生物统计学第八章 次数资料的分析

1、第八章 次数资料的分析 2 检验：检验：拟合优度检验和独立性检验 第一节第一节 2 2 统计量统计量 第二节适合性检验第二节适合性检验 第三节独立性检验第三节独立性检验 内容提要内容提要 教学重点：教学重点： 适合性（也称为拟合优度）、独立性检验的方法适合性（也称为拟合优度）、独立性检验的方法 教学要求教学要求（与上一章与上一章 2 2检验的区别，前者为正态检验的区别，前者为正态 总体标准差检验，本章为实际观测数与理论模型总体标准差检验，本章为实际观测数与理论模型 间的一致性比较间的一致性比较） 1. 1. 掌握掌握 2 2检验的意义、基本步骤检验的意义、基本步骤 2. 2. 掌握适合性、独立

2、性检验的方法掌握适合性、独立性检验的方法 一、一、 2 与与 2 分布分布 例：统计某养羊场一年所生876只羔羊中：母羔 羊448只、公羔羊428只。分析一下是否符合1:1的 性别比例。 表表8-1 羔羊性别实际观察次数与理论次数羔羊性别实际观察次数与理论次数 性别实际观察次数O理论次数TO-T（O-T） 2/T 公428（O1）438（T1）-100.2283 母448（O2）438（T2）100.2283 合计87687600.4566 （一）（一）PearsonPearson定理定理 当 是总体的真实概率分布时， 统计量 随n的增加渐近于自由度为k-1的 分布 k ppp, 21 k 1

3、=ii 2 ii2 np )np-(n = 的次数，即理论观测值种属性理论上应该出现为样本中第 实际观测值；种属性出现的次数，即为样本中第 为样本含量； 概率；种不同属性出现的理论为 其中： inp in n kpp i i , 21 2 （二）统计量的定义（二）统计量的定义 i 2 ii2 T )T(O = （三）统计量的意义（三）统计量的意义 Pearson定理实际上是说：如果样本确实抽自 理论概率为代表的总体，则实际观测 值和理论观测值之间的差异是由试验误差造成的； 2是度量实际观察次数与理论次数偏离程度的 一个统计量，2越小，表明实际观察次数与理论次 数越接近；2 =0，表示两者完全吻

4、合；2 越大， 表示两者相差越大。 k ppp, 21 二、二、 2 统计量的校正统计量的校正 （一）理论次数要求 各组内的理论次数不小于5。若某组的小于5， 则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理论次 数大于5为止。 合并后的属性类别分类数记为k 。 （二）若df=1，则应进行连续型校正，公式为： T 0.5)TO( = 2 2 c 5Ti 三、三、 2 检验的步骤检验的步骤 （一） 建立假设 H0: 实际观察次数与理论次数相符合， HA: 实际观察次数与理论次数不相符合。 （二）计算统计量： （三）由df查2值表(附表6)得20.05、20.01 ，将实测2或2c 值与20.05、20.

5、01比较，做出统计推断： 1. 若220.05 ，P0.05 , 则实际观察次数与理论次数差 异不显著； 2. 若20.05220.01，0.01P0.05 , 则实际观察次数 与理论次数差异显著； 若220.01，P0.01 , 则实际观察次数与理论次数差 异极显著。 四、四、 2 检验的类别检验的类别 （一）适合性检验 （吻合度检验或拟合优度检验） （二）独立性检验 一、一、 适合性检验适合性检验 （一）概念 判断实际观察的属性类别（比如红、白；公、 母等）分配是否符合已知属性类别分配理论或学 说的假设检验称为适合性检验。简单来说就是检 验总体是否属于某个指定分布。 （二）方法（二）方法

6、给定分布函数F(X)，首先把X的值域分为r个不 相重合的区间，并统计样本含量为n的一次抽样中， 观察值落入区间i的的次数Oi，再计算出在指定分 布下，X落入每一区间的 概率 ，由 样本含量n，计算出落入每一区间的理论次数Ti = n pi ，从而利用Pearson统计量进行检验。 ) r,i (p i 21= 二、二、 适合性检验的一般步骤适合性检验的一般步骤 （一）把数据编制成统计表； （二）根据分布类型及样本含量n计算理论值Ti； （三）需用样本数据估计总体参数时，计所估计 的参数个数为a；比如 （四）分别合并尾区理论次数，使，合并 后的组数记为k，则自由度df=k-1-a； 1=a，估计

7、x时用P(X） 5Ti （五）提出假设；（五）提出假设； 零假设H0：实际观察的属性类别分配符合已知属性 类别分配的理论或学说； 备择假设为HA：实际观察的属性类别分配不符合已 知属性类别分配的理论或学说； （六）计算（六）计算 2 2值值 并与并与 比较，做出统计推断及生比较，做出统计推断及生 物学解释；物学解释； 2 【例例8.18.1】 1. 建立假设 H0: 实际观察的公、母羔羊次数与理论次数相符合， HA: 实际观察公、母羔羊次数与理论次数不相符合。 2. 计算理论次数 按性别比例为1:1计算出公、母羔羊理论次数（见表第三列） 3.计算统计量 由于df2-1=1，要进行连续性校正：

8、4. 查表得20.05（1)3.84 、由于2c20.05，P0.05， 表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为实际 观察的羔羊公、母比例符合1:1性别比例规律 0.4121= 438 0.5)-438-448( + 438 0.5)-438-428( = T 0.5)-T-A( = 222 2 c 【例例8.28.2】调查了200个奶牛场，统计各场某10年内出现 的怪胎（如缺皮症，全身无毛等）的头数，然后以怪胎 头数把200个奶牛场分类，统计每类中奶牛场数目，结 果如下。试研究10年内母牛怪胎数的概率分布。 1. 建立假设 H0: 10年内母牛怪胎数的概率分布属于泊松分布 HA: 1

9、0年内母牛怪胎数的概率分布不属于泊松分 布 1010年内母牛产怪胎次数年内母牛产怪胎次数 （m m） 0 01 12 23 34 4总总 计计 奶牛场数（奶牛场数（f f）1010 9 9 6565 2222 3 31 1200200 2. 计算理论次数 =0.61估计，代入 计算当 m=0,1,2,3,4时的概率和理论次数（见表第三、四 列）。 将后三项合并，df=k-1-a=3-1-1=1 总总 计计4 43 32 21 10 0怪怪胎胎数数（m m） 2 20 00 01 13 32 22 26 65 51 10 09 9实实际际次次数数（f f） 0 0. .9 99 99 96 6

10、0 0. .0 00 03 31 10 0. .0 02 20 06 60 0. .1 10 01 11 10 0. .3 33 31 14 40 0. .5 54 43 34 4 概概 率率（理理论论） 1 19 99 9. .9 92 2 0 0. .6 62 24 4. .1 12 22 20 0. .2 22 26 66 6. .2 28 81 10 08 8. .6 68 8 理理 论论 次次 数数 总总 计计4 43 32 21 10 0怪怪胎胎数数（m m） 2 20 00 01 13 32 22 26 65 51 10 09 9实实际际次次数数（f f） 0 0. .9 99

11、99 96 6 0 0. .0 00 03 31 10 0. .0 02 20 06 60 0. .1 10 01 11 10 0. .3 33 31 14 40 0. .5 54 43 34 4 概概 率率（理理论论） 1 19 99 9. .9 92 2 0 0. .6 62 24 4. .1 12 22 20 0. .2 22 26 66 6. .2 28 81 10 08 8. .6 68 8 理理 论论 次次 数数 x k e k! =k)=P(x 3.计算统计量 由于df=1，要进行连续性校正： 4.查表 得20.05（1)3.84 、由于2c20.05， P0.05，所以接受H0

12、，即10年内母牛怪胎数的概 率分布属于泊松分布 021. 0 96.24 ) 5 . 0-96.24-26( 28.66 ) 5 . 0-28.66-65( 69.108 ) 5 . 069.108109( ) 5 . 0( 222 2 2 c T TA 一、一、 独立性检验独立性检验 （一）概念 也称列联表2检验。根据次数资料判断两类因 子彼此相关或相互独立的假设检验就是独立性检验。 独立性检验实际上是基于次数资料对因子间相关性 的研究,此时H0 : 两类因子相互独立, HA : 两类因 子彼此相关。 患 病 未患 病 合计 注射 未注 射 合计 30 40 70 130 80 210 16

13、0 120 280 （二）次数资料归组方法（二）次数资料归组方法 独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进 行归组。根据两因子属性类别数的不同而构成22、 2c、rc列联表（r为行因子的属性类别数，c为 列因子的属性类别数）。 2 22 2列联表一般形式列联表一般形式r rc c列联表一般形式列联表一般形式 患病患病未患病未患病合计合计 注射注射 未注射未注射 合计合计 a 30(X?) c 40 70(a+c) b 130 d 80 210(b+d) 160(a+b) 120(c+d) 280(a+b+c+ d) 280 70160 =注射，患病）(T X （三）理论次数的计算方法（三）理论

14、次数的计算方法 总总数 格所在列总数格所在行总数 理论次数 ji Tij = （四）统计量自由度的确定（四）统计量自由度的确定 在rc列联表的独立性检验中， 2 2 统计 量的自由度df=(r-1)(c-1)，即 df=(df=(横行属性类别数横行属性类别数-1)-1)( (直列属性类别直列属性类别 数数-1)-1) 二、二、 独立性检验的方法独立性检验的方法 （一） 22列联表的独立性检验 22列联表的一般形式如下表所示，其自由 度df=(c -1)(r-1)=(2-1)(2-1)=1，在进行2检验 时，需作连续性矫正，应计算 值。 2 c 2 22 2列联表一般形式列联表一般形式 5Ti

15、1、 先将资料整理成列联表 2、 提出零假设与备择假设 H0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独立。 HA：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼此相关。 患病 未患 病 合 计 注射 未注 射 合计 30 40 70 130 80 210 160 120 280 3 3、 计算理论次数计算理论次数 注射组的理论发病数：T11=70160/280=40 注射组的理论未发病数： T12=210160/280=120，或：T12=160-40=120； 未注射组的理论发病数： T21=12070/280=30，或T21=70-40=30； 未注射组的理论未发病数： T22=120210/280=9

16、0，或T22=120-30=90。 患病患病未患病未患病合计合计 注射注射 未注射未注射 合计合计 A11 = 30; T11 = 40 A21 = 40; T21 = 30 70 A12 = 130; T12 = 120 A22 = 80; T22 = 90 210 160 120 280 4 4、 计算计算 值值 5、 查临界2值，作出统计推断及生物学解释 因为20.01（1）=6.63，而=7.091420.01（1）， P0.01，否定H0，接受HA，表明发病率与是否注射 疫苗极显著相关，这里表现为注射组发病率极显著 低于未注射组，说明该疫苗是有预防效果的。 2 c 0194. 7 9

17、0 ) 5 . 0|9080(| 30 ) 5 . 0|3040(| 120 ) 5 . 0|120130(| 40 ) 5 . 0|4030(| ) 5 . 0( 2222 2 2 T TA c （二）（二） r rc c列联表的独立性检验列联表的独立性检验 rc列联表（r2,c3或r3,c2）是行因子 的属性类别数为r，列因子的属性类别数为c （ c 2）的列联表。 其自由度df = (r-1)(c -1)大于2，在进行 2检验时，不需作连续性矫正。 5Ti 【例8.5】为检测不同灌溉方式对水稻叶片衰老的 影响，收集到下表中的资料，问叶片衰老与灌溉方 式是否有关？灌溉方灌溉方 式式 绿叶数

18、绿叶数黄叶数黄叶数枯叶数枯叶数合合 计计 深水深水 浅水浅水 湿润湿润 合计合计 146(140. 69) 183(180. 26) 152(160. 04) 481 7(8.78) 9(11.2 4) 14(9.9 8) 30 7(10.53) 13(13.4 9) 16(11.9 8) 36 160 205 182 547 【解析】 1. 提出零假设与备择假设 H0：叶片衰老与灌溉方式无关。 HA：叶片衰老与灌溉方式。 2. 计算各个理论次数（见表） 3. 计算计算2值 4. 查临界2值，作出统计推断 df=(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4。因为20.05（4） =9.488

19、，而2=5.260.05，差异不显 著，接受H0,即叶片衰老和灌溉方式无关。 5.26= 11.98 11.98)(16 + 8.78 8.78)(7 + 140.69 140.69)(146 = T T)(A = 222 2 2 c （三） 列联表的精确检验法 !d! c!b!a!N )!db()!ca()!dc()!ba( P + = a c b d a+b c+d a+cb+ d N(a+b+c+d) 5 i T 21 0 0 的所0到计计算其从该观 的一个0时，选最接近0中都大于dc,b,a,当2. H拒绝 2 或P若： ）直接做比 较( 2 )或( 与P将计计算得到 时：0中至少有一

20、个 为dc,b,a,当1. PPP P ：有可能组合概率的和 则 双侧单侧 【例例8.68.6】用两种饲料A和B饲养小白鼠，一 周后测其体重情况如下表，问用不同饲料 饲养小白鼠体重增加差异是否显著？ 未增/只增/只合计 A饲料 B饲料 合计 4 0 4 1 6 7 5 6 11 1. 提出零假设与备择假设 H0：两种饲料饲养结果相同。 HA：两种饲料饲养结果不同。 2.计算P值:B饲料饲养体重未增的为0，直接计算P 3. 作出统计推断及生物学解释 0150 601411 7465 . ! ! !d! c!b!a!N )!db()!ca()!dc()!ba( P= + = 结果显著不同，得出 两

21、得出两种饲料H所以拒 绝 0.025P作比较比较 2 做双侧双侧检验 1. 两者研究目的不同 2.资料归组的根据不同 独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进 行归组，而适合性检验只按某一因子的属性类别。 3.理论次数的计算依据不同一样 适合性检验按已知的属性分配的理论或学说计 算理论次数。而独立性检验理论次数在两因子相互 独立的假设下进行计算。 4.自由度的计算不一样 适合性检验中自由度为质量属性分类数减1。 在rc列联表的独立性检验中，自由度为 (r-1)(c-1)。 1. 以红米非糯到和白米糯稻杂交，子二代检测179 株，数据如下表，问子二代分离是否符号 9:3:3:1的规律？ 2. 2

22、. 用血球计数板计数每微升(uL)培养液中的酵母细 胞，得数据如下表，问此细胞计数是否符合 Poisson分布？ 属性红米非 糯(1) 红米 糯(2) 白米非 糯(3) 白米 糯(4) 合 计 株数9637311517 9 细胞数012345合计 出现次数213128371831400 适合性检验作业 双因素双因素试验的方差分析试验的方差分析 l 影响试验结果的因素不止一个，要用影响试验结果的因素不止一个，要用双因素双因素 或或 多因素多因素的方差分析；的方差分析； l 确定确定哪些因素哪些因素是主要的，它们对试验结果的是主要的，它们对试验结果的 影响是否显著影响是否显著； l 它们之间是否有

23、它们之间是否有交互作用交互作用。 （一）双因素（一）双因素等重复试验（有交互作用）等重复试验（有交互作用）的方差分析设有两个因的方差分析设有两个因 素素A，B作用于试验的指标作用于试验的指标。 r AAA, 21 S BBB, 21 因素B有s个水平 对因素A,B的水平的每对组合(Ai,Bj)，sjri, 2 , 1, 2 , 1 都作t (t2)次试验（称为等重复试验），得到如下结果 因素A有r个水平 t X XX 11 112111 , , t X XX 12 122121 , , st ss X XX 1 2111 , , t X XX 21 212211 , , t X XX 22 2

24、22221 , , st ss X XX 2 2212 , , tr rr X XX 1 1211 , , tr rr X XX 2 2221 , , rst rsrs X XX , , 21 因素因素B B 因素因素A AB B1 1B B2 2B Bs s A A1 1 A A2 2 A Ar r 设：设： , 2 , 1, 2 , 1, 2 sjriNX ijijk , 2 , 1tk 各各 ijk X 独立，独立， 2 ,ij均为未知参数。或写成：均为未知参数。或写成： ., 2 , 1 , 2 , 1, 2 , 1 , 0 , 2 tk sjri N X ijkijk ijkijij

25、k 独立各 （4.1） 引入记号：引入记号： ., 2 , 1,. , 2 , 1,. , 2 , 1, 1 . , 2 , 1, 1 . , 1 1 1 11 sjj ri sj r ri s rs j ii r i ijj s j iji r i s j ij 易见：易见： r i s j ji 11 0, 0 称称为为总平均总平均， i a 为水平为水平 i A的的效应效应，称，称 j 为水平为水平 j B 的的效应效应. . ij 表示成表示成 ., 2 , 1, 2 , 1 ),.( sjri ja iijjiij 记记 , 2 , 1, 2 , 1 ,. sjri jiijij .

26、 ijjiij a （2.42.4） ji 作用作用引起的，易见：引起的，易见： s j ij r i ij ri sj 1 1 ., 2 , 1, 0 , 2 , 1, 0 （4.2） （4.3） 此时此时 称为水平称为水平Ai和水平和水平Bj的的交互效应交互效应，这是由，这是由Ai , Bj联合联合 （4.14.1）可写成）可写成 r i r i s j ijij s j ji ijkijk ijkijjijki a tk sjri N aX 1111 2 , 0, 0, 0, 0 , 2 , 1 , 2 , 1, 2 , 1 , 0 , 独立各 其中其中 2 ,及 ijji a 双因素试

27、验方差分析的双因素试验方差分析的数学模型数学模型。 （4.5） 都是都是未知参数未知参数。（。（4.5）式就是）式就是 对于这一模型要检验以下三个假设：对于这一模型要检验以下三个假设： ,: , 0: 2111 2101 不全为零 r r aaaH aaaH （4.64.6） ,: , 0: 2112 2102 不全为零 r r H H （4.74.7） ,: , 0: 121113 121103 不全为零 rr rs H H （4.8） 与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是 建立在建立在平方和的分解上平方和的分解上。引入记号：。引入记号： ,

28、2 , 1, 1 , 2 , 1, 2 , 1, 1 . , 1 11 . 1 111 riX st X sjriX t X X rst X s j t k ijk i t k ijk ij r i s j t k ijk ., 2 , 1, 1 11 .sjX rt X r i t k ijk j 总偏差平方和（称为总偏差平方和（称为总变差总变差） r i s j t k ijkT XXS 111 2 . S ST T写成：写成： r i s j j iij s j j r i s j t k r i iij ijk r i s j t k j ijjiij ijk r i s j t k

29、ijkT XXXXtXXrt XXstXX XXXXXXXXX XXS 11 2 1 2 1111 22 11 2 1 . 111 2 ,. . ., 即得即得平方和的分解式平方和的分解式： , BABAET SSSSS （4.9） 其中其中 r i s j t k ij ijkE XXS 111 2 ,. （4.104.10） r i i A XXstS 1 2 . （4.114.11） r j jB XXrtS 1 2 ,. . (4.12) (4.12) r i s j j iij BA XXXXtS 11 2 . S SE E称为称为误差平方和误差平方和，S SA A,S,SB B分别

30、称为因素分别称为因素A A、因素、因素B B的的效应平方效应平方 和和， BA S 称为称为A,BA,B交互效应平方和交互效应平方和。 （4.13） 可以证明可以证明 BABAET SSSSS , ),1)(1( , 1, 1),1(, 1srsrtrsrst 且有：且有： , ) 1( 2 trs S E E （4.144.14） , 11 1 2 2 r ast r S E r i i A （4.154.15） , 11 1 2 2 s rt s S E s j i B （4.16） 的的自由度自由度依次为依次为 . 1111 11 2 2 sr t sr S E r i s j ij B

31、A 0: 2101 r aaaH 为真时，可以证明为真时，可以证明 .1, 1 1/ 1/ trsrF trsS rS F E A A 取显著性水平为取显著性水平为，得假设，得假设 01 H .1, 1 1/ 1/ trsrF trsS rS F E A A 下，假设下，假设HH02 02的 的拒绝域拒绝域为为 .1, 1 1/ 1/ trssF trsS sS F E B B （4.20） （4.17） 当当 （4.18） 的的拒绝域拒绝域为为 （4.19） 类似地，在显著性水平类似地，在显著性水平 在显著性水平在显著性水平 .1,11 ) 1(/ 11 trssrF trsS srS F

32、E BA BA 下，假设下，假设H03的的拒绝域拒绝域为为 （4.21） 上述结果可汇总成下列的上述结果可汇总成下列的方差分析表方差分析表： 表表9.9 9.9 双因素双因素试验的方差分析表试验的方差分析表 1 r S S A A E A A S S F 1 s S S B B E B B S S F 11 sr S S BA BA E BA BA S S F 1 trs S S E E 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均均 方方F F 值值 因素因素A AS SA Ar-1r-1 因素因素B BS SB Bs-1s-1 交互作用交互作用S SA A B B (r-1)(s-1)(r-

33、1)(s-1) 误误 差差S SE Ers(t-1)rs(t-1) 总总 和和S ST Trst-1rst-1 记记 r i s j s k ijk XT 111 . , ,. 1 t k ijkji XT , 2 , 1;, 2 , 1sjri s j t k ijki XT 11 ,. , 2 , 1ri s j t k ijkj XT 11 . , , 2 , 1ri 可以按照下述公式来计算上表中的各个平方和。可以按照下述公式来计算上表中的各个平方和。 . , 1 , 1 , 1 , 11 2 . 2 . 1 2 2 . 1 2 . 2 . 111 2 . 2 BABATE BA r i

34、 s j ijBA s j jB r i iA r i s j t k ijkT SSSSS SS rst T T t S rst T T rt S rst T T st S rst T XS 例例1 1：下表中，假设符合双因素方差分析模型所需的：下表中，假设符合双因素方差分析模型所需的 条件，试在水平条件，试在水平0.050.05下，检验不同燃料（因素下，检验不同燃料（因素A A），不），不 同推进器（因素同推进器（因素B B）下的）下的射程是否有显著差异射程是否有显著差异？交互作用交互作用 是否显著是否显著？ 解：需检验假设解：需检验假设 030201 ,HHH . , jiij TTTT

35、 现在现在 2, 3, 4tsr，故有，故有 ,67500.261 24 8 .1319 6 .3464 .3425 .2963 .334 6 1 ,29833.2638 24 8 .1319 4 .416 .522 .58 2 2222 2 222 A T S S 计算计算 6 .52 2 .58 2 .41 2 .56 8 .60 3 .65 8 .42 1 .49 5 .50 1 .54 4 .48 6 .51 3 .58 1 .60 2 .73 9 .70 7 .40 2 .39 5 .71 8 .75 0 .51 2 .58 4 .41 7 .48 B B A A B B1 1B B

36、2 2B B3 3T Ti. i. A A1 1 (110.8) (110.8) (97.4) (97.4) (126.1) (126.1)334.3334.3 A A2 2 (91.9) (91.9) (104.6) (104.6) (100) (100)296.5296.5 A A3 3 (118.4) (118.4) (144.1) (144.1) (79.9) (79.9)342.4342.4 A A4 4 (147.3) (147.3) (109.2) (109.2) (90.1) (90.1)346.6346.6 T T.j. .j. 468.4 468.4455.3455.339

37、6.1396.11319.81319.8 .95000.236 ,69250.1768 24 8 .1319 1 .909 .918 .110 2 1 ,98083.370 24 8 .1319 1 .3963 .4554 .468 8 1 2 222 2 222 BABATE BA BA B SSSSS SS S S 得方差分析表如下：得方差分析表如下： 表表9.11 9.11 例例1 1的方差分析表的方差分析表 方差来源方差来源 平方和平方和自由度自由度均均 方方F F 值值 因素因素A A261.675 00261.675 003 387.225 087.225 0F FA A= =4.

38、424.42 （燃料）（燃料） 因素因素B B3709.980 833709.980 832 2185.490 4185.490 4F FB B= =9.399.39 （推进器）（推进器） 交互作用交互作用 A AB B 1768.692 501768.692 506 6294.782 1294.782 1F FA A B B= =14.9 14.9 误误 差差236.950 00236.950 00121219.745 819.745 8 总总 和和2638.298 332638.298 332323 由于由于 ,89. 3)12, 2(,49. 312, 3 05. 005. 0BA FF

39、FF 拒绝假设拒绝假设 0201,H H 即，即，燃料燃料和和推进器推进器这两个因素对这两个因素对射程射程的影响都是的影响都是显著的显著的。 BA FF 00. 3)12, 6( 05. 0 拒绝拒绝H H03 03。 。 交互作用效应是高度显著的交互作用效应是高度显著的。 又又 例例2 2：在某种金属材料的生产过程中，对热处理：在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度温度 （因素（因素B B）与）与时间时间（因素（因素A A）各取两个水平，产品强度的测）各取两个水平，产品强度的测 定结果（相对值）如表定结果（相对值）如表9.129.12所示。在同一条件下每个实验所示。在同一条件下每个实验 重

40、复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方 差相同。各样本独立。差相同。各样本独立。问问热处理温度、时间以及这两者的热处理温度、时间以及这两者的 交互作用交互作用对产品强度是否有显著的影响（取对产品强度是否有显著的影响（取=0.05=0.05）？）？ 表表9.129.12 6 .38 0 .38 8 .44 0 .47 8 .43 0 .45 8 .40 4 .42 B B A A B B1 1B B2 2T Ti i. . A A1 1 (76.6) (76.6) (91.8) (91.8)168.4168.4 A A2 2 (88.8

41、) (88.8) (83.2) (83.2)172172 T.T.j j. .165.4165.4175175340.4340.4 解：按题意需检验假设解：按题意需检验假设(4.6)(4.8)(4.6)(4.8)，作计算如下：，作计算如下： . 6 . 482.71 ,08.5452.1162. 102.1448424.14551 ,52.11 8 4 .340 1754 .165 4 1 ,62. 1 8 4 .340 1724 .168 4 1 ,82.71 8 4 .340 8 .406 .380 .38 2 22 2 22 2 222 BABAE BA B A T SSSS S S S

42、 S 得方差分析表如表得方差分析表如表9.139.13 表表 9.13 9.13 例例2 2的方差分析表的方差分析表 4 . 1 A F 0 .10 B F 0 .47 BA F 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均均 方方F F 比比 因素因素A A 因素因素B B 1.621.62 11.5211.52 1 1 1 1 1.621.62 11.5211.52 A AB B54.0854.081 154.0854.08 误差误差4.64.64 41.151.15 总和总和71.8271.827 7 由于由于 ,71. 74 . 1 05. 0 F 而而温度的影响显著温度的影响显著，且，

43、且交互作用的影响也显著交互作用的影响也显著。 所以认为所以认为时间对强度的影响不显著时间对强度的影响不显著， （二）双因素（二）双因素无重复试验无重复试验的方差分析的方差分析 为要为要检验交互作用的效应是否显著检验交互作用的效应是否显著，对于两个因素的，对于两个因素的 每一组合每一组合 ji BA, 如果如果已经知道不存在交互作用已经知道不存在交互作用，或交互作用对试验的，或交互作用对试验的 指标指标影响很小影响很小，则可以，则可以不考虑交互作用不考虑交互作用，减少试验次数。，减少试验次数。 也能对因素也能对因素A A、因素、因素B B的效应进行分析。现设对于两个因的效应进行分析。现设对于两个

44、因 素的每一组合素的每一组合 ji BA ,只做一次试验只做一次试验，所得结果，所得结果 至少要做至少要做2次试验次试验。 如下：如下： 1 B 2 B s B r A A A 2 1 1 21 11 r X X X 2 22 12 r X X X rs s s X X X 2 1 因素因素B B 因素因素A A 2 , ijij NX 各各 ij X独立，独立， , 2 , 1ri , 2 , 1sj 其中其中 2 ,ij 均为未知参数，或写成均为未知参数，或写成 . , 0 , 2 , 1 , 2 , 1, 2 独立各 ij ij ijijij N sj riX （4.23） 设设 现在假

45、设现在假设不存在交互作用不存在交互作用，此时，此时 ., 2 , 1, 2 , 1, 0sjri ij 故由故由(4.4)(4.4)式知式知 jiij a 于是（于是（4.234.23）可写成）可写成 r i s j ji ijij ijjiij a sjri N aX 11 2 . 0, 0 , 2 , 1, 2 , 1 , 0 独立各 （4.24） 这就是这就是双因素无重复试验双因素无重复试验要研究的方差分析的要研究的方差分析的模型。模型。 .,: , 0: .,: , 0: 2112 2102 2111 2101 不全为零 不全为零 s s r r H H aaaH aaaH 可得方差分

46、析表如下：可得方差分析表如下： （4.25） 这个模型要检验的假设有以下两个：这个模型要检验的假设有以下两个： A S 1r 1 r S S A A EAA SSF B S1s 1 s S S B B EBB SSF E S 11sr 11 sr S S E E T S1rs 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F F值值 因素因素A A 因素因素B B 误差误差 总和总和 取显著性水平为取显著性水平为a，得假设，得假设 0: 2101 r aaaH 的的拒绝域拒绝域为为 .11, 1srrF S S F a E A A 假设假设 0: 2102 s H的的拒绝域拒绝域为为 .11

47、, 1srsF S S F a E B B , , 1 , 1 1 2 2 . 1 2 2 . 11 2 . 2 BATE s j jB r i iA r i s j ijT SSSS rs T T r S rs T T s S rs T XS ., 2 , 1, 111 riXTXT s j iji r i s j ij ., 2 , 1, 1 sjXT r i ijj （4.27） 其中其中 表表9.15中的平方和可按下述式子来计算：中的平方和可按下述式子来计算： 例例3 3 下面给出了在某下面给出了在某5 5个个不同地点不同地点、不同时间不同时间空气中的颗粒空气中的颗粒 状物（以状物（以

48、mg/mmg/m3 3计）的含量的数据：计）的含量的数据： i T j T. 因素因素B B（地点）（地点） 1 12 23 34 45 5 因因 素素 A A 时时 间间 19751975年年1010月月 19761976年年1 1月月 19761976年年5 5月月 19961996年年8 8月月 7676 8282 6868 63 63 6767 6969 5959 5656 8181 9696 6767 6464 5656 5959 5454 5858 5151 7070 4242 3737 331331 376376 290290 278278 2892892512513083082

49、2722720020012751275 设本题符合模型（设本题符合模型（4.244.24）中的条件，试在水平）中的条件，试在水平05. 0a 解解 现在现在. 5, 4sr由（由（2.272.27）得到：）得到： .30.44150.194795.118275.3571 ,50.1947 20 1275 200251289 4 1 ,95.1182 20 1275 278290376331 5 1 ,75.3571 20 1275 376776 2 222 2 2222 2 222 E E A T S S S S 下检验：在下检验：在不同时间下不同时间下颗粒状物含量的均值颗粒状物含量的均值有无显著差异有无显著差异， 在在不同地点下不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异。颗粒状物含量的均值有无显著差异。 得方差分析表如下：表得方差分析表如下：表9.16 9.16 例例3 3的方差分析表的方差分析表 30.441 50.1947 95.1182 E B A S S S 24.13 72.10 B A F F 7