复变函数第八章-1

1、第八章 傅立叶变换 8.1 傅立叶变换的概念 8.2 单位脉冲函数( 函数 ) 8.3 傅立叶变换的性质 本章内容本章内容 积分变换积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函通过积分运算，把一个函数变成另一个函 数的变换，一般是含有参变量数的变换，一般是含有参变量的积分的积分 b a dttKtfF),()()( l 实质实质：把某函数类：把某函数类A中的函数中的函数f(t)通过上述积分运算变成通过上述积分运算变成 另一函数类另一函数类B中的函数中的函数F() . lK(t,)是一个确定的二元函数，称为是一个确定的二元函数，称为积分变换的核积分变换的核. 当选取当选取 不同的积分域和变换核

2、时，就得到不同名称的积分变换不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换. lf(t)称为称为象源函数象源函数; lF( )称为的称为的象函数象函数. l傅立叶变换傅立叶变换 l拉普拉斯变换拉普拉斯变换 u最常用的两类积分变换最常用的两类积分变换 8.1 8.1 傅立叶变换的概念傅立叶变换的概念 8.1.1 8.1.1 傅里叶级数傅里叶级数 定理定理8.1 设设 是以是以T为周期的实值函数，且在为周期的实值函数，且在 上满足狄里克雷条件上满足狄里克雷条件(简称狄氏条件简称狄氏条件)，即，即)(tfT 上满足上满足: (1) 连续或者只有有限个第一类间断点连续或者只有有限个第一类间断点; (

3、2) 只有有限个极值点只有有限个极值点. 则在则在)(tfT的连续点处有的连续点处有 1 00 0 )sincos( 2 )( n nnT tnbtna a tf (8.1) 定理定理8.1 在在 )(tfT T T , 2 2 T T , 2 2 其中其中 傅里叶级数的傅里叶级数的三角形式三角形式 T 2 0 2 2 0 cos)( 2 T TTn tdtntf T a 2 2 0 sin)( 2 T TTn tdtntf T b (n=0，1，2，) (n=0，1，2，) 在间断点在间断点t0处，处，(8.1) 式左端为式左端为 )0()0( 2 1 00 tftf TT l根据欧拉公式可

4、知根据欧拉公式可知(其中其中 )：1j )( 2 1 cos 00 0 tjntjn eetn )( 2 sin 00 0 tjntjn ee j tn 代入代入(8.1)式得式得 1 0 00 222 )( n tjn nn tjn nn T e jba e jbaa tf 令令 ), 2, 1( 2 , 2 , 2 0 0 n jba c jba c a c nn n nn n 可得可得 n tjn nT ectf 0 )( (8.2) (8.3), 2, 1, 0()( 1 2 2 0 ndtetf T c T T tjn Tn 这里系数这里系数 既可直接由既可直接由(8.3)式以及函数

5、族式以及函数族 的的 正交性正交性得到，也可根据得到，也可根据 与与 的关系，以及的关系，以及 的的 计算公式得到，且计算公式得到，且 具有唯一性具有唯一性. tjn e 0 n c nn ba , nn ba , n c n c 傅里叶级数的傅里叶级数的指数形式指数形式 傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的物理意义 22 0 0 , 2 nnn a AAab cos, sin(1, 2,) nn nn nn ab n AA 则则(8.1)式变为式变为 000 1 00 1 ( )(coscossinsin) cos() Tnnn n nn n ftAAntnt AAnt u如果如果 代表信号，则

6、上式说明，代表信号，则上式说明，一个周期为一个周期为T的信号可以分的信号可以分 解为简谐波之和，这些谐波的角频率分别为基频解为简谐波之和，这些谐波的角频率分别为基频 的倍数的倍数， 0 )(tfT l 反映了频率为反映了频率为 的谐波在的谐波在 中所占的份额，称为中所占的份额，称为振幅振幅; 0 n)(tfT l 则反映了频率为则反映了频率为 的谐波沿时间轴移动的大小，称为的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位相位. n 0 n n A 令令 n 这两个指标完全刻画了信号这两个指标完全刻画了信号 )(tfT 的性态的性态. 其中：其中： 图图8.1 由由 nnn bac,的关系可得的关系可得(图图

7、8.1) 00 Ac nnn cc argarg 22 1 22 n nnnn A ccab (n=1，2，) 可见复数可见复数 的模与辐角正好反映了信号的模与辐角正好反映了信号 中频率为中频率为 的简谐波的振幅与相位，因此仅由系数的简谐波的振幅与相位，因此仅由系数 就可以完全刻画信就可以完全刻画信 号号 的频率特性的频率特性. n c)(tfT 0 n n c )(tfT n c离散频谱离散频谱 )(tfT n c离散振幅谱离散振幅谱 离散相位谱离散相位谱 对周期函数对周期函数 arg n c 为了进一步明确为了进一步明确cn与频率与频率n 0的对应关系，常记的对应关系，常记 n cnF)(

8、 0 【例【例8.1】求以】求以T为周期的函数为周期的函数 )(tfT 0,20 2,02 Tt tT 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式. 解解: 令令 T2 0 当当n=0时，时， 2 2 2 0 0 12 1 )( 1 )0( T T T T dt T dttf T Fc n j e n j e n j dte T dtetf T nFc jn T jnT tjn T T tjn Tn 2 0 ) 1( ) 1( 2 )( 1 )( 2 2 0 2 2 0 0 0 0 当当n0时，时， 当当n为偶数为偶数 当当n为奇数为奇数 )(tfT的傅里叶级

9、数的复指数形式为的傅里叶级数的复指数形式为 n tnj T e n j tf 0 )12( ) 12( 2 1)( 振幅谱为振幅谱为 相位谱为相位谱为 ,.5, 3, 1 2 .5 , 3 , 1 2 00 )(arg 0 n n n nF ,.3, 1 2 ,.4, 20 .01 )( 0 n n n n nF 8.1.28.1.2傅氏积分与傅氏变换傅氏积分与傅氏变换 傅里叶积分公式傅里叶积分公式 任何非周期函数任何非周期函数)(tf都可看成是由某个周期函数都可看成是由某个周期函数 )(tfT 当当T时转化而来的。时转化而来的。 即即 )()(limtftfT T 因此，在傅里叶级数的指数表

10、达式中令因此，在傅里叶级数的指数表达式中令 T ，可得，可得 n tjn T T jn T T T T edef T tftf 00 2 2 )( 1 lim )(lim)( 可知，当可知，当 时，有时，有 ，所以，所以0 0 1 ( )lim( ) 2 nn jj T n f tfede 这是一个和式的极限，按照积分定义，在一定条件下，上这是一个和式的极限，按照积分定义，在一定条件下，上 式可以写为式可以写为 dedeftf tjj )( 2 1 )( 由此得到下面的定理由此得到下面的定理. T 将间隔将间隔 0记为记为 ，节点，节点n 0记为记为 n，并由，并由 0 22 T 定理定理8.

11、2(8.2(傅氏积分定理傅氏积分定理) ) 如果如果f(t)在在(- ,+ ) 上的任一有限区间满足狄氏条件，且上的任一有限区间满足狄氏条件，且 在在(- ,+ )上绝对可积上绝对可积(即即 ) ( )f t dt ，则有，则有 dedeftf tjj )( 2 1 )( (8.4) 成立成立, 而而左端的左端的f(t)在它的间断点在它的间断点 t 处处, 应以应以 )0()0( 2 1 tftf 来代替。来代替。 傅里叶积分公式傅里叶积分公式，简称，简称傅氏积分傅氏积分. . l(8.4)式是式是 的傅氏积分公式的复指数形式，利用欧拉公的傅氏积分公式的复指数形式，利用欧拉公 式，可将其化为三

12、角形式。式，可将其化为三角形式。 )(tf ddtf tf 0 )(cos)( 1 )( 傅氏积分公式的傅氏积分公式的三角形式三角形式)(tf 2 2傅里叶变换傅里叶变换 若函数若函数 满足傅氏积分定理中的条件，则在满足傅氏积分定理中的条件，则在 的连续点的连续点)(tf 处，便有处，便有 dedeftf tjj )( 2 1 )( (8.4) 设设 dtetfF tj )()( (8.5) 则则有有 deFtf tj )( 2 1 )( (8.6) )(tf u(8.5)式式 )(tf的的傅氏变换式傅氏变换式，记为，记为)()(tfFF )(F叫做叫做 )(tf的的象函数象函数。 u (8.

13、6)式式)(F的的傅氏逆变换式傅氏逆变换式，记为，记为 )()( 1 Ftf - F )(tf叫做叫做)(F的的象原函数象原函数。 u 上面两式中的广义积分是柯西意义下的主值，在上面两式中的广义积分是柯西意义下的主值，在 的的)(tf 间断点处，间断点处，(8.6)式左端应为式左端应为 . (0)(0) 2f tf t u 与与 构成一个傅氏变换对构成一个傅氏变换对.)(tf)(F (8.6)式说明非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同式说明非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同 频率的正频率的正/余弦分量合成的，所不同的是，非周期函数包含了余弦分量合成的，所不同的是，非周期函数包含了 从

14、零到无穷大的所有频率分量从零到无穷大的所有频率分量. )(F l傅氏变换的物理含义傅氏变换的物理含义： 频谱密度函数频谱密度函数(简称频谱或者连续频谱简称频谱或者连续频谱) 振幅谱振幅谱( )F arg 相位谱相位谱 )(F n 是是 中各频率分量的分布密度，因此称中各频率分量的分布密度，因此称)(F )(tf 【例【例8.2】求矩阵脉冲函数】求矩阵脉冲函数 t t tf , 0 , 1 )( 的傅氏变换及傅氏积分表达式的傅氏变换及傅氏积分表达式. ( ( )( )( ) j tj t f tFf t edtedt F 解解: 振幅谱为振幅谱为 sin ( )2F 2(21) 0, arg(

15、) (21)(22) , nn F nn 相位谱为相位谱为 .2, 1 ,0n )0( 11 () sinsin 22 j tjj eee jj )(tf 再根据再根据(8.6)式式(注意其中断点的取值注意其中断点的取值)可得傅氏逆变换，即可得傅氏逆变换，即 的傅氏积分表达式为的傅氏积分表达式为 112sin ( )( ) 22 j tj t f tFeded 上式中令上式中令t =0可得重要积分公式可得重要积分公式 0 2 sin dx x x 1 1 2 0 t t t 0 2sin cos td 12sin2sin cossin 22 j tdtd 【例【例8.3】已知】已知)(tf的频谱为的频谱为 0 ( ) 1 F )0( 解解: 记记 , 则则 , 当当t =0时时, 定义定义 . t t tSa sin )( )()f tSat (0)f 信号信号 () a Sat (或者或者 )称为称为抽样信号抽样信号，由于它具有非常特，由于它具有非常特( )Sa t 殊的频谱形式，因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号殊的频谱形式，因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号 的恢复以及信号滤波中发挥了重要的作用，其图形如图的恢复以及信号滤波中发挥了重要的作用，其图形如图8.4所示所示. 求：求：)(tf 如图如图8.48.4 1 1 ( ) ( )( ) 2 j t f t