工程力学-材料力学-第5章空间力系陈小峰(最新)

1、 空间力系实例空间力系实例1 -车床主轴车床主轴 第第5章章 空间力系空间力系 空间力系实例空间力系实例2 -高压输电线塔高压输电线塔（受力图略）（受力图略） 第第5章章 空间力系空间力系 空间力系实例空间力系实例3 -发动机曲轴发动机曲轴（受力图略） （受力图略） 第第5章章 空间力系空间力系 空间力系：若作用于物体的力系中各力的作用线不空间力系：若作用于物体的力系中各力的作用线不 在同一平面内，此力系称为空间力系。在同一平面内，此力系称为空间力系。 空间力系空间力系 空间汇交力系空间汇交力系 空间力偶系空间力偶系 空间平行力系空间平行力系 空间任意力系空间任意力系 第第5章章 空间力系空间

2、力系 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 空间汇交力系：当空间力系中各力的作用线汇交于空间汇交力系：当空间力系中各力的作用线汇交于 一点时，称其为空间汇交力系。一点时，称其为空间汇交力系。 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 1）一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法） cosFFy cosFFx cosFFz 2）二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法） sinsinFFy cossinFFx cosFFz 第一次投影：第一次投影： 第二次投影：第二次投影： cosFFz sinFFxy 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 5.1

3、 空间汇交力系空间汇交力系 例例5-1 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知的作用。已知 斜齿轮的齿倾角（螺旋角）斜齿轮的齿倾角（螺旋角）和压力角和压力角，试求力，试求力F 在在x、y、z 轴上的投影。轴上的投影。 解：根据已知条件，采用二次投影法。解：根据已知条件，采用二次投影法。 cos sin FF FF xy z 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 （1 1）将力）将力F F向向z z轴和轴和OxyOxy平面投影，得平面投影，得 （2 2）将力）将力F F向向x x、y y轴投影，得轴投影，得 coscoscos sincossin FFF

4、FFF xyy xyx cos sin FF FF xy z R i FF 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 2、空间汇交力系的合成与平衡、空间汇交力系的合成与平衡 1）空间汇交力系的合成）空间汇交力系的合成 a. 几何法几何法 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合合 力的作用线通过力系的汇交点力的作用线通过力系的汇交点。 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 b. 解析法解析法 R xixx FFF R yiyy FFF R zizz FFF 由合力投影定理，有由合力投影定理，有 所以，合力的大小和方向为：所以，合力的大小和方向为： 222222 )()(

5、)( iziyixRzRyRxR FFFFFFF R iz R Rz R iy R Ry R ix R Rx F F F F F F F F F F F F cos cos cos 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 2）空间汇交力系的平衡）空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力等于零力等于零 。 空间汇交力系平衡的几何条件是：力系的力多边形空间汇交力系平衡的几何条件是：力系的力多边形 自行封闭。自行封闭。 空间汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在空间汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在 三个坐标轴上投影的

6、代数和分别等于零。三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 0 1 n i iRFF 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 n i iz n i iy n i ix F F F 1 1 1 0 0 0 空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系有三个独立空间汇交力系有三个独立 的平衡方程，可以求解三个未的平衡方程，可以求解三个未 知量。知量。 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 例例5-2 用三脚架用三脚架ABCD和绳索起吊重和绳索起吊重W= 30kN的重物，的重物， 如图所示。三脚架的各无重杆在如图所示。三脚架的各无重杆在D点用铰链相接，另一端点用铰链相接，另一端 铰接在地面上。各杆与

7、绳索铰接在地面上。各杆与绳索DE都与地面成都与地面成60角，角，ABC 为一等边三角形。求平衡时各杆所受的力。为一等边三角形。求平衡时各杆所受的力。 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 解：（解：（1 1）确定研究对象，画受力图；）确定研究对象，画受力图； 取铰链取铰链D及重物为分离体。从受力图可以看出，此五个力组成一及重物为分离体。从受力图可以看出，此五个力组成一 空间汇交力系。空间汇交力系。 （2 2）列平衡方程，求解未知数）列平衡方程，求解未知数 选坐标系如图，列写平衡方程。投影时需采用二次投影法。选坐标系如图，列写平衡方程。投影时需采用二次投影法。 06

8、0sin60sin60sin60sin, 0 060cos60cos30sin60cos30sin60cos, 0 030cos60cos30cos60cos, 0 TCBAiz TCBAiy BAix FWFFFF FFFFF FFF 其中其中FT=W，代人上式后解得，代人上式后解得 kN55. 1 kN5 .31 C BA F FF 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 1、力对点之矩以矢量表示、力对点之矩以矢量表示 力矩矢力矩矢 1）力矩矢的概念）力矩矢的概念 具有大小、转向和方位三个要具有大小、转向和方位三个要 素的力对点之矩用矢量来描述，称素的力对点之矩用矢量来描述，

9、称 为力矩矢，用为力矩矢，用M MO O（F F）表示，如图。）表示，如图。 2）力矩矢的描述）力矩矢的描述 力矩矢通过矩心力矩矢通过矩心O O，垂直于力，垂直于力 矩作用面。方向按右手法则确定。矩作用面。方向按右手法则确定。 其大小即矢量的模。转向为力绕矩其大小即矢量的模。转向为力绕矩 心转动的方向。心转动的方向。 3）力矩矢的表达式）力矩矢的表达式 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 a.力矩矢的矢积表达式力矩矢的矢积表达式 |rF| = Frsin = Fh =2A OAB 又又 方向也与力矩矢的方位相同方向也与力矩矢的方位相同 FrFM)( O 结论：力对点的矩矢等于

10、矩结论：力对点的矩矢等于矩 心到该力作用点的矢径与该心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积。力的矢量积。 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 b.力矩矢的解析表达式力矩矢的解析表达式 kjiFk,jir zyx FFFzyx 代入代入FrFM)( O 可得可得 kji kji FrFM )()()( )( xyzxyz zyx O yFxFxFzFzFyF FFF zyx 力矩矢在三个力矩矢在三个 坐标轴上的投影坐标轴上的投影 () ozy x MFyFzF () oxz y MFzFxF () oyz z MFxFyF 4）力矩矢的性质）力矩矢的性质 5.2 力对点之矩和力对

11、轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，因此，力矩力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，因此，力矩 矢为矢为定位矢量定位矢量。 2、力对轴之矩、力对轴之矩 OABxyOz AFhMM 2)()(FF 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量， 是一个代数量是一个代数量; ;其大小等于该力在垂直于该轴的平其大小等于该力在垂直于该轴的平 面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩；面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩；其正负其正负 号由右手法则给定：以右手四指表示力使物体绕轴号由右手法则给定：以右手四指表示力使物体绕轴 转动的方向，若

12、拇指的指向与轴的正向相同则取正转动的方向，若拇指的指向与轴的正向相同则取正 号，反之取负号。号，反之取负号。 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 1）力对轴之矩的定义）力对轴之矩的定义 力与轴平行力与轴平行( Fxy = 0 )时；时； 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 2）力对轴之矩等于零的情况）力对轴之矩等于零的情况 力与轴相交力与轴相交( h = 0 )时。时。 总之总之: :只要力与轴在同一平面内只要力与轴在同一平面内, ,力对轴之矩等力对轴之矩等 于零。于零。 y x O z FxyX Y Z F A(x, y, z) 力作用点 A的坐标为 x，

13、y，z ; A(x, y, z)A(x, y, z) 根据定义及合力矩定理：根据定义及合力矩定理： Mz( F ) = M O( Fxy) = MO( Fx ) + MO ( Fy ) = x Fy yFx M x ( F ) = y Fz zFy M y ( F ) = z FxxFz M z ( F ) = xFy yFx X Y Z Fx Fy Fz 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 3）力对轴之矩的单位）力对轴之矩的单位 力对轴之矩的单位为力对轴之矩的单位为N m。 4）力对轴之矩的解析表达式）力对轴之矩的解析表达式 y x 力对轴之矩的力对轴之矩的 解析表达式解析

14、表达式 Fxy 例例5-3 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 解法解法1 1： 直接套用力对轴直接套用力对轴 之矩的解析表达式。之矩的解析表达式。 力在力在 x、y、z轴的投轴的投 影为：影为： M x( F ) = yFz zFy = ( l + a )(- Fcos) - 0 = - F( l + a )cos M y ( F ) = zFx xFz = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - Flcos M z ( F ) = xFy yFx = 0 - ( l + a ) ( Fsin) = -F( l + a )sin 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点

15、之矩和力对轴之矩 Fx Fz cos 0 sin FF F FF z y x 力力F作用点作用点D的坐标的坐标 为：为： 0,zalylx Fx = Fsin Fz = Fcos 根据力对轴之矩的根据力对轴之矩的 定义并结合合力矩定理定义并结合合力矩定理 可得：可得： 解法解法2 2： 将力将力F F沿坐标轴分解沿坐标轴分解 为为F Fx x 和 和F Fz z。 Fx Fz M x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cos M y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cos M z (

16、F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sin Fx Fz Fx Fz 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 根据力对轴之矩根据力对轴之矩 的定义进行计算。的定义进行计算。 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 3、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 () ozy x MFyFzF () oxz y MFzFxF () oyz z MFxFyF 力矩矢在三个力矩矢在三个 坐标轴上的投影坐标轴上的投影 M x ( F ) = y Fz zFy M y ( F ) = z

17、FxxFz M z ( F ) = xFy yFx 力对轴之矩的力对轴之矩的 解析表达式解析表达式 )()( )()( )()( FFM FFM FFM zzO yyO xxO M M M 力对点之矩在通过该力对点之矩在通过该 点的某轴上的投影，等于点的某轴上的投影，等于 力对该轴之矩。力对该轴之矩。 作业：作业： 5-7 5-8 5-9 5.2 力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 5.1 空间汇交力系空间汇交力系 53 空间力偶系空间力偶系 1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以矢量表示-力偶矩矢力偶矩矢 空间力偶的三要素：大小、转向、作用面的方位空间力偶的三要素：大小、转向、作用面的

18、方位 用用力偶矩矢力偶矩矢来度量，用来度量，用M表示表示 ，如图。，如图。 5.3 空间力偶系空间力偶系 1）力偶矩矢三要素的确定）力偶矩矢三要素的确定 a.a.大小：力与力偶臂的乘积。大小：力与力偶臂的乘积。|MO（F）|= Fd = 2A OAB ； b.b.转向：力偶的转动方向；转向：力偶的转动方向； c.c.作用面的方位：力偶作用面的法线方向。右手法则作用面的方位：力偶作用面的法线方向。右手法则 判断。判断。 5.3 空间力偶系空间力偶系 力偶矩矢的起点可以任意选力偶矩矢的起点可以任意选 择或移动。力偶矩矢是自由矢量。择或移动。力偶矩矢是自由矢量。 2）力偶矩矢的性质）力偶矩矢的性质

19、2 2、空间力偶等效定理、空间力偶等效定理 力偶矩矢是空间力偶作用效果的唯一度量。力偶矩矢是空间力偶作用效果的唯一度量。 5.3 空间力偶系空间力偶系 3 3空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件 1）空间力偶系的合成）空间力偶系的合成 空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩 矢等于各分力偶矩矢的矢量和。矢等于各分力偶矩矢的矢量和。 a. a. 几何表达式几何表达式 b. b. 解析表达式解析表达式 kjiM zyx MMM , xixyiyziz MMMMMM in MMMMM 21 合力偶矩矢在合力偶矩矢在x、y、z轴的投影等于各分力偶矩

20、矢轴的投影等于各分力偶矩矢 在相应轴上投影的代数和。在相应轴上投影的代数和。 5.3 空间力偶系空间力偶系 2）空间力偶系的平衡）空间力偶系的平衡 空间力偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各空间力偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各 力偶矩矢的矢量和等于零。力偶矩矢的矢量和等于零。 0 1 n i i MM n i izz n i iyy n i ixx MM MM MM 1 1 1 0 0 0 空间力偶系的空间力偶系的 平衡方程平衡方程 空间力偶系平衡的解析空间力偶系平衡的解析 条件：该力偶系中所有各力条件：该力偶系中所有各力 偶矩矢在三个坐标轴上投影偶矩矢在三个坐标轴上投影 的代数和分别等

21、于零。的代数和分别等于零。 54 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 1 1、空间任意力系向一点的简化及主矢和主矩、空间任意力系向一点的简化及主矢和主矩 主矢：空间汇交力系的合力主矢：空间汇交力系的合力 iR FF 主矩：空间力偶系的合力偶矩主矩：空间力偶系的合力偶矩 )( iOO FMM 5.4 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 结论结论：空间任意力系向一点简化，一般可得一力和一：空间任意力系向一点简化，一般可得一力和一 力偶。力偶。该力作用于简化中心，等于力系中各力的矢量该力作用于简化中心，等于力系中各力的矢量 和，称为力系

22、的主矢；和，称为力系的主矢；该力偶的力偶矩矢等于力系中该力偶的力偶矩矢等于力系中 各力对简化中心的矩矢的矢量和，称为力系的主矩。各力对简化中心的矩矢的矢量和，称为力系的主矩。 a. 主矢的计算主矢的计算 R Rz R R Ry R R Rx R RzRyRxR F F F F F F FFFF ),cos( ),cos( ),cos( 222 kF jF iF M M M M M M MMMM Oz O Oy O Ox O OzOyOxO ),cos( ),cos( ),cos( 222 kM jM iM n i i n i z z iOOz n i i n i y y iOOy n i i

23、n i x x iOOx MMM MMM MMM 11 11 11 )()( )()( )()( FF FF FF b. 主矩的计算主矩的计算 5.4 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 2 2、空间任意力系的简化结果分析、空间任意力系的简化结果分析 四种情况四种情况 ： 1） FR=0，MO=0，力系平衡；，力系平衡； 2） FR=0，MO0，力系合成为一合力偶；，力系合成为一合力偶； 3） FR 0，MO=0，力系可合成为一合力；，力系可合成为一合力； 4） FR 0，MO0，有三种可能：，有三种可能： a FR MO，力系可进一步合成为一合力；力系可进一步

24、合成为一合力； R O F d M 5.4 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 bFR MO，力系合成为力螺旋；，力系合成为力螺旋； 力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力 偶的作用面。偶的作用面。 力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单 的力系，不能再进一步合成。的力系，不能再进一步合成。 符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的 称为左螺旋。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的称为左螺旋

25、。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴中心轴。 cFR和和MO成任意角成任意角，进一步合成为力螺旋。进一步合成为力螺旋。 5.4 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 R O R O F M F d sin M 一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。 。 ； 0 0 O R M F 55 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 1 1、空间任意力系的平衡条件与平衡方程、空间任意力系的平衡条件与平衡方程 空间任意空间任意 力系平衡的充力系平衡的充 要条件：该力要条件：该力 系的主矢和对系的主矢和对 于任一点的主于任一点的主 矩分别

26、为零。矩分别为零。 0)( 0)( 0)( 0 0 0 F F F F F F z y x z y x M M M F F F 空间任意力系空间任意力系 平衡的解析条件：平衡的解析条件： 所有各力在三个坐所有各力在三个坐 标轴标轴上投影的代数上投影的代数 和分别等零和分别等零，这些，这些 力力对于三个坐标轴对于三个坐标轴 之矩的代数和也分之矩的代数和也分 别等于零别等于零。 空间任意力系空间任意力系 的平的平衡方程衡方程 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 0)( 0)( 0 F F y x z M M F 空间平行力系的平衡方程：空间平行力系的平衡方程： 力系类型力系类型平衡方程个

27、数平衡方程个数备注备注 平面力系平面力系 共线力系共线力系 力偶系力偶系 平行力系平行力系 汇交力系汇交力系 任意力系任意力系 空间力系空间力系 汇交力系汇交力系 力偶系力偶系 平行力系平行力系 任意力系任意力系 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 附：各种力系平衡方程一览表附：各种力系平衡方程一览表 力系类型力系类型平衡方程个数平衡方程个数备注备注 平面力系平面力系 共线力系共线力系1 平行力系的平行力系的 特殊情况特殊情况 力偶系力偶系1 平行力系平行力系2 汇交力系汇交力系2 任意力系任意力系3 空间力系空间力系 汇交力系汇交力系3 力偶系力偶系3 平行力系平行力系3 任意力系

28、任意力系6 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 附：各种力系平衡方程一览表附：各种力系平衡方程一览表 2 2、空间约束的类型举例、空间约束的类型举例 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 空间结构的约束类型，其约束力的未知量可能为空间结构的约束类型，其约束力的未知量可能为 1616的任何数。的任何数。 物体在空间有物体在空间有6 6个独立位移。约束力未知量的个个独立位移。约束力未知量的个 数：被约束物体有几个位移被阻碍，就有几个约束力。数：被约束物体有几个位移被阻碍，就有几个约束力。 阻碍移动的是约束力；阻碍转动的是约束力偶。阻碍移动的是约束力；阻碍转动的是约束力偶。 约束反

29、力约束反力 约约 束束 类类 型 A FAz FAy蝶铰链蝶铰链 表表5-1 5-1 空间常见的约束及其约束反力空间常见的约束及其约束反力 球形铰链球形铰链 FAy FAx FAz 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 A 约束反力约束反力 约约 束束 类类 型型 A FAy FAx FAz A FAy FAx FAzMAy 止推轴承止推轴承 万向接头万向接头 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 1- 套筒套筒 2-十字轴十字轴 3-传动轴叉传动轴叉 4-卡环卡环 5-轴承外圈轴承外圈 6-套筒叉套筒叉 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 约束反力约束反力 约约 束

30、束 类类 型型 A FAy FAx FAz MAy MAz MAx FAy FAz MAz MAx A MAy 导轨导轨 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 空间固定端空间固定端 作业：作业： 5-11 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 5.4 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 5.3 空间力偶系空间力偶系 3 3、空间力系平衡举例、空间力系平衡举例 1 1）确定研究对象，做受力图；）确定研究对象，做受力图； 2 2）选取适当的坐标系；）选取适当的坐标系； 3 3）列写平衡方程，求解未知量。）列写平衡方程，求解未知量。 5.5 空间任意力

31、系的平衡空间任意力系的平衡 求解空间平衡问题的步骤求解空间平衡问题的步骤 ： 例例5-4 如图所示均质矩形平板，其重力如图所示均质矩形平板，其重力W=800N=800N，用三条绳，用三条绳 索悬挂在水平位置，一绳系在一边的中点索悬挂在水平位置，一绳系在一边的中点A处，另两绳分别处，另两绳分别 系在其对边距各端点均为边长四分之一的系在其对边距各端点均为边长四分之一的B、C点上。求各点上。求各 绳所受的拉力。绳所受的拉力。 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 解：（解：（1 1）确定研究对象，）确定研究对象， 画受力图画受力图 以平板为研究对

32、象，以平板为研究对象， 画受力图如图所示。画受力图如图所示。 （2 2）建立坐标系）建立坐标系 以点以点C为坐标原点，建为坐标原点，建 立坐标系立坐标系Cxyz如图。如图。 （3 3）列平衡方程，求解）列平衡方程，求解 未知数未知数 0, 0 WFFFF CTBTATz 0 2 , 0)( a WaFM ATx F 0 424 , 0)( b W b F b FM BTATy F 解得：解得： N200,N400 CTBTAT FFF （2）列平衡方程，求解未）列平衡方程，求解未 知数知数 例例5-5 传动轴传动轴AB上装有斜齿轮上装有斜齿轮C和带轮和带轮D, ,如图所示。斜齿轮的如图所示。斜

33、齿轮的 节圆半径节圆半径r=60mm=60mm，压力角，压力角=20=20，螺旋角，螺旋角=15=15；带轮的半径；带轮的半径 R=100mm=100mm，胶带拉力，胶带拉力F1 1=2=2F2 2=1300N=1300N，胶带的紧边为水平，松边与，胶带的紧边为水平，松边与 水平线夹角水平线夹角=30=30；两轮各与向心轴承；两轮各与向心轴承A及向心推力轴承及向心推力轴承B相距相距 a= =b=100mm=100mm，c=150mm=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计轮轴。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计轮轴 的重量。求斜齿轮所受的圆周力的重量。求斜齿轮所受的圆周力Ft t及轴承及轴

34、承A、B的约束力。的约束力。 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 解：（解：（1 1）取传动轴为研究对象，画受力图）取传动轴为研究对象，画受力图 （2 2）选坐标系）选坐标系Axyz如图所示如图所示 （3 3）列平衡方程，求解未知数）列平衡方程，求解未知数 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 0cos, 0 21 FFFFFF tBxAxx 0, 0 aAyy FFF 0sin, 0 2 FFFFF rBzAzz 0)(sin)(, 0)( 2 bcaFaFrFcaFM raBzx F 0, 0)( 21 RFRFrFM ty

35、F 0)(cos)()(, 0)( 21 bcaFbcaFaFcaFM tBxz F （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5） （6 6） 由式（由式（5 5）求得斜齿轮的圆周力）求得斜齿轮的圆周力 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡 N1083 t F 根据斜齿轮中圆周力根据斜齿轮中圆周力Ft、径向力、径向力Fr和轴向力和轴向力Fa之间的关之间的关 系，可得系，可得 N40820tan 15cos 1083 tan cos N29015tan1083tan t r ta F F FF 再由式（再由式（6 6）、（）、（2 2）及（）及（4 4）求得）求得 N222

36、,N290,N2175 BzByBx FFF 最后由式（最后由式（1 1）和（）和（3 3）得）得 N305,N1395 AzAx FF 平行力系中心：平行力系合力通过的一个点。平行力系中心：平行力系合力通过的一个点。 AC F BC F 21 56 重重 心心 1 1、平行力系的中心、平行力系的中心 重心：物体所受重力合力的作用重心：物体所受重力合力的作用 点。点。 sinsin )()( 1 ABFBCF MM R BRB FF 21 FFFBCACAB R )()( 121 BCACFBCFF 5.6 重重 心心 平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用平行力系合力作用点的位置仅

37、与各平行力的大小和作用 点的位置有关，而与各平行力的方向无关。点的位置有关，而与各平行力的方向无关。 2 2、重心、重心 根据合力矩定理，对根据合力矩定理，对x轴轴 和和y轴取矩，分别有轴取矩，分别有 iinnC iinnC xWxWxWxWWx yWyWyWyWWy ) )( 2211 2211 将各力绕将各力绕x轴转过轴转过9090 iinnC zWzWzWzWWz)( 2211 W zW z W yW y W xW x ii C ii C ii C , 5.6 重重 心心 对于均质物体对于均质物体 V zV z V yV y V xV x ii C ii C ii C , 均质物体的重心

38、位置完全决定于物体的几何形状，均质物体的重心位置完全决定于物体的几何形状， 而与物体的重量无关。这时物体的重心就是物体几何而与物体的重量无关。这时物体的重心就是物体几何 形状的中心形状的中心-形心形心 。 对于均质薄板对于均质薄板 A yA y A xA x ii C ii C , 参看教材参看教材P100P100，表，表3-2 3-2 简单物体重心表简单物体重心表 5.6 重重 心心 3 3、确定物体重心的方法、确定物体重心的方法 1）查表法）查表法 5.6 重重 心心 5.6 重重 心心 2）组合法）组合法 a. 分割法分割法 将组合形体分割成几个简单的形体，这些简单形体将组合形体分割成几

39、个简单的形体，这些简单形体 的重心一般都是已知的或易求的，然后应用相应的公式的重心一般都是已知的或易求的，然后应用相应的公式 求组合形体的重心。求组合形体的重心。 将复杂形状的物体看成为几个简单形状物体的相将复杂形状的物体看成为几个简单形状物体的相 加，此种求重心的方法称为分割法。加，此种求重心的方法称为分割法。 组合法组合法 分割法分割法 负面积（体积）法负面积（体积）法 例例5-6 热轧不等边角钢的截面近似地简化为如图所示的图热轧不等边角钢的截面近似地简化为如图所示的图 形，已知形，已知h=12cm=12cm，b=8cm=8cm，d=1.2cm=1.2cm。求该截面重心的位置。求该截面重心

40、的位置。 5.6 重重 心心 5.6 重重 心心 解：将截面分割为两个矩形。取坐标系解：将截面分割为两个矩形。取坐标系Oxy，这两个矩形的，这两个矩形的 面积和重心坐标分别为面积和重心坐标分别为 cm6ycm,6 . 0),cm(4 .142 . 112 11 2 1 xA cm6 . 0ycm,6 . 4),cm(16. 82 . 18 . 6 22 2 2 xA 用分割法，求得用分割法，求得 )cm(05. 2 16. 84 .14 6 . 416. 86 . 04 .14 21 2211 AA xAxA xC )cm(05. 4 16. 84 .14 6 . 016. 864 .14 21 2211 AA yAyA yC 故所求不等边角钢截面的重心故所求不等边角钢截面的重心C的坐标为（的坐标为（2.05cm2.05cm， 4.05cm4.05cm）。）。 5.6 重重 心心 b. 负面积法负面积法 例例5-7