材料力学第04章

1、第四章第四章 扭扭 转转 沈阳建筑大学沈阳建筑大学 侯祥林侯祥林 刘杰民刘杰民 41 扭转的概念扭转的概念 42 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 43 薄壁筒扭转薄壁筒扭转 44 圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件 45 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件 46 矩形截面杆自由扭转矩形截面杆自由扭转 47 薄壁杆扭转薄壁杆扭转 41 扭转的概念扭转的概念 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。 A B O mm O

2、 B A 扭转：扭转： （两端面相对转过的角度）（两端面相对转过的角度） ，剪切角也称，剪切角也称。 42 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 mm m T x 一、扭矩一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成圆杆扭转横截面的内力合成 结果为一合力偶，合力偶的力偶结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的矩称为截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正负号按扭矩的正负号按 来确定，即右手握住杆的轴线，来确定，即右手握住杆的轴线， 卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇 指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正， 反之为负。反之为负。 m T x 扭矩的大小

3、由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。 , 0; 0 mTmxmT 二、扭矩图二、扭矩图 各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示 各截面扭矩的图象称为各截面扭矩的图象称为。 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下： 扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤： 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；用截面法，通过平

4、衡方程求出每段杆的扭矩；画受画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。侧，并在图上表出数值和正负号。 例例1 画图示杆的扭矩图画图示杆的扭矩图 3kN.m 5kN.m2kN.m 解：解： 1 1 2 2 3kN.m T1 A BC AC段：段： 0m mkNTT.3; 03 11 BC段：段： 0m mkNTT.2; 02 22 2kN.m T2 扭矩图扭矩图 3kN.m 2kN.m - 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶

5、矩可扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可 通过传递功率和转数来换算。通过传递功率和转数来换算。 三、外力偶矩换算三、外力偶矩换算 m)(N9550 n P m 其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（r/min） 若传动轴的传递功率为若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为每分钟转数为n ，则每分钟则每分钟 功率作功：功率作功：PW60 力偶作功：力偶作功：nmW2n P m 2 60 例例2 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW， P4=200kW，试绘制扭矩图。 n A B C D

6、m2 m3 m1 m4 解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩 m)15.9(kN 300 500 9.55559 1 1 n P .m m)(kN 784 300 150 9.55559 2 32 . n P .mm m)(kN 376 300 200 9.55559 4 4 . n P .m 1 1 2 2 3 3 求扭矩（扭矩按正方向假设）求扭矩（扭矩按正方向假设） mkN78. 4 , 0 , 0 2121 mTmTm mkN56. 9)78. 478. 4( 322 mmT n A B C D m2 m3 m1 m4 0; 0 212 mmTm mkN37. 6 , 0 , 0 4343

7、mTmTm 绘制扭矩图绘制扭矩图 BC段为危险截面。段为危险截面。 n A B C D m2 m3 m1 m4 4.78kN.m 9.56kN.m 6.37kN.m m,kN 56. 9 max T 扭矩图扭矩图 例例画图示杆的扭矩图。画图示杆的扭矩图。 3m2m2m mkN.4mkN.6 mkN.8mkN.6 1m _ 扭矩图扭矩图 mkN.4 mkN.6 mkN.2 43 薄壁筒扭转薄壁筒扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚 0 10 1 rt （r0：为平均半径） 一、实验：一、实验： 1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线； 两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 m。 2.实

8、验后：实验后： 圆周线不变；圆周线不变； 各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。 3.结果：结果： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此 结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 二、薄壁筒切应力二、薄壁筒

9、切应力 tA T tr T TtrrAr TrA A A 2 2 2d d 0 2 0 000 0 A0为平均半径所作圆的面积。为平均半径所作圆的面积。 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的， 切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。 T a cd dx b dy t z 三、切应力互等定理：三、切应力互等定理： dxdytdxdytmz ; 0 这就是这就是：在单元体相互垂直的两个截面：在单

10、元体相互垂直的两个截面 上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平 面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。 四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种应力状态称为种应力状态称为。 a cd dx b dy t z 单元体单元体ab 的倾角的倾角 称为称为， 切应变是切应变是单元体直角的改变量。实单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与验表明，在弹性范围内，切应力与 切应变

11、成正比，即切应变成正比，即 G 这就是这就是，比例常数，比例常数G 称为称为。 剪切弹性模量剪切弹性模量G 、与弹性模量与弹性模量E 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是是 表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三 个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。 根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个， 就可求出第三个来。就可求出第三个来。 )1 (2 E G 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。 一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆

12、杆扭转实验观察 1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设；横截面变形后仍为平面，满足平面假设； 2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力；轴向无伸缩，横截面上没有正应力； 二、等直圆杆扭转横截面上的切应力二、等直圆杆扭转横截面上的切应力 R dx dx 1 o 2 o 2 o 1 o A ABB CD D C a b dc B C C c b d 变形的几何条件变形的几何条件 横截面上横截面上b 点的切应变：点的切应变： dx d dx bb dx d 其中其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称为单位长度杆两端面相对扭转角，称 B 物理条件物理条件 横截面上横截面上b 点的切应力：点的切应力：GG

13、 静力条件静力条件 PA AA IGAG AGAT d d d 2 2 p GI T O2 dA dA b T 其中其中 称为截面对圆心的称为截面对圆心的 。 A P dAI 2 p I T 于是得横截面上任一点的切应力为于是得横截面上任一点的切应力为 Ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意 义。义。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得； 求应力那点到圆心的距离；求应力那点到圆心的距离； d D 环形截面：环形截面：)( 32 44 dDI P 极惯性矩的单位极惯性矩的单位：m4 32

14、d2 d 4 2 0 2 2 D AI D Ap D d O 极惯性矩极惯性矩 同一截面，扭矩同一截面，扭矩T ，极惯性矩极惯性矩IP 为常量，因此各点切应为常量，因此各点切应 力力 的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的成正比，方向垂直于圆的 半径，且与扭矩的转向一致。半径，且与扭矩的转向一致。 T T max max 实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。最大切应力在外圆处。 最大切应力最大切应力 maxmax P I T 令：令： )1 ( 16 16 4 4 3 3 D d D D

15、 Wt , max P t I W Wt 称为称为，单位：，单位：m3 t W T max 实心圆截面实心圆截面 空心圆截面空心圆截面 例例4已知空心圆截面的扭矩已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm， d=20mm，求最大、最小切应力。求最大、最小切应力。 d D T max min 解：解： MPa D d D T W T t 9 .84 )(1 4 100016 )1 ( 16 4 2 1 3 4 4 3 max MPa D d 45.42 2 1 9 .84 maxmin 三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：强度条件： max t W T 其中容许

16、切应力其中容许切应力 是由扭转时材料的极限是由扭转时材料的极限切应力除以安全系切应力除以安全系 数得到。数得到。 一、扭转时的变形一、扭转时的变形 p GI T x d d d 0 l p x GI T 当当T 、GIP 为常量时，长为为常量时，长为l 一一段杆两端面相对扭转角为段杆两端面相对扭转角为 P GI Tl 其中其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为。 (rad/m) d d p GI T x 二、刚度条件二、刚度条件 (rad/m) max p GI T /m)( 180 max p GI T 称为称为。若。若单位扭转角给的是单位扭转角给的是

17、， 则上式改写为则上式改写为 m/ 例例图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m； =60MPa， =0.3/m， G=80GPa；试选择该轴的直径试选择该轴的直径。 A BC mA mB mC l1l2 2kN.m 1kN.m 解：解： 按强度条件按强度条件 3 max max 16 d m W T c t mm m d C 4 .55 10 1060 20001616 3 3 6 3 A BC mA mB mC l1l2 2kN.m 1kN.m 按刚度条件按刚度条件 /m)( 180 max p GI T

18、 180 32 max 4 G T dI P mm G T d5 .8310 3 . 01080 18020003218032 3 4 29 4 2 max 该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：d =83.5mm. 例例45图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； =60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和试校核该轴的强度和 刚度，并计算两端面的相对扭转角刚度，并计算两端面的相对扭转角。 ABC mAmB mC l1l2 0.6kN.m 0

19、.8kN.m 解：解： 按强度按强度核该核该 MPa d m W T B t 7 .47 4 60016 16 3 3 11 1 1 d1 d2 ABC mAmB mC l1l2 0.6kN.m 0.8kN.m MPa d m W T C t 9 .11 7 80016 16 3 3 22 2 2 d1 d2 满足强度条件。满足强度条件。 按刚度按刚度核该核该 m GI T P /71. 1 180 10401080 60032180 1249 1 1 1 m GI T P /24. 0 180 10701080 80032180 1249 2 2 2 ABC mAmB mC l1l2 0.6

20、kN.m 0.8kN.m d1 d2 m/71. 1 1max 此轴不满足刚度条件。此轴不满足刚度条件。 )( 32 4 1 11 4 2 22 1 11 2 22 12 d lT d lT G GI lT GI lT PP CB 245. 0 180 10 1 ) 40 2 . 0600 70 4 . 0800 ( 1080 32 12449 CB 例例46长为长为 l =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用， 如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切许用切 应力应力 =30MPa，试设计杆的外径；试设计杆的外

21、径； =2/m ，试校核此试校核此 杆的刚度，并求右端面转角。杆的刚度，并求右端面转角。 解：解：设计杆的外径设计杆的外径 1 16 D 4 3 ）（ t W 3 4 max )1 ( 16 T D t W Tmax mKNmm/20 m2 x xmxxT20)( NmmlT40 max mm T D 57.22 10 1030)8 . 01 ( 4016 )1 ( 16 3 3 64 3 4 max mKNmm/20 m2 刚度校核刚度校核 180 max max P GI T 89. 1 )1 (1080 1804032 4429 D 右端面转角右端面转角 rad GIGI x GI xd

22、x GI dxxT PPP l P 033. 0 )8 . 01 (106 .221080 4032 401020)( 41249 2 0 2 2 0 练习练习2图示圆杆图示圆杆BC 段为空心，已知段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应试求该杆的最大切应 力和自由端的扭转角力和自由端的扭转角。 ABC aabb D d 0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m 1 12 23 34 4 解：本题应分解：本题应分4段考虑。段考虑。 32 4 21 D II PP )( 32 44 43 dDII PP 16 3

23、21 D WW tt )1 ( 16 4 43 43 D dD WW tt ABC aabb D d 0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m 0.8kN.m 0.5kN.m 1kN.m 1 12 23 34 4 MPa D T W T P 74.40 5 100016 16 3 3 1 1 1 1 MPa D T W T P 76.34 )5 . 01 (5 80016 )1 ( 16 4343 4 4 4 4 MPa74.40 1max ABC aabb D d 0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m 0.8kN.m 0.5kN.m 1kN.m 1 12 23 34 4 72.

24、00126. 0 )( 15 16 32 )1 ( 32 )1 ( 323232 4221 4 44 4 44 2 4 2 4 1 4 4 3 3 2 2 1 1 rad aTbTbTaT DG DG aT DG bT DG bT DG aT GI aT GI bT GI bT GI aT PPPP 非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲平面假设不成立。即各截面发生翘曲 不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公 式不适用，须由弹性力学方法求解。式不适用，须由弹性力学方法求解。 h b h 1 T max 注意！b 自由扭转自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两杆件扭转