人教版高中数学《正四面体》课堂实录

1、课堂实录（一）情景引入:师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它是一种特殊的正三棱锥底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果:（二）、知识碰闯；万天平(学生):我们组得到的性质如下：、它们6条棱均相等；、相邻棱的夹角为；（、这两条性质比较简单就不用证明） 、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直） 证明：因为e、f为bc与pa的中点连接ef如图所式：可

2、证pe=ae=，f为pa的中点efpa，同理可证efbc；所以ef为pa，bc的公垂线。pe=，pf=由勾股定理可得ef=（运用了线与面垂直的判定定理和性质定理）证明：作pebc于e点且为bc的中点，连接ae，如图所式：可证aebcbc面paebcpa即对棱互相垂直 pabcef 、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为（以下把正四面体的边长设为a）。由射影面积法：、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为 pabcefo、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为容易知道侧棱与底面所成的角相等，pao为pa与底面abc所成的角。可求ao=，pa=a，po面abc即poao；在r tpao中,cospao=、相邻

3、两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。（由于时间关系，同学们下来做）例1：已知s-abc为正四面体，且e、f、g、h分别为四 面体的四个面的中心； （1）、求证：四面体efgh为正四面体； （2）、求 （3）、求 廖红菊（学生）：我们组得到的性质是：、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：分别取bc、pa的中点d、e，连结de，则de为pa、bc的公垂线段，且与高的交点o是外接球的球心，连结ao、ad。 在中，由于可得，所以，于是外接球的半径 师：非常好！你在这个推导过成中，还可以得到什么样的结论？ 廖红菊：（思考片刻）可以算出长度。= 师：对也就得到顶点到底面的距

4、离为；请问正四面体内任意一点到四个面的距离为多少？（培养学生的空间想象能力及猜想能力） 学：为一个定值。 师：这个定值是多少？ （思考片刻后）几个学生：为。 师：正四面体内任意一点到四个面的距离为一个定值且为 师：其实求正四面体的外接球的半径与正四面体棱长关系除了用刚才这位同学的证明方法外，还可以用补形的方法更简单：把正四面体补成一个正方体，正四面体的边长为正方体面对角线，而球的直径为正方体的体对角线。也就求出外接球的半径。（学生恍然大悟后）老师：既然有外接球那么就有学：内切球。师：内切球的半径为多少？（环视班级，看没有同学上来讲）师：设内切球的半径为r，球心为，在这个证明过程用了什么方法？学：等体积法；既第九个性质：、正四面体的内切球的半径与正四面体棱长的关系是：谢朝培（学生）：我们组得到的性质是：、正四面体的表面积s=；正四面体的体积v=；顶点到底面的距离为；、正四面体的体积等于相应正方体体积的；正四面体的高等于相应正方体体对角线的。师：正四面体与正方体是立体几何中较特殊内涵较丰富的几何体且二者有着密切不可分的联系。我们在解题时要运