工程硕士-高等工程数学-概率统计5

1、第五章第五章 极限定理极限定理 一、问题的提出 2 12 . .,. nii r v XXXEXDX 若独立同分布, 2 1 1 ,. n i i XXEXDX nn 记则 n i i X n 1 1 n 1、“平均”结果一般具有稳定性！ ()真值 如何刻画这种稳定趋势？ 1 1 2 n i i XX n 、有什么样的极限分布？ 如何刻画这些极限分布？ 二、大数定律 Chebyshev不等式 2 . .,0, |. r v XEXDX DX PXEX 若数学期望和方差存在 则对有 2 ()1. DX P XEX 或 1 10, lim |0. nn n n XX PXX 定义 ：若随机变量 及

2、序列,对有 . n XX则称依概率收敛于 . . p n XX 记 lim |1. n n PXX 1 . 1 21,; 1 ()0, nnn n p kk k XnEX XEX n 定义 ：若随机变量序列,对存在 且 . n X则称服从大数定律 11 11 lim|0. nn kk n kk PXEX nn 1 2 1 1()1, 1 ;0, nn n n nk k MarkovXn DXDX n 定理：若随机变量序列,对 存在 且. n X则称服从大数定律 11 11 0| nn kk kk PXEX nn proof： 22 1 1 n k k DX n 1 2(), sup, nn n

3、 n ChebyshevX DXC 定理：若随机变量序列两两不相关 . n X则称服从大数定律 proof： Markov 条件： 2 1 1 0. n n nk k DXDX n 存在,且 Markov 只须验证条件即可. 1 n k k DX 1 cov(,) n kij kij DXXX 1 n k k DX 22 1 1 n k k nC DX nn . 3() ,. n p n BernoullinA App n 定理：记为 重贝努利试验中 发生的次 数,其中每次试验 发生的概率为则 proof： 1, 0 i iA X iA 第 次试验 发生, 记 ， 第 次试验 没发生. 1 n

4、 ni i X ; i EXp i DXpq 1 . 4 1 4() , nn n KhinntchineX EX 定理：若随机变量序列相互独立 同分布有限. n X则称服从大数定律 有没有大数定律,要验证相应的条件！ 几个著名的大数定律几个著名的大数定律 cov(,)0,; ij i XXij DXC ( , ) n B n p 名 称 条 件 结 论 马尔科夫 切比雪夫 伯 努 利 辛 钦 1)(lim nn n XEXP0)( 1 lim 1 2 n i i n XD n 1)(lim nn n XEXP 1)(lim p n P n n 1)(lim n n XP (1) . . .

5、i i Xiii d EX 1 n n X X 例：若有如下分布列,且它们两两不相关, 问是否服从大数定律？ n Xna 0 na P 2 1 2n 2 1 1 n 2 1 2n 0 n EX 2 nn DXEX 2222 22 22 n an a nn 2 .a Chebyshev大数定律 三、中心极限定理 1 1 n i i X n 讨论的渐近分布律！ LindbergLevy中心极限定理： 1 2 ,. nn nn X EXDX 设随机变量序列独立同分布,有有限期望和 方差 1 n k k n Xn Y n 记，( ). nn F xP Yx且 lim( )lim nn nn F xP

6、Yx 则 2 1 2 1 . 2 xt edt (0,1) n YN 近似 即； 2 1 (,). n k k XN nn 近似 或 230(0.1), 130,. i XE i 例 ：设个同样电子元件的寿命其中 替换使用求系统寿命超过350小时的概率. 解： i EX10, i DX100. 30 1 i i XX 系统寿命 30 1 350350 i i P XPX 30 1 300 350300 30 10030 100 i i X P 2 1 (,) n k k XN nn 近似 5 1() 30 1(0.916) 0.1815. 应用步骤： 1; n X、明确满足条件的独立同分布的随

7、机变量序列 2; nn EXDX、计算及 2 1 1 2 1 3lim 2 ; n ii xt i n i XnEX Pxedt nDX 、由公式 计算相关概率 1 4. n ii i i ii bnEXanEX P aXb nDXnDX 、 De MoivreLaplace 中心极限定理： ( , ),1,2, n YB n p n 设则 x t n n dtex pnp npY P 2 2 2 1 ) )1 ( (lim x (). (1)(1) n bnpanp P aYb nppnpp 亦即 0.4, 0.24.1000380420 练习：每次炮击中,炮弹命中颗数的期望为方差 为求次炮击中有颗击中目标的概率. 1, 0 i i X i 第 次击中, 记 ， 第 次没击中. 1000 1 380420 i i PX 31000010 1 2000.40000 1000 例 ：若有人买某保险,每人保费元,事故率 ,赔偿金求该险种获利不小于的概率. 解： 1, 0 i