本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。号的调制与解调等等。 本章主要内容 n3.1 3.1 周期信号的分解与合成周期信号的分解与合成 n3.2 3.2 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点 n3.3 3.3 非周期信号的频谱非周期信号的频

4、谱 n3.4 3.4 傅里叶变换的性质与应用（傅里叶变换的性质与应用（1 1） n3.5 3.5 傅里叶变换的性质与应用（傅里叶变换的性质与应用（2 2） 本章主要内容 n3.6 3.6 周期信号的频谱周期信号的频谱 n3.7 3.7 系统的频域分析系统的频域分析 n3.8 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器无失真传输系统与理想低通滤波器 n3.9 3.9 取样定理及其应用取样定理及其应用 n3.10 3.10 频域分析用于通信系统频域分析用于通信系统 第第 16 讲讲 傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换的性质与应用(2) 傅里叶变换的性质 n时域微分特性时域微分特性 n时域积分特性时域积分

5、特性 1.时域卷积性质 如果：如果： 则：则： )j()j()()( 2121 FFtftf )j()( 11 Ftf )j()( 22 Ftf 时域卷积性质的证明 dd)()( j 21 tetff t d)j()( j 21 eFf d)()j( j 12 efF )j()j( 21 FF （得证）（得证） )(*)( 21 tftftetff td d)()( j 21 求三角脉冲的频谱 三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积 ( )g t( )g t ( )*( )g tg t 卷 (j)G (j)G 乘 2 (j) 24 E FSa 卷 乘 FTFT 时域卷积定理的应用 例1：根据时域

6、卷积特性，求单个三角脉冲的频谱 解：三角脉冲可看做是两个门函数 ( )G t 的卷积 ) 2 ( 2 ) 2 sin( )( SatG 1 )()()(tGtGtf) 2 ()( 2 SajF 时域卷积性质的应用 例例2 2：求：求 的傅里叶变换的傅里叶变换 0 0 22 )sin( )( tt tt tf 解：解： )()(Sa 2 1 )( 0 ttttf 0 j 2 )( 2 1 )( t egtf 0 j 0) ( t ett 根据时域卷积定理：根据时域卷积定理： )()(Sa 2 gt 时域卷积性质的应用 2.频域卷积定理 如果：如果： 则：则： )j()j( 2 1 )()( 21

7、21 FFtftf )()( 11 jFtf )()( 22 jFtf 例3： 求余弦脉冲的频谱 t cos )(tG 1 E E )(tf 2 2 2 2 2 2 相 乘 cos t FT FT )( FT )(G 2 2 ( j)F 卷 积 (j)() 2 GES a )()( ( )gt t cos 2 ) 2c o s () 2 ( j) 1() E F 乘 FTFT 卷 ( )( ).cos t f tg t cos)( 0t tfFT 00 1 j() () 2 FFj )(tfFT cos 0t FT 0 0 0 0 卷积 1 2 1 2 1 利用卷积证明 0 0 例例5：求：求

8、 的傅里叶变换的傅里叶变换 解：解： 根据频域卷积定理：根据频域卷积定理： )()(Sa 2 gt 2 sin )( t t tf )(Sa)(Sa)(tttf )()( 2 22 gg )()( 2 1 )(Sa)(Sa 22 ggtt 3.时域微分特性 如果：如果： 则：则： )j(j d )(d F t tf )j()( Ftf 一般的：一般的： )j()(j d )(d F t tf n n n 2 ( )(j )(j)ftF 3.时域微分特性证明 de)(j 2 1 )( jt Ftf dej)(j 2 1 )( jt Ftf j)(j)(Ftf 证明：证明： )(jj F 2j 1

9、 ( )(j )(j) ed 2 t ftF 2 ( )(j )(j)ftF 4.时域积分特性（了解） 如果：如果： 则：则： )()0()j( j 1 d)( FFf t )j()( Ftf 其中：其中： d)()j()0( 0 fFF t tftf)()(d)( )j( j 1 )()0( FF )j( j 1 )( F 证明：证明： 时域积分特性应用时域积分特性应用 试根据 ( )1t 和积分特性,求阶跃信号的频谱函数 1)(t( )( ) t td 根据时域积分特性，则阶跃信号的频谱函数为 1 ( )( )t j j)( t 根据微分特性：根据微分特性： 1)(t 当已知当已知 f(t

10、) 的傅里叶变换，求的傅里叶变换，求 f (t) 的傅里叶变的傅里叶变 换时用微分特性；换时用微分特性； 当已知当已知 f (t) 的傅里叶变换，求的傅里叶变换，求 f(t) 傅里叶变换傅里叶变换 时用积分特性。时用积分特性。 ( )( ) t td 根据时域积分特性根据时域积分特性 1 ( )( )t j 时域微分、积分性质的选择时域微分、积分性质的选择 5.频域微分特性（了解） d )j(d )()j( F tft n n n F tft d )j(d )()j( 如果：如果： 则：则： )j()( Ftf 一般的：一般的： )(2j t证明：证明： 已知已知 )(2j)j ( 2 1 )

11、( Fttf)()(j jF)(j j F 6.频域积分特性（了解） xxF t tf tfd)j( )j( )( )()0( 如果：如果： 则：则： )j()( Ftf 当当f(0)=0时：时： xxF t tf d)j( )j( )( j 1 )()j()( 1 Ft 例例8 8： ).j()()( Ftttf，求，求 )j()(j 1 Ftt 2 1 )(j)j( F 解：解： 。求求图示信号图示信号)(),( jFtf 解法解法1： ) 2 ( 2 )( 4 ) 2 ( 2 )( ttttf 例例9 1) 2 cos( 4 xx 2 sin212cos )j()( 2 Ftf 令：令：

12、 )j()( 1 Ftf 2 j 2 j 2 2 2 )j()( eeFtf ) 4 (sin 8 2 )()0() 4 (sin 8 j 1 )j()( 2 2 1 FFtf )()0() 4 (sin 8 )j( 1 )j()( 1 2 2 FFtf 利用时域积分性质：利用时域积分性质： 再次利用时域积分性质：再次利用时域积分性质： =0 ) 4 (sin 8 j 1 2 ) 4 (Sa 2 2 =0 解法解法2： ) 4 () 4 ( 2 )( 22 tgtgtf ) 4 (Sa 2 )( 2 tg 4 j 2 ) 4 (Sa 2 ) 4 ( etg 4 j 2 ) 4 (Sa 2 ) 4 ( etg