24[1]3_正多边形和圆

1、 图片欣赏图片欣赏 图片欣赏图片欣赏 正多边形和圆正多边形和圆 A BC D E 正正n n边形：边形： 思考：思考：各边相等的多边形是正多边形吗？各边相等的多边形是正多边形吗？ 为什么？各角相等的多边形呢？为什么？各角相等的多边形呢？ 问题问题1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？ 各边相等各边相等, ,各角也相等各角也相等的多边形是的多边形是正多边形正多边形. . 新课讲解新课讲解 思考：思考：将将 O分成相等的分成相等的5段弧，把这些等分点段弧，把这些等分点 顺次连接起来，得到的是什么图形？为什么？顺次连接起来，得到的是什么图形？为什么？ E D C B A 2、正多边形

2、与圆有何关系？正多边形与圆有何关系？ 如图如图, ,把把O O分成把分成把O O分成相等的分成相等的5 5段弧段弧, , 依次连接各分点得到正五边形依次连接各分点得到正五边形ABCDE.ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA,AB=BC=CD=DE=EA, A A=B.B. 3.BCECDAAB A B CD E O 同理同理B B=C C=D D=E.E. 又五边形又五边形ABCDABCDE E的顶点都在的顶点都在O O上上, , 五边形五边形ABCDABCD是是O O的内接正五边形的内接正五边形, , O O是五边是五边 形形ABCDABCD的外接圆的外接圆. . 1 1：我们以圆内接

3、正五边形为例证明：我们以圆内接正五边形为例证明. . ABBCCDDEEA， 你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切, ,只要只要 把一个圆分成相等的一些弧把一个圆分成相等的一些弧, ,就可以作出这就可以作出这 个圆的内接正多边形个圆的内接正多边形, ,这个圆就是这个正多这个圆就是这个正多 边形的外接圆边形的外接圆. . 2. 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形? ?各各 角都相等的圆内接多边形呢角都相等的圆内接多边形呢? ?如果是如果是, ,说明为说明为 什么什么; ;如果不是如果不是

4、, ,举出反例举出反例. . 解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形. . 多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是是O O的内接多边形的内接多边形, , 且且A A1 1A A2 2= =A A2 2A A3 3= =A A3 3A A4 4= = =A An n 1 1A An,n, 12233411.nnn A AA AA AAAA A 23341452121.nn A A AA A AA A AA A A 123 . n AAAA 多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是正多边形是

5、正多边形. . A1 A A A A A A An O 先说先说A A1 1 A B C D 正多边形每一边所对的圆心角正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的叫做正多边形的中心角中心角. . O 中心角中心角半径半径R 边心距边心距r 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的这个正多边形的中心中心. . 外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径. . 中心到正多边形的一边的距中心到正多边形的一边的距 离叫做正多边形的离叫做正多边形的边心距边心距. . 新课讲解新课讲解 中心中心 E D C B A O 半径半径中心角中心角

6、边心距边心距 正多边形中的有关概念：正多边形中的有关概念： F 既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心 E F C D . 360 n 中心角 180 AOGBOG n 边心距把边心距把AOBAOB分成分成 2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形 设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,半径为半径为R R, ,它的周长为它的周长为L=naL=na. . R R a a 2 2 11 22 2 r SLrnar a R ， （ ）边心距（ ） 边心距 面积边心距 （ ） 新课讲解新课讲解 E D C B A O F 360 n n n 180)2( 中心角与

7、内角互补中心角与内角互补 例题选讲例题选讲 例例1.若正三角形的半径为若正三角形的半径为4，则它的边心距是，则它的边心距是 _，边长是，边长是_。 知一求二知一求二 24 3 例例2.有一个亭子，它的地基是半径为有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边的正六边 形（如图）求地基的周长和面积。形（如图）求地基的周长和面积。 D C O FE B A G 若正多边形的周长为若正多边形的周长为l l， 边心距为边心距为r，则：，则： S=_。 1 2 l l r r 重点：正三角形、重点：正三角形、 正方形、正方形、 正六边形正六边形 例例 有一个亭子有一个亭子, ,它的地基半径为它的地基半径为4

8、4m m的正六的正六 边形边形, ,求地基的周长和面积求地基的周长和面积( (精确到精确到0.10.1m m2 2).). 解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ， OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 360 60 6 因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l =46=24(m). 在在RtOPC中中,OC=4, PC= 4 2 22 BC ， 利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距 22 422 3.r 亭子地基的面积亭子地基的面积 2 11 242 341.6(

9、m ). 22 Slr O A B C D E F R P r 当堂训练当堂训练 1.课本课本P107第第1题题 3 2 3 正多边形正多边形 边数边数 内内 角角 中心中心 角角 半半 径径 边边 长长 边心边心 距距 周周 长长 面面 积积 360 41 6 12120 3 36 3 90 90 22 84 120 60 2212 6 3 练习练习 1. 1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗? ?菱形呢菱形呢? ?正方形呢正方形呢? ?为为 什么什么? ? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等矩形不是正多边形，因为四条边不都相等; ; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等菱形不是正

10、多边形，因为菱形的四个角不都相等; ; 正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等. . 解答：解答： 3.3.分别求出半径为分别求出半径为R R的圆内接正三角形，正方的圆内接正三角形，正方 形的边长，边心距和面积形的边长，边心距和面积. . 解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D 连接连接OB，则，则OB=R 在在RtOBD中中 OBD=30, 边心距边心距OD= 1 . 2 R 在在RtABD中中 BAD=30, 13 22 ADOAODRRR， cos AD BAD AB ， 3 2 3 . coscos3

11、0 R AD ABR BAD 2 1133 3 3. 2224 ABC SBC ADRRR A BC D O 解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45 在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形 222 BEOEOB 22 2OEOB 2 2 2 OB OE 22 22 OEOBR边心距 2 222 2 BCBERR边长 2 2 22 ABCD SAB BCRR 正方形 A B C D O E 抢答题：抢答题： 1.o1.o是正是正 与与 的圆心。的圆心。 ABCABC的中心，它是的中心，它是ABCABC的的 2 2、OBOB叫正叫

12、正ABCABC的的 它是正它是正ABCABC的的 的半径。的半径。 3 3、ODOD叫作正叫作正ABCABC的的 它是正它是正ABCABC的的 的半径。的半径。 A B C .O D 半径半径 外接外接圆圆 边心距边心距 内切圆内切圆 外接外接圆圆 内切内切圆圆 4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做 正方形正方形ABCD的的 5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做 正方形正方形ABCD的的 A BC D .O E 中心中心 边心距边心距 6 6、OO是正五边形是正五边形ABCDEABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦ABAB的的 弦心距弦心距OF

13、OF叫正五边形叫正五边形ABCDEABCDE的（的（ ）， 它是正五边形它是正五边形ABCDEABCDE的（）的半径。的（）的半径。 7 7、 AOBAOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDEABCDE的（的（ ）角，）角， 它的度数是（它的度数是（ ） D E A B C .O F 边心距边心距 内切圆内切圆 中心中心 7272度度 8 8、图中正六边形、图中正六边形ABCDEFABCDEF的中心角是（的中心角是（ ） 它的度数是（它的度数是（ ） 9 9、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEFABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？ BA

14、 E F C D .O AOB 60度度 解答：正六边形的半径与边解答：正六边形的半径与边 长数量关系是相等长数量关系是相等 因为：正六边形的中心角因为：正六边形的中心角 是是6060度和半径组成的三角度和半径组成的三角 形是等边三角形，所以边形是等边三角形，所以边 长与半径相等。长与半径相等。 当堂训练当堂训练 3.如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCD的边长为的边长为6m，B=60, 其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种 花部分图形的周长为（花部分图形的周长为（ ） A. m B.20m C.22m D.24m12 3 B 怎样画一个正多边形呢

15、？怎样画一个正多边形呢？ 问题问题1 1：已知：已知OO的半径为的半径为2cm2cm，求作圆的，求作圆的 内接正三角形内接正三角形. . 120 用量角器度量，使用量角器度量，使 AOB=BOC=C OA=120 用量角器或用量角器或30角角 的三角板度量，使的三角板度量，使 BAO=CAO=30 A O CB 你能用以上方法画出正四边形、正五边你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？形、正六边形吗？ A B C D O A B CD E O O A B C D E F 9072 60 你能尺规作出正四边形、你能尺规作出正四边形、 正八边形吗？正八边形吗？ A B C D O 只要

16、作出已知只要作出已知OO的互的互 相垂直的直径即得圆内相垂直的直径即得圆内 接正方形，再过圆心作接正方形，再过圆心作 各边的垂线与各边的垂线与OO相交，相交， 或作各中心角的角平分或作各中心角的角平分 线与线与OO相交，即得圆相交，即得圆 接正八边形，照此方法接正八边形，照此方法 依次可作正十六边形、依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十正三十二边形、正六十 四边形四边形 你能尺规作出正六边形、正三角形、正你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？十二边形吗？ O A B C E F D 以半径长在圆周以半径长在圆周 上截取六段相等的弧，上截取六段相等的弧， 依次连结各等分点，依次连

17、结各等分点， 则作出正六边形则作出正六边形. . 先作出正六边先作出正六边 形，则可作正三角形，形，则可作正三角形， 正十二边形，正二十正十二边形，正二十 四边形四边形 探究探究 按照一定比例按照一定比例, ,画一个停车画一个停车 让行的交通标志的外缘让行的交通标志的外缘 A B C D MN 小结：画正多边形的方法小结：画正多边形的方法 A B CD E O 如图：如图： 已知点已知点A、B、C、D、 E是是 O 的的5等分点，等分点， 画出画出 O的内接和外的内接和外 切正五边形切正五边形 A B CD E F 1 1、正多边形的各边相等、正多边形的各边相等 2 2、正多边形的各角相等、正多边形的各角相等 新课讲解新课讲解 探究、探究、正正n边形具有怎样边形具有怎样 的对称性？的对称性？ 正正n边形都是轴对称图形，它有边形都是轴对称图形，它有n条对称轴；条对称轴； 当当n为为偶数偶数时，正多边形是中心对称图形。时，正多边形是中心对称图形。 D C EB A 3 3、正多边形都是轴对称图形，一个正、正多边形都是轴对称图形，一个正n n 边形共有边形