材料力学应力和应变之间的关系

1、一、一、各向同性材料的各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律 7-4 应力与应变之间的关系 dx dy dz txy txz sx tyx sy tyz txy sz tzxtxy sx t xz tzy sz tzx tyx sy tyz dx dy dz sx sy sz sx sz sy dx dy dz txy txz tyx tyz txyt zxtxy t xz tzy tzx tyx tyz 线弹性和小变形线弹性和小变形 x E x x s E y s E z s )( 1 zyx E sss x y z y z )( 1 zyxx E sss )( 1 zxyy E sss )

2、( 1 yxzz E sss )()1( )21)(1 ( zyxx E s )()1( )21)(1 ( zxyy E s )()1( )21)(1 ( yxzz E s 广义胡克定律广义胡克定律 xyxy G t 1 yzyz G t 1 zxzx G t 1 dx dy dz txy txz tyx tyz txyt zxtxy t xz tzy tzx tyx tyz )( 1 yxx E ss )( 1 xyy E ss )( yxz E ss )()1( )21)(1 ( zyxx E s )()1( )21)(1 ( zxyy E s 0 z s 平面应力状态平面应力状态 xyx

3、y G t 1 s y x sx s tx t ty y tx s y )( 1 yxx E ss 说明：说明： 1）x 和和 y 必须是两个互相垂直的方向；必须是两个互相垂直的方向； 2）括号中的第一项必须是与）括号中的第一项必须是与 x 同方位的正应力，同方位的正应力， 而第二项而第二项中的应力必须是与中的应力必须是与 x 垂直的方位上的垂直的方位上的 正应力；正应力； 3）上述公式同样适用于其它方位的应力状态。）上述公式同样适用于其它方位的应力状态。 s y x sx s tx t ty y tx s y s y x sx s tx t ty y tx s y 解：解：1）求）求C点所在

4、截面上的内力点所在截面上的内力 S 75kN 0.2518.75kNm 22 FF FM 500mm500mm F 250mm h/4 h z b t t 例例 工字钢梁的截面尺寸如图所示，已知工字钢梁的截面尺寸如图所示，已知h=180mm， b=94mm，t=10.7mm，d=6.5mm。F=150kN，E=210GPa， =0.3，Iz=16.59106mm4。试求。试求C点处的线应变点处的线应变0 、 45和和90。 C d 2）取）取C点的应力状态点的应力状态 z I My s MPa86.50 6 6 1059.16 451075.18 注意 和 的方向！ 500mm500mm F

5、250mm h/4 h z b t t C d Sz z F S bI t 6 3 1059.165 . 6 989971075 MPa85.68 3 3）求线应变）求线应变 E s 0 86.50 y0！ 94 10.7 (90 10.7/2) z S 500mm500mm F 250mm h/4 h z b t t C d ) 2 7 .1045 45()7 .1045(5 . 6 =98997mm3 3 10210 4 1042. 2 242 x yx t ss s 2 45 x yx t ss s 2 45 )( 1 454545 ss E 45 s y x sx s t t t t

6、s y s 45 s s t s 45 -45 -45 45 90 54 1026. 71042. 23 . 0 y0！ 0 45 4 3 1011. 5)42.43(3 . 028.94 10210 1 非45角时！ 2 s 2 86.50 -45 45 45 45 st85.68MPa28.94 2 s 2 86.50 45 st85.68MPa42.43 E 1 45 (s) 45 s x x y 45 测得测得0（x）、45（45）和和90（y） ) 2 ( 1 45 t yx x E ) 2 ( 1 45 yx x E t )( 1 2 yxx E s )( 1 2 xyy E s

7、x x y 45 解：解：1）取）取a点的应力状态点的应力状态 注意 和 的方向！ A F s E s 0y0！ 2）求）求F 2 4 d F P W T t 3 16 d T 2 4 dE F T T FF 例例 一钢制圆杆受拉扭组合作用，如图所示，已知直径一钢制圆杆受拉扭组合作用，如图所示，已知直径 d=200mm，E=200GPa，=0.30。已测得圆轴表面。已测得圆轴表面 上上a点处的线应变为点处的线应变为0=500， 45=400。 0 45 a 试求试求F和和T之值。之值。 2632 0 2001050010200 44 dEF kN1 .314 3）求）求T t s s 2 45

8、 t s s 2 45 )( 1 454545 ss E 非45角时！ t s EE2 1 2 1 -45 45 45 计算计算的解法二：的解法二： 已知：已知：0=500， 45=400 090 5003 . 0150 ) 2 ( 1 45 900 t E 6 3 10)400 2 150500 ( 3 . 01 10200 =-34.6MPa 解：解： z I My s 2 4545 s ss -45 45 )( 1 454545 ss E s E2 1 l dl E d 2 1 s AB l AB ld AB l l E d 2 1 s y MM 45 a B A 例例 图示纯弯梁，已知

9、外力为图示纯弯梁，已知外力为M，横截面对中性轴的惯，横截面对中性轴的惯 惯性矩为惯性矩为Iz，材料弹性常数为，材料弹性常数为E、，试求线段，试求线段AB 的长度改变量的长度改变量lAB。 dl 45 AB ld AB l MM 45 a B A y AB l AB l E ld 2 1 s z I My s E lAB 2 1 a z ll EI M 0 d 4 )1 (2 z EI Ma 8 )1 (2 2 a z l I My 0 d a z l I M E 0 d 2 1 ) 2 2 (l 二、二、各向同性材料的各向同性材料的体积应变体积应变 1 2 3 V V 321 )( 21 32

10、1 sss E 要使一点的体积应变为要使一点的体积应变为 零，必须使该点处的三个主零，必须使该点处的三个主 应力之和为零。应力之和为零。 t t t t tss 31 0 2 s 321 21 sss E 0 s 2 1 v 1 2 3 )( 2 1 332211 sss v )(2 2 1 133221 222 321 sssssssss E 7-6 空间应力状态下的应变能密度 V V v d d 单位体积的应变能单位体积的应变能 一、应变能密度一、应变能密度 1 2 3 m m (1) )( 3 1 321 ssss m )( 21 3121111 sss E m E s 3 21 sss )( 21 321 E )( 21 321 sss E )( 21 3222122 sss E =0 二、形状改变比能二、形状改变比能 (2) 22 sss m 11 sss m 33 sss m 形状改变形状改变 体积改变体积改变 mm s 2 3 1. 1. 体积改变比能体积改变比能 m m )( 3 1 321 ssss m )( 2 1 3322