理论力学第一章 力系的简化

1、2021-7-3 理论力学T 1 2.1 汇交力系汇交力系： 各力的作用线都汇交于一点的力系。 第二部分第二部分 力系的等效力系的等效 2021-7-3 理论力学T 2 2021-7-3 理论力学T 3 2021-7-3 理论力学T 4 力多边形 1. 汇交力系的简化汇交力系的简化 几何法几何法 合力等于各分力的矢量和 i n FFFFFF 321 2021-7-3 理论力学T 5 分析法分析法 kjiF iziyixi FFF kjiF iziyix FFF ixx FF iyy FF izz FF 合力投影定理合力投影定理： 汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数

2、和。 2021-7-3 理论力学T 6 定理定理：汇交力系的合力对任一点的矩，等于所有各分力汇交力系的合力对任一点的矩，等于所有各分力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。 2. 2. 合力之矩定理合力之矩定理 n 1i iOO )F(M)F(M 2021-7-3 理论力学T 7 例 2.1 设例1.3讨论的槽形架在点A，B处分别受对称分布 的倾斜角为 的力F F1 1和F F2 2的作用，F F1 1和F F2 2的模均为F F，尺寸 如图示。求此力系对Oz轴的力矩。 解:F F1 1和F F2 2汇交于点C，其合力F F = = F F1 1 + + F F2 2 沿垂直方向。利

3、用合力之矩定理算出此力系对Oz轴的力矩为 2 1 )()( i OziOz FMFM ) 2 (sin2b a F 2021-7-3 理论力学T 8 2.2 平行力系 2021-7-3 理论力学T 9 两个同向平行力的合力两个同向平行力的合力 大小：大小：F = F1+ F2 )F(M)F(M 2C1C CBFACF 21 1 2 F F CB AC 1. 两平行力的简化两平行力的简化 方向：平行于方向：平行于F1 、F2向一致向一致 C点由合力矩定理确定点由合力矩定理确定 2021-7-3 理论力学T 10 两个反向平行力的合力两个反向平行力的合力 方向：平行于方向：平行于F1 、F2 ，

4、当当 F F1 1 F F2 2 时，合力在较大的力一边。 时，合力在较大的力一边。 大小：大小： 由合力矩定理由合力矩定理确定确定合力的作用点合力的作用点C C 1 2 F F CB AC F = F1 - F2 合力的作用点合力的作用点C C 就是就是平行力系的力心平行力系的力心。 2021-7-3 理论力学T 11 2.2.平行力系的简化平行力系的简化 由合力矩定理： )()( icc FMFM 当力系平行于当力系平行于Z 轴时：轴时： i FF iz z FF 平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是平行平行 力系的力心力系的力心。 一般情况下简化为一个合力一般情况下简化为一个合力

5、 nnC FrFrFrFr 2211 2021-7-3 理论力学T 12 i ii nn C F rF F rFrFrF r 2211 F zF z F yF y F xF x ii C ii C ii C , , :投影式 力系的力心位置力系的力心位置: : 2021-7-3 理论力学T 13 平行力系的简化在工程中的具体应用是计算物体重心。平行力系的简化在工程中的具体应用是计算物体重心。 3. 重心重心 2021-7-3 理论力学T 14 2021-7-3 理论力学T 15 2021-7-3 理论力学T 16 C 2021-7-3 理论力学T 17 2021-7-3 理论力学T 18 i

6、i C xWxW ？ C i C i C z W Wy y W Wx x , , 分割法分割法： 2021-7-3 理论力学T 19 根据平行力系力心位置与各平行力系的方向 无关的性质，将力线转成与 y 轴平行，再应用 合力矩定理对 x 轴取矩得： W zW zzWWz ii CiiC , 综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为： W zW z W yW y W xW x ii C ii C ii C , 2021-7-3 理论力学T 20 物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的 重心位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分 法求物体的重心位置。 设 W i 表示第i个小部分的重量，Vi

7、 第i个小体积， 则 代入上式并取极限，可得： iii VW 2021-7-3 理论力学T 21 W dV z z W dV y y W dV x x V C V C V C , V dVW式中 ，上式为重心重心C 坐标的精确公式坐标的精确公式。 2021-7-3 理论力学T 22 对于均质物体，对于均质物体， = 恒量，上式成为：恒量，上式成为： V dVz z V dVy y V dVx x V C V C V C , 重心的位置完全取决于物体的几何形状，故重心的位置完全取决于物体的几何形状，故 又称为物体的形心。又称为物体的形心。 2021-7-3 理论力学T 23 均质体，均质板，均质

8、杆的均质体，均质板，均质杆的形心公式形心公式 为：为： V zV z V yV y V xV x ii C ii C ii C ,:立体 A zA z A yA y A xA x ii C ii C ii C ,:平板 l zl z l yl y l xl x ii C ii C ii C ,:细杆 2021-7-3 理论力学T 24 若以Wi= mig , W= mg 代入上式可得 质心公式质心公式 m zm z m ym y m xm x ii C ii C ii C , 2021-7-3 理论力学T 25 解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段 dRdL R dR

9、L dLx x L C 2 cos 2 sinR xC 例例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。 O cosRx 2021-7-3 理论力学T 26 组合形体的重心组合形体的重心 2021-7-3 理论力学T 27 2021-7-3 理论力学T 28 2021-7-3 理论力学T 29 2021-7-3 理论力学T 30 2021-7-3 理论力学T 31 cm.46 21 2211 AA yAyA A yA y ii C 由 解解： cmcm) R (y,y,RAA 3 4 8 4 2 1 ,80cm 21 2 2 2 1 求图示组合体的重心？求图示组合体的重心？ 分割法分割法 202

10、1-7-3 理论力学T 32 提问：圆板半径为R,等边三角形边长为R,求组合体形心. 抠去 2021-7-3 理论力学T 33 实验法：实验法： （1） 悬挂法 2021-7-3 理论力学T 34 （2） 称重法称重法 2021-7-3 理论力学T 35 1.力偶 两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 合力 R=F-F=0 1 F F CA CB CBdCBCA必有成立若, 处合力的作用点在无限远 2021-7-3 理论力学T 36 2021-7

11、-3 理论力学T 37 切削力偶切削力偶 2021-7-3 理论力学T 38 变速箱变速箱 2021-7-3 理论力学T 39 机械臂机械臂 2021-7-3 理论力学T 40 2021-7-3 理论力学T 41 2021-7-3 理论力学T 42 空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所 以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶矩矢量力偶矩矢量 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动 为正。 2021-7-3 理论力学T 43 力偶矩矢量的计算 ) ) Fr Frr FrFrFrFr BA BABA FrM 力偶对任意点之矩等于力偶矩，与矩心无关 FhFrM 2021-

12、7-3 理论力学T 44 力偶矩是自由矢量力偶矩是自由矢量，它有三个要素： 转向转向遵循右手螺旋规则。 力偶矩的大小力偶矩的大小=M； 力偶矩的方向力偶矩的方向与力偶作用面法 线方向相同； 2021-7-3 理论力学T 45 力偶的等效定理力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 2021-7-3 理论力学T 46 力偶系中的所有力偶可以合成一合力偶，合力偶矩为 n i i 1 MM kjiM iziyixi MMM n i izz n

13、i iyy n i ixx MMMMMM 111 , 2. 力偶系力偶系 由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意 一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合 矢量运算法则。 zyx MMMjiM 2021-7-3 理论力学T 47 例例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩？ mN15 4321 mmmm mN60)15(4 4321 mmmmM 解解: 各力偶的合力偶矩为 2021-7-3 理论力学T 48 求合力偶矩求合力偶矩 2021-7-3 理论力学T 49 例：在平面上作用一力偶矩为例：在平面上作用一

14、力偶矩为 M=Fa的力偶，求力偶矩矢的力偶，求力偶矩矢 量的投影式量的投影式 M=Fa n。 )01 c z b y a x zyxF,平面方程 2/1 2 2 2 2/1 2 2 2 2/1 2 2 2 z F y F x F z F n z F y F x F y F n z F y F x F x F n z y x )kjiM zyx nnnFa 解： 2021-7-3 理论力学T 50 2.32.3 空间一般力系空间一般力系 n FFFF 321 , 作用在刚体上的力成 任意分布,称空间一般力系 2021-7-3 理论力学T 51 2021-7-3 理论力学T 52 1. 力作用线的

15、平移力作用线的平移 结论结论：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力 平行移到任一平行移到任一 点点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原的矩等于原 来的力来的力 对新作用点对新作用点B的矩。的矩。F F ），力偶（力FFF 证证 力力F B F r AB F r F F” AB F F” A M = r F FFF , ,力系力系 2021-7-3 理论力学T 53 逆过程 一个力与一个力偶，如果力矢量与力偶矩矢量相互垂直， 则可合成为一个合力，大小与原力大小相同，但作用线平 移： 2 F MF r )rFrFMF FrM 2 F F M

16、 r 2021-7-3 理论力学T 54 2. 力系的主矢和主矩力系的主矢和主矩 将力系诸力平移到O点， 相应地附加一力偶， 汇交力系 n FFF, 21 力偶系 n MMM, 21 合成 n i i n i i 11 FFF ) n i i n i i 1 0 1 FMMM 2021-7-3 理论力学T 55 Poinsot(布安索)简化 力系在一般情况下可以简化为在任意选定的简化中心力系在一般情况下可以简化为在任意选定的简化中心 上作用的一个力和一个力偶，该力矢量等于力系的主矢，上作用的一个力和一个力偶，该力矢量等于力系的主矢， 该力偶的力偶矩等于力系关于简化中心的主矩该力偶的力偶矩等于力

17、系关于简化中心的主矩 n i i 1 FF ) n i i 1 0 FMM 2021-7-3 理论力学T 56 主矢和主矩的性质 力系无论向何点简化，主矢是一个不变量 n i i 1 FF 力系关于不同点的主矩有如下关系 ) MFr FrFr FrrFrM 0 11 0 1 0 1 n i ii n i i n i ii n i ii o o Ai Fi r0 ri ri o o F r0 M 2021-7-3 理论力学T 57 力系的第二个不变量 MFrM 0 )MFMFrFMF 0 主矢与主矩的点积也是一个不变量，与简化中心无关 o o F r0 M F M 2021-7-3 理论力学T

18、58 3. 合力矩定理合力矩定理 n i iOO FMFMM 1 )()( n i iOO FMFM 1 )()( 0M 当主矩为零（ ）时,力系即为汇交力系. 2021-7-3 理论力学T 59 Varignon( (伐里农伐里农) )合力矩定理合力矩定理 若力系主矩为零，则空间一般力系诸力对任意点 的矩矢量等于该力系的合力对同一点的矩。 n i iOO FMFM 1 )()( 2021-7-3 理论力学T 60 例：(i)求力系对A点的简化结果 (ii)力系对O点的力矩之和 mbmlNmMNFF5 . 0,1,400,600 21 )NFF i i jijiFF600 21 0 3 21 kMM l FlF A Nmb O kFiM300 2021-7-3 理论力学T 61 4. 力系的简化结果 n i i 1 FF) n i i 1 0 FMM 0, 0MF 0, 0MF 0, 0MF 0, 0MF 平衡力系： 合力： 合力偶： 一般情况： 2021-7-3 理论力学T 62 0, 0MF 力系