材料力学第七章_1_+概述及平面应力状态分析

1、材 料力学 第第7 7章章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 目目 录录 7- -1 应力状态概述应力状态概述 7-2 7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析主应力主应力 7-3 7-3 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 7-4 7-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系 7-5 7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 7-6 7-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 7-7 7-7 强度理论的应用强度理论的应用 2 cos 2sin 2 一、一点的应力状态一、一点的应力状态 7-1 应力状态的概念应力状态的概念 l TT AB P I T z My

2、I q A l (1) 同一面上不同点的应力各不相同同一面上不同点的应力各不相同; (2) 同一点不同方位面上的应力也不相同。同一点不同方位面上的应力也不相同。 重要结论：重要结论： 一点的应力状态一点的应力状态 过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力 状态。状态。 二、研究应力状态的目的二、研究应力状态的目的 1. 1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题解决复杂应力状态下的强度计算问题 2. 2. 有助于理解和解释某些破坏现象有助于理解和解释某些破坏现象 为什么塑性材料拉伸为什么塑性材料拉伸 时会出现滑移线？时会出现滑移线？ l 为什么脆

3、性材料扭转为什么脆性材料扭转 时沿时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？ F F M 三、应力状态的研究方法三、应力状态的研究方法 任意一对平行平面上的应力相等任意一对平行平面上的应力相等 1 1、单元体特征、单元体特征 2 2、主单元体主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体 单元体的尺寸无限小，单元体的尺寸无限小， 取单元体取单元体 每个面上应力均匀分布每个面上应力均匀分布 3 3、主平面、主平面 切应力为零的截面切应力为零的截面 4 4、主应力主应力 主平面上的正应力主平面上的正应力 说明说明: : 一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体,

4、, 三个相互垂直的面均为主平面三个相互垂直的面均为主平面, , 三个互相垂三个互相垂 直的主应力分别记为直的主应力分别记为 1 1 , , 2 2 , , 3 3 且规定按代数 且规定按代数 值大小的顺序来排列值大小的顺序来排列, , 即即 3 32 21 1 四、单元体的取法四、单元体的取法 FF m m F q x xx MeMe 五五、应力状态的分类、应力状态的分类 1 1、空间应力状态、空间应力状态 三个主应力三个主应力 1 、 2 、 3 均不等于零均不等于零 2 2、平面应力状态、平面应力状态 三个主应力三个主应力 1 、 2 、 3 中有两个不等于零中有两个不等于零 3 3、单向

5、应力状态、单向应力状态 三个主应力三个主应力 1 、 2 、 3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零 回顾补充 什么是什么是应力状态应力状态？ 一点处的应力状态可用围绕该点的一点处的应力状态可用围绕该点的单元体单元体来表示：来表示： 受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合（也即通过一点所有受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合（也即通过一点所有 不同方位截面上应力的全部情况），称为不同方位截面上应力的全部情况），称为一点处的应力状态一点处的应力状态。 单元体各对面上的应力相等（单元体各对面上的应力相等（33）。）。 单元体是由三对互相垂直的平面构成的立方体；单元体是由三对互相垂直的平面构

6、成的立方体； 单元体从宏观上看来要无限小，小到（以至于）单元体各面上的应单元体从宏观上看来要无限小，小到（以至于）单元体各面上的应 力可看做是均匀分布的；力可看做是均匀分布的； 单元体每个面上有三个应力分量（单元体每个面上有三个应力分量（36）；）； 单元体具有单位体积，各面具有单位面积；单元体具有单位体积，各面具有单位面积； 我们用平面图形即正方形来示意作为空间图形的立方体，这个正我们用平面图形即正方形来示意作为空间图形的立方体，这个正 方形就是用来表示平面应力状态的方形就是用来表示平面应力状态的“单元体单元体”。 若单元体有一对平面的应力等于零，那么不等于零的应力分量就若单元体有一对平面的

7、应力等于零，那么不等于零的应力分量就 均处于同一坐标平面内，称为均处于同一坐标平面内，称为平面应力状态平面应力状态。 回顾补充 什么是什么是平面应力状态平面应力状态？ x y z 为什么单元体各面上的应力为什么单元体各面上的应力 就可以代表该点所有不同方就可以代表该点所有不同方 位截面上应力的全部情况呢？位截面上应力的全部情况呢？ 平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示 单元体上有单元体上有 x , x 和和 y , y x y z 7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析 对于图对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与点处以包含与梁的梁

8、的 横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图 b(b(立体图立体图) )和图和图c( (平面图平面图) )，表明，表明A点处于平面应力状态。点处于平面应力状态。 (a) (c) (b) . . 斜截面上的应力斜截面上的应力 图图b中所示垂直于中所示垂直于xy平面平面 的任意斜截面的任意斜截面ef 以它的外法线以它的外法线 n与与x轴的夹角轴的夹角 定义，且定义，且 角角 以自以自x 轴逆时针转至外法线轴逆时针转至外法线n 为正；斜截面上图中所示的正为正；斜截面上图中所示的正 应力应力 和切应力 和切应力 均为正值，均为正值， 即即

9、 以拉应力为正， 以拉应力为正， 以使其以使其 所作用的体元有顺时针转动趋所作用的体元有顺时针转动趋 势者为正。势者为正。 由图由图c知，如果斜截面知，如果斜截面 ef的面积为的面积为dA，则体元左侧，则体元左侧 面面eb的面积为的面积为dAcos ，而，而 底面底面bf 的面积为的面积为dAsin 。 图图d示出了作用于体元示出了作用于体元ebf 诸诸 面上的力。面上的力。 体元的平衡方程为体元的平衡方程为 0sinsindcossind coscosdsincosdd0 AA AAAF yy xxn ， 0cossindsinsind sincosdsincosdd0 AA AAAF yy

10、 xxt ， 需要注意的是，图中所示单元体顶需要注意的是，图中所示单元体顶, ,底面上的切应力底面上的切应力 y 按规定为负值，但在根据图按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程中的体元列出上述平衡方程 时已考虑了它的实际指向，故方程中的时已考虑了它的实际指向，故方程中的 y仅指其值。也正仅指其值。也正 因为如此，此处切应力互等定理的形式应是因为如此，此处切应力互等定理的形式应是 x= = y。 由以上两个平衡方程并利用由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理切应力互等定理可得到以可得到以 2 为参变量的求为参变量的求 斜截面上应力斜截面上应力 ， 的公式：的公式： 2sin2cos

11、22 x yxyx 2cos2sin 2 x yx cos2sin2 22 sin2cos2 2 xyxy x xy x 莫尔圆莫尔圆( (Mohrs circle) ) 将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为 把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去 ，得得 2222 ()() 22 xyxy x 2222 ()() 22 xyxy x 1 1、圆心的坐标、圆心的坐标),(0 0 2 2 yx C 2 2、圆的半径、圆的半径 22 () 2 xy x R 此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆。此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆。 建建 - 坐标

12、系坐标系 , ,选定选定 比例尺比例尺 o 3. 3. 应力圆作法应力圆作法 （1 1）步骤）步骤 x y D x o o 量取量取OA= x AD = x得得 D 点点 x y x A OB= y 量取量取BD= y得得 D 点点 y y D 连接连接 DD两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于 C 点点 以以C为圆心为圆心, CD 为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆该圆就是相应于该单元体的应力圆 (1)该圆的圆心该圆的圆心 C 点到点到 坐标坐标 原点的原点的 距离为距离为 (2)该圆半径为该圆半径为 22 () 2 xy x R D x o o x A y y D

13、（2 2）证明）证明 2 22 2 1 1 2 2 1 1 yx OBOAOBOAOBOC )()( 2222 () 2 xy x CDCAAD 2 2 yx 3.3.应力圆的应用应力圆的应用 （1）求单元体上任一）求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力 从应力圆的半径从应力圆的半径 CD 按方位角按方位角 的转向的转向 转动转动 2 得到半径得到半径 CE. 圆周上圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力 。 D x o o x A y y D F x y a )cos( 2 22 2 0 0 CEOCCFOCOF 2 22 22 22

14、 2 0 00 0 sinsincoscosCDCDOC cos2sin2 22 xyxy x 证明证明 D x o o x A y y D F 2 22 22 22 2 2 22 2 0 00 0 sincoscossin )sin( CDCD CEFE o sin2cos2 2 xy x D x o o x A y y D F 角度的起点角度的起点 点和面的对应关系点和面的对应关系 二倍角关系二倍角关系 转向一致转向一致 D 2 x n （2 2）求主应力）求主应力 主应力数值主应力数值 A1 和和 B1 两点为与主平面两点为与主平面 对应的点，其横坐标对应的点，其横坐标 为主应力为主应力

15、 1 ， 2 22 111 22 max () xyxy x OAOCCA 22 112 22 min () xyxy x OBOCCB 2 D x o o x A y y D F B1 A1 D x o o x A y y D 2 A1 B1 主平面方位主平面方位 由由 CD顺时针转顺时针转 2 0 到到CA1 所以单元体上从所以单元体上从 x 轴顺时轴顺时 针转针转 0 （负值）即负值）即到到 1 对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线 0 2 2 tan() x xy DA CA 0 2 2 tan x xy 1 0 2 2 tan () x xy 0 确定后，确定后， 1 对应的对应

16、的主平面方位即确定主平面方位即确定 （3 3）求最大切应力）求最大切应力 G1 和和 G2 两点的纵坐标分别代表两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力最大和最小切应力 D x o o x A y y D 2 A1 B1 G1 G2 22 1 max () 2 xy x CG 2 2 2 21 1 min max 因为因为最大最小切应力最大最小切应力 等于应力圆的半径等于应力圆的半径 例例7-1 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上上 a , b 两点处的应力圆，并两点处的应

17、力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。用应力圆求出这两点处的主应力。 120 15 15 270 9 z 250KN 1.6m 2m AB C + 200kN 50kN + 80kN.m 解解: : (1) 首先计算支反力首先计算支反力, 并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图 Mmax = MC = 80 kNm FSmax =FC左 左 = 200 kN 250KN 1.6m 2m AB C z I My 4 46 6 3 33 3 10108888 1212 270270111111 1212 300300120120 mm z I mm135 a y dI SF z zS

18、 * 3 3 2560002560005 57 71501501515120120mm).( * za S 120 15 15 270 9 z (2)横截面横截面 C上上a 点的应力为点的应力为 MPa.5 5122122 a z c a y I M MPa. * S 6 66464 dI SF z za a a点的单元体如图所示点的单元体如图所示 a 由由 x ， ， x 定出 定出 D 点点由由 y ， ， y 定出 定出 D 点点 以以 DD为直径作应力圆为直径作应力圆 C （3)3)做应力圆做应力圆 x =122.5MPa， ， x =64.6MPa y=0， ， y =-64.6MPa A B (122.5 , 64.6) D (0 , - 64.6) A1 A2 A1，A2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代 表表 a 点的两个主应力点的两个主应力 1 和和 3 MPa MPa 2 27 7 1 15 50 0 2 22 2 1 11 1 OA OA A1 点对应于单元体上点对应于单元体上 1 所在的主平面所在的主平面 0 0 452 0 0 5 .22 MPa MPa 2 27270 0150150 3 31 1 5 52222 0 0 . a 12