概率论与数理统计作业2

1、第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次， 事件 A, B, C 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面” 。试写出样本空间及事件 A,B,C 中的样本点。解：正正、正反、反正、反反A 正正、正反 , B 正正 , C 正正、正反、反正2. 设 P(A)1 ， P(B) 1 ，试就以下三种情况分别求 P( BA) ：32（1） AB，（2） AB ，（3） P( AB)18解:（1） P(BA)P(BAB)P(B)P( AB)P( B)0.5（2） P(BA)P(BAB)P( B)P( AB)P( B)P( A)0.51/31/ 6（3） P(BA)P(B

2、AB )P(B)P( AB )0.50.1250.3753. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解:记 H表拨号不超过三次而能接通。Ai 表第 i 次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。HA1A1 A2A1 A2 A3三种情况互斥P(H )P(A1)P( A1)P( A2 | A1)P(A1)P(A2 | A1)P( A3 | A1A2)191981310109109810如果已知最后一个数字是奇数 （记为事件 B）问题变为在 B 已发生的条件下，求 H再发生的

3、概率。P(H | B)PA1 | BA1A2 | BA1A2 A3 | B)P( A1 | B)P( A1 |B)P( A2 | BA1)P( A1 |B)P( A2 | BA1 )P(A3 |BA1A2 )141431355454354进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为错误 ! 未找到引用源。，试求以下事件的概率：（1）直到第 r 次才成功；（2）在 n 次中取得 r (1rn) 次成功；解: (1) P (1 p) r 1 p(2)P C nr p r (1 p) n r5. 设事件 A，B 的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种： （a）必然对，（b）必然错，（c）可能对

4、也可能错，并说明理由。（1）若 A，B 互不相容，则它们相互独立。（2）若 A 与 B 相互独立，则它们互不相容。（3） P( A)P(B)0.6 ，则 A 与 B 互不相容。（4） P( A)P(B)0.6 ，则 A 与 B 相互独立。解: (1)b,互斥事件 , 一定不是独立事件(2)c,独立事件不一定是互斥事件 ,(3)b,P( AB) P( A) P(B) P( AB) 若 A 与 B 互不相容 , 则 P( AB)0 ,而 P(A B)P( A)P(B) P( AB) 1.2 1(4)a,若 A与 B相互独立 ,则 P(AB)P( A) P(B) ,这时 P(AB) P( A) P(

5、 B) P( AB) 1.20.360.846. 有甲、乙两个盒子，甲盒中放有3 个白球， 2 个红球；乙盒中放有4 个白球，4 个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：(1) 从乙盒中取出的球是白球的概率；(2) 若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。解: (1)记 A1， A2 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记 B 表“再从乙袋中取得白球” 。 B=A1B+A2B 且 A1， A2 互斥P (B)=P (A1)P(B|12234124=A )+ P(A )P(B| A ) =2441324431(2)7. 思考题：讨论对立、

6、互斥（互不相容）和独立性之间的关系。解: 独立事件不是对立事件 , 也不一定是互斥事件 ; 对立事件是互斥事件 , 不能是独立事件 ; 互斥事件一般不是对立事件 , 一定不是独立事件 .第二章随机变量及其概率分布1. 设 X 的概率分布列为：Xi0123Pi0.10.10.10.7F(x) 为其分布的函数，则F（2）=？解: F (2)P X2P X0 PX 1 PX20.3c,x1; 则常数 c 等于？2设随机变量 X 的概率密度为 f ( x)= x20,x1,解: 由于cdx1cdx c 1, 故 c 1x2x23. 一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为

7、 0.6 ，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？解: (1)P X2C50.23042 0.62 0.43(2)P X31 PX4 PX5 1C54 0.64 0.40.650.66304(3)P X3PX 1PX 2P X3 C51 0.60.44C52 0.62 0.43C53 0.630.42=0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)PX 1 1 PX 0 10.450.989764

8、. 设随机变量 K 在区间 (0,5)上服从均匀分布 ,求方程 4 x2 + 4Kx + K +2 = 0有实根的概率。解: 由16k 24 4 (k 2) 16k 216k 32 0 可得 : k1, k 2所以PK2255. 假设打一次电话所用时间（单位：分） X 服从 0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭， 试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（2）10 分钟 到20 分钟的概率。解:X f ( x) 0.2e 0.2 x , x0P X101P X1011011e 2e 20.2e 0.2 xdx0P10X20200.2e 0 .2 x dxe 2e 4106.随机变

9、量 XN (3,4),(1)求 P(2X 5) ,P(- 42),P(X3)；（2）确定 c，使得 P(Xc) = P(Xc)。解: P2X5(53)(23)(1)(0.5)(1)1(0.5)220.841310.6915 =0.5328P4X10(103(43(3.5)( 3.5)2(3.5)1 1)2)2P X21P X2123)(231(0.5)( 2.5)(22)=(1(0.5)1(2.5)10.99380.69150.69771P X31P X31( 33)10.50.52P X c 1 P X c 1( c 3) P X c( c 3)22所以(c 3) 0.5故 c 327设随机

10、变量 X 与 Y 相互独立，且 X，Y 的分布律分别为X01Y12P13P234455试求：（1）二维随机变量（ X，Y）的分布律；（2）随机变量 Z=XY的分布律 .解:XY1200.10.1510.30.45Z012P0.250.30.458. 思考题 : 举出几个随机变量的例子。第三章多维随机变量及其概率分布1. 设盒子中有 2 个红球， 2 个白球， 1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X表示取到的红球个数，用Y 表示取到的白球个数，写出(X, Y)的联合分布律及边缘分布律。解:XY0120000.1100.40.220.10.202. 设二维随机变量 ( X ,Y) 的联合分布律为

11、：Y012试根椐下列条件分别求a 和 b 的值；X(1)P( X1)0.6 ；00.10.2a(2)P( X1 |Y2) 0.5 ；10.1b0.2(3)设 F (x) 是 Y 的分布函数， F (1.5)0.5。解: (1)P X1 0.1b0.2 0.6 , b0.3(2)PX 0P X1,1P X10.40.3 a, a0.11 PX 03.( X、Y ) 的联合密度函数为： f ( x, y)k ( xy)0x 1, 0 y10其他求（ 1）常数 k；（2）P(X1/2,Y1/2) ；(3) P(X+Y1) ；(4) P(X1/2)。解: (1)11y) dxdy k 1 , 故 k

12、1f (x, y)dxdyk( x00(2) P X1 , Y111122 ( xy)dxdy22008(3)(4)11x1PX Y1(x y)dxdy00311132p X0(xy)dxdy2084 ( X、 Y) 的联合密度函数为：kxy 0 x 1, 0y xf ( x, y)其他0求（ 1）常数 k；（2）P(X+Y1)；(3) P(X1/2)。解: (1)1xkf ( x, y)dxdykxydxdy200112(2)P XY11 y2xydxdy0 y24(3)11x12p X02xydxdy20641, 故 k25. 设 (X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与 Y 的边缘密

13、度函数。f (x, y)1yx,2(1 x 2 )(1 y 2 )解:f X (x)f ( x, y)dy1dy12(12)(122)xy)(1 xf Y ( y)f (x, y) dx1dx12(1x2)(1y2)(12)y6. 设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求X 与 Y 的边缘密度函数。e x0 yxf (x, y)其他0解: f X ( x)xxdyxe x , (0 xf ( x, y) dye)0f X ( x)f (x, y) dxe x dxey , (0y)y7. (X, Y) 的联合分布律如下，试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值；Y123(1)P(Y1)1/3；X

14、(2)P( X1| Y2)0.5 ；11/61/91/18（3）已知 X 与 Y 相互独立。ab1/91 , a2解: (1)PY1a11636(2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/188.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c，并讨论 X 与Y 是否相互独立？f (x, y)cxy20 x1, 0y10其他11c1,c=6f (x, y) dxdycxy2dxdy解:00612 dy2x ,12dx 3 y2f X ( x)f (x, y) dy6 xyfY ( y)f ( x, y)dy6xy00f X ( x)fY ( y)f ( x, y) , 故 X与Y相互

15、独立 .9. 思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？解: 联合分布可以得到边缘分布 , 反之不真 .第四章 随机变量的数字特征1盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取3 个，用 X表示取到的红球的个数，则 EX是： B（A）1；（B）1.2 ；（C）1.5 ；（D）2.2. 设 X 有密度函数： f (x)3x 22 x4 ,求 E(X ), E(2X1), E( 12), 并求 X80其他X大于数学期望 E( X) 的概率。 ( 该题数有错 )解:E(X)4x3x 23x44152dx83222E(2X1)4( 2x3x2dx3x413)4821)(x816821)413x 2dx

16、141E(x28x4X 2282P( XE(X )P( X7.5)1P( X7.5)14 3x21 7628dx3. 设二维随机变量 ( X ,Y) 的联合分布律为Y012X00.10.2a10.1b0.2已知 E(XY )0.65 ，则 a 和 b 的值是： D（ A）a=0.1, b=0.3 ； （B）a=0.3, b=0.1 ； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15,b=0.25 。4设随机变量 (X, Y)的联合密度函数如下：求 EX , EY , E( XY 1) 。xy0x1, 0y 2f (x, y)其他012xydxdy12 dx22E(X )xxydy解：00

17、00312122 dy4E(Y)y xydxdyxdxy00003E (XY 1)5设 X 有分布律： X0123P0.10.20.30.4则E(X22 X3)是：D（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.6. 丢一颗均匀的骰子，用 X表示点数，求 EX , DX .解： X的分布为P( Xk)1 , k1,2,3,4,5,66E(X) 1 121314 15 161 21766666662E(X2) 1 12213214215216 21 916666666D(X ) E(X 2) (E(X)21967. X 有密度函数： f ( x)(x1)/40x2，求 D(X).0其他x x 1 dx

18、解： E(X )27，E(X2)2x 2 x 1 dx5046043D(X ) E(X 2) (E(X)25(7)2118.设X,YB(3,3636:P0.6) , 相互独立，则E( X2Y), D(X 2Y)的值分别是：(2)（A）-1.6和 4.88 ； （B）-1和 4； （C）1.6 和 4.88 ； （D）1.6 和-4.88.解: A9. 设 X U (a, b), Y N (4, 3) ， X 与 Y 有相同的期望和方差，求 a,b 的值。（A）0 和8；（B）1和7； （C）2 和6； （D）3 和5.解: B10下列结论不正确的是（）（A） X 与 Y 相互独立，则 X 与

19、Y 不相关；（B） X 与 Y 相关，则 X 与 Y 不相互独立；（C） E(XY)E(X )E(Y) ，则 X 与Y 相互独立；（D） f (x, y)f X (x) f Y ( y)，则 X 与Y不相关；解: B11若 COV ( X ,Y ) 0 ，则不正确的是（）（A） E( XY)E(X )E(Y) ；（B） E( X Y) E(X )E(Y) ；（C） D(XY)D(X)D(Y) ；（D） D(X Y) D(X)D(Y) ；解:D12（ X ,Y ）有联合分布律如下，试分析X 与Y 的相关性和独立性。Y-101X-11/81/81/801/801/811/81/81/8339而PX

20、1解: 由于 PX 1 ?PY 18641,Y188所以 X 与Y不独立.由于 E(X )0,E(Y) 0, E( XY ) 0,所以0, X 与Y不相关13 E( XY)E(X)E(Y) 是 X 与 Y 不相关的（ B）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。14.E(XY)E( X )E(Y) 是 X 与 Y 相互独立的（ A ）（ A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。15. 思考题：（ 1） 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证 X 与Y不相关，但不独立。f (x, y)21x 2 y / 4x2y 1

21、0其他解: E(X )1x2 x21x2y dxdy0E(Y )1x 2 y 21x2y dxdy71111449E(XY)12 xy21x2y dxdy0,0, 不相关11x4121x 2 y21x 2 (1x2 )f X ( x)x24dy8,1x105y21x 2 y7 y 2f Y ( y)y4dx,0y102显然 : f X ( x)fY ( y)f ( x, y) , 所以 X 与 Y 不独立 .（2）设 ( X ,Y) 有 f ( x, y)5yx2y1 ，试验证 E( XY)E(X)E(Y) ，但 X 与Y 不相40其他互独立解: E(X )115 y0115y51x2 xdx

22、dyE(Y)1x2ydxdy5y44711E(XY)E(X )E(Y)E(XY)1x2 xy4dxdy 01 5y5(1 x 4 )f X ( x)x2 4 dy8, 1 x 103y5 y5y2f Y ( y)dx2,0y 1y 40显然 : f X ( x)fY ( y)f ( x, y) , 所以 X 与 Y 不独立 .讨论 E( XY )E( X ) E(Y ) 与独立性，相关性与独立性之间的关系解: 若 X与 Y相互独立 , 则 E(XY) E(X )E(Y), 反之不成立 .独立一定不相关 , 反之不真 .第五章大数定律及中心极限定理1. 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.0

23、04 的指数分布，现有元件30 只，一只在用，其余 29 只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（ 8760 小时）的近似概率。解 :设 第 i 只 元件 的 寿命 为 X i ( i1,2,.30 ), EX i225 , DX i50625 , 则30YX i 是这 30 只元件寿命的总合 , EY225* 30 6750 , DY50625* 301518750,i 1则所求的概率为 :3030X i67508760 6750 1P Y 8760 PX i 8760 P i 130225(1.63) 0.0516i115187502.

24、某一随机试验，“成功”的概率为 0.04 ，独立重复 100 次，由中心极限定理求最多“成功” 6 次的概率的近似值。解:设成功的次数为 X , 则 X B(100,0.04) , np 4 , npq4 * 0.96 1.9596P XX 46 46 P(1.02) 0.84611.95961.9596第六章样本与统计量1. 有 n=10 的样本；1.2 ， 1.4 ， 1.9， 2.0， 1.5 ，1.5 ，1.6 ，1.4 ，1.8 ，1.4 ，则样本均值 X =1.57 ，样本均方差 S0.2541 ，样本方差 S20.06456 。2设总体方差为 b 2 有样本 X1 , X 2 ,

25、 X n ，样本均值为 X ，则 Cov( X1 , X )b 。n3. 查有关的附表，下列分位点的值：Z0.9 =?， 02. 1 (5) =9.236， t 0.9(10) =-1.3722 。4设 X 1 , X 2 , , X n 是总体2 (m) 的样本，求 E( X ), D ( X ) 。解:E( X ) m, D ( X )mn5设总体 X N( ,2 ) ，样本 X1 , X 2 , , X n ，样本均值 X ，样本方差 S2 ，则X N(0,1) ， X T (n1) ，/nS /n1n22 (1)，1n22()( X in( X i2X )2)ni1i 1第七章参数估计

26、1. 设总体 X 的密度函数为：x10 x1，有样本 X1, X2,f (x)0, X n ，其他求未知参数的矩估计。解: E(X)xx1dx, 故的矩估计 : ?21x011 x2. 每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ( ) ，为估计 的值，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟，结果如下：次数： 23456量数： 95374试求 的一阶矩估计和二阶矩估计。解: x 5.2 , s26.8, EX1,DX12,所以 ?10.1923 ,? 10.3835xs3. 设总体 X 的密度函数为： f (x)(1) x0x1，有样本 X1, X2, X n ，0其他求未知参数的极大似然估计。解:

27、 由题设 , 似然函数为 :n1)n (x1 x2 .xn )L()(1)xi(i 1nln xind ln L()nln L ( )n ln(1)(ln xi ) ,i 10i1d2(1)2解得 的极大似然估计为 ?(1nn)2ln xii 14. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度XN( ,2), 抽取 9根纤维，测量其纤度为：1.36 ，1.49 ，1.43 ，1.41 ，1.27 ，1.40 ，1.32 ，1.42 ，1.47 ，试求的置信度为 0.95 的置信区间，（1）若20.0482 , （2）若2 未知解: (1)x1.3967 ,0.05 的置信区间为x1.96, x1.961.3653,1.4281nn(2)x1