工程数学-傅里叶变换的性质

1、第三节第三节 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 线性性质线性性质 位移性质位移性质 微分性质微分性质 积分性质积分性质 乘积定理与能量积分乘积定理与能量积分 一一 线性性质线性性质 本节假定需要求傅氏变换的函数总满足傅立叶积分本节假定需要求傅氏变换的函数总满足傅立叶积分 收敛定理的条件，并在证明中不再重复这些条件。收敛定理的条件，并在证明中不再重复这些条件。 , 为常数，为常数， 像原函数的线性性质像原函数的线性性质： 像函数的线性性质像函数的线性性质： 设设 1( ) F w 1 ( ),f t 2( ) F w 2 ( ),ft 1 12 ( )( )F wF w 1 1 ( )F w 1

2、 2 ( ),F w (1.3.2) 则则 12 ( )( )f tf t 1 ( )f t 2 ( ),ft(1.3.1) 二二 位移性质位移性质 像原函数的位移性质像原函数的位移性质： 证证 0 0 () ( ) t t itw fed 令令 0 ( ) iwtiw efed 设设 ( )( ),f tF w 则则 0 0 ()( ) iwt f tteF w (1.3.3) 或或 0 1 0 ( )() iwt eF wf tt 00 ()() iwt f ttf tt edt 0 iwt e ( )f t 同理有同理有 像函数的位移性质像函数的位移性质： 例例1 1设设 0 () 0

3、0 ( )(0), 0 t t ett g t tt 解解设设 0 ( ) 00 t et f t t 则则 0 ( )()g tf tt 所以所以 0 1 0 ()( ) iw t F wwef t (1.3.4) 或或 0 0 ( )() iw t ef tF ww 由上节例由上节例1 1可知可知: : 1 ( ),f t iw 求求 ( )g t ( )g t 0 0 1 () iwt f tte iw 例例2 2设设 0 ( )( )cos(0), t g teu tw t 解解设设 0 ( ) 00 t et f t t 则则 0 ( )( )cosg tf tw t 00 1111

4、 2()2()i wwi ww 求求 ( )g t 由上节例由上节例1 1可知：可知： 1 ( ),f t iw 所以所以 1 ( ) 2 g t 0 1 ( ) 2 iw t f t e 0 ( ) iw t f t e 三三 微分性质微分性质 像原函数的微分性质：像原函数的微分性质： 设设 | | lim( )0 t f t 证证 ( )( ) iwtiwt f t eiwf t edt 同理同理如果如果 ( ) | | lim( )0(0,1,2,1) k t ftkn ( )( ) iwt ftft edt iw ( )f t 则则 ( )ftiw ( )f t (1.3.5) (1.

5、3.6) ( ) ( )() nn ftiw ( )f t 像函数的微分性质像函数的微分性质： 设设 ( )()f tF w 或或 1 ( )( )F witf t 更一般地有更一般地有 ( ) ( ) n Fw ()( ) n itf t (1.3.8) 则则 ( )dF w dw ( )itf t (1.3.7) 例例3 3设设 | | ( )(0), t f tte 解解 22 2 4 () i w w 求求 ( )f t 由上节例由上节例2 2知知 | | 22 2 t e w 所以所以 | | t tei | | 22 2 () t itei w 四四 积分性质积分性质 设设 ( )

6、( ), t g tf t dt 且且lim( )0, t g t 证证 由于由于( )( ),g tf t 且且 | | lim( )0, t g t 利用微分利用微分 性质得性质得 则则 1 ( )g t iw ( )f t (1.3.9) ( )f t ( )g t iw ( )g t 所以所以 1 ( )g t iw ( )f t 例例4 4求解微分积分方程求解微分积分方程 | | ( )( ) t t x tx t dte 解解在方程两边取傅氏变换得在方程两边取傅氏变换得 2 12 ()() 1 iwX wX w iww 即即 22 2 ( ) (1) iw X w w | | |

7、() 22 tt it it ee 设设 ( )( ),x tX w 所以所以 ( )x t 1 ( )X w 1 2 2 () 1w 2 i 五五 乘积定理与能量积分乘积定理与能量积分 乘积定理乘积定理： 则则 1212 1 ( )( )()() 2 f t ft dtF w F w dw 12 1 ( )( ) 2 F w F w dw (1.3.10) 其中其中 12 ( )( )f tft、为实函数。为实函数。 特别当特别当 12 ( )( )( )f tftf t 时，时， 我们有我们有 能量积分能量积分 设设 1( ) F w 1 ( ),f t 2( ) F w 2 ( ),ft

8、 设设 ( )( ),f tF w 22 1 ( )|()| 2 ft dtF wdw (1.3.11) 12 ( )( )f t ft dt 12 1 ( )() 2 iwt f tF w edw dt 的证明：的证明：(1.3.10) 称称(1.3.11)式为帕塞瓦尔等式，式为帕塞瓦尔等式，而称而称 2 ( ) |( )|S wF w 为为( )f t的的能量密度函数能量密度函数( (或或能量谱密度能量谱密度) )。 21 1 ( )( ) 2 iwt F wf t edt dw 21 1 ( )( ) 2 iwt F wf t edt dw 21 1 ( )( ) 2 iwt F wf t edt dw 12 1 ( )( ) 2 F w F w dw 同理可得等式的另一部分。同理可得等式的另一部分。 由于由于 11 ( )( ), iwtiwt f t ef t e 所以所以 12 ( )( )f t ft dt 利用能量积分可以计算一些积分的值。利用能量积分可以计算一些积分的值。 例例5 5计算积分计算积分 2 2 sin