第二章被控对象的数学模型

1、第二章第二章 被控对象的数学模型被控对象的数学模型返回首页返回首页 n第一节第一节 概述概述 n第二节第二节 对象数学模型的建立对象数学模型的建立 n第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 第一节第一节 概述概述 n 数学模型是系统输入作用与输出作数学模型是系统输入作用与输出作 用之间的数学关系。其表达形式主要有用之间的数学关系。其表达形式主要有 两类：即两类：即非参量模型非参量模型和和参量模型参量模型。 n 非参量模型非参量模型是指用曲线或数据表格是指用曲线或数据表格 形式来表示的数学模型。形式来表示的数学模型。 n 参量模型参量模型是指用数学表达式来描述是指用数学表达式来描述

2、的数学模型。的数学模型。 n 下面我们主要讨论参量模型。下面我们主要讨论参量模型。 n 控制系统中需要建立数学模型的，不控制系统中需要建立数学模型的，不 局限于被控对象，系统中的每一个部分都局限于被控对象，系统中的每一个部分都 需要建立数学模型。但相对来说，被控对需要建立数学模型。但相对来说，被控对 象之外部分的数学模型很多是控制仪表及象之外部分的数学模型很多是控制仪表及 装置的模型，其特性已经研究得比较多，装置的模型，其特性已经研究得比较多， 而且变化很少。被控对象则比较复杂，不而且变化很少。被控对象则比较复杂，不 同的控制系统，被控对象的差异极大。因同的控制系统，被控对象的差异极大。因 此

3、，建模的重点是对象的建模。此，建模的重点是对象的建模。 n 被控对象千差万别，建立模型特别是被控对象千差万别，建立模型特别是 机理建模，需要对被控对象有比较透彻的机理建模，需要对被控对象有比较透彻的 了解。了解。 1 1控制对象的特点控制对象的特点 n 控制对象系统相对较大、较为复杂，控制对象系统相对较大、较为复杂， 时间常数大、滞后大，具有非线性、分时间常数大、滞后大，具有非线性、分 布参数和时变特性，因此建模比较困难，布参数和时变特性，因此建模比较困难， 需要在模型的简化上做工作，更多地需需要在模型的简化上做工作，更多地需 要从实验中建立模型。要从实验中建立模型。 2 2简化模型简化模型

4、n 实际的物理系统是非常复杂的，控实际的物理系统是非常复杂的，控 制对象也是如此，必须对系统进行适当制对象也是如此，必须对系统进行适当 的简化处理，才能有效地建模。通常的的简化处理，才能有效地建模。通常的 做法是：做法是： n （1 1）从分布参数到集中参数）从分布参数到集中参数 n 所有系统的模型本质上都是分布参所有系统的模型本质上都是分布参 数（数理统计名词）的，但分布参数模数（数理统计名词）的，但分布参数模 型太复杂，难建立也难以处理。因此，型太复杂，难建立也难以处理。因此， 通常都是将它简化为集中参数系统来建通常都是将它简化为集中参数系统来建 立模型。当然，这仅仅在一定的范围内立模型。

5、当然，这仅仅在一定的范围内 是有效的。是有效的。 n（2 2）从非线性到线性）从非线性到线性 n 实际的物理系统存在许多非线性，实际的物理系统存在许多非线性， 只要系统中任何一个环节是非线性的，只要系统中任何一个环节是非线性的， 系统就是非线性的。线性系统的重要特系统就是非线性的。线性系统的重要特 征是可以运用叠加原理，这将使系统建征是可以运用叠加原理，这将使系统建 模分析大大简化。因此，在很多情况下，模分析大大简化。因此，在很多情况下， 应该尽量将系统简化为线性系统来建模应该尽量将系统简化为线性系统来建模 和分析。和分析。 3 3建模方法建模方法 n 系统的建模方法分为两大类：系统的建模方法

6、分为两大类：机理机理 建模建模与与实验建模实验建模。开始人们倾向于机理。开始人们倾向于机理 建模，认为这样的模型有理论依据，物建模，认为这样的模型有理论依据，物 理意义明确。但对于较复杂的系统，做理意义明确。但对于较复杂的系统，做 了许多简化与理想化后，才能建立起机了许多简化与理想化后，才能建立起机 理模型。实验室建模似乎是迫不得已的理模型。实验室建模似乎是迫不得已的 办法，但在数据处理能力大大提高的今办法，但在数据处理能力大大提高的今 天，它也有较强的生命力。机理建模就天，它也有较强的生命力。机理建模就 像是像是“开环控制开环控制”，理论上可以做到很，理论上可以做到很 精确，但实际上很难；试

7、验建模就像是精确，但实际上很难；试验建模就像是 “闭环控制闭环控制”，不管对象有多复杂，都，不管对象有多复杂，都 可用这种综合方法来对付它。可用这种综合方法来对付它。 n 对于一个新的建模问题，可以先建对于一个新的建模问题，可以先建 立一个比较简化的机理模型，对之进行立一个比较简化的机理模型，对之进行 一些初步的了解和研究。然后再试图建一些初步的了解和研究。然后再试图建 立一个比较完善的数学模型，进行比较立一个比较完善的数学模型，进行比较 全面和精确的研究。最好是机理建模与全面和精确的研究。最好是机理建模与 实验建模相互印证、相互补充和完善。实验建模相互印证、相互补充和完善。 第二节第二节 对

8、象数学模型的建立对象数学模型的建立 n一、机理建模一、机理建模 n 机理建模就是根据被研究对象的物机理建模就是根据被研究对象的物 理化学性质和运动规律来建立系统的数理化学性质和运动规律来建立系统的数 学模型。因此，需要掌握对象的能量平学模型。因此，需要掌握对象的能量平 衡关系、物料平衡关系、动量平衡关系、衡关系、物料平衡关系、动量平衡关系、 化学反应规律、电路电子原理等知识，化学反应规律、电路电子原理等知识， 难度相当大。因此，必须作出合理的假难度相当大。因此，必须作出合理的假 设，建模才是可行的。通常总是假设系设，建模才是可行的。通常总是假设系 统是集中参数的和线性的，当然，在这统是集中参数

9、的和线性的，当然，在这 样的假设条件下，建立的模型只能在一样的假设条件下，建立的模型只能在一 定的工作范围内适用。定的工作范围内适用。 n 但是，各种假设的合理程度如何？但是，各种假设的合理程度如何？ 简化的方法是否正确？模型的适用工作简化的方法是否正确？模型的适用工作 范围如何？这一系列问题，最终还是要范围如何？这一系列问题，最终还是要 通过实验来验证和修正。通过实验来验证和修正。 n 控制系统中，需要建模的对象包括控制系统中，需要建模的对象包括 了各种类型的元器件、仪表与装置（有了各种类型的元器件、仪表与装置（有 电子的、机械的、气动的、液动的），电子的、机械的、气动的、液动的）， 简单的

10、如杠杆系统，复杂的如反应器等简单的如杠杆系统，复杂的如反应器等 等。下面我们着重介绍化工等过程设备等。下面我们着重介绍化工等过程设备 装置的数学模型。装置的数学模型。 1 1、一阶系统、一阶系统 n 当一个对象可以用一阶微分方程描当一个对象可以用一阶微分方程描 述其特性时，它就是一个一阶对象或一述其特性时，它就是一个一阶对象或一 阶系统。设其微分方程表示为：阶系统。设其微分方程表示为： n （2-12-1） n式中，式中，x x为对象的输入变量，为对象的输入变量，y y为对象的为对象的 输出变量；输出变量；T T称为时间常数，称为时间常数，K K称为放大称为放大 系数。经拉普拉斯变换并整理得传

11、递函系数。经拉普拉斯变换并整理得传递函 数：数： n （2-22-2） n用方块图表示为（图用方块图表示为（图2-12-1） n 很多实际的物理对象，其数学模型很多实际的物理对象，其数学模型 是一阶系统或者可以近似地用一阶系统是一阶系统或者可以近似地用一阶系统 来描述。如来描述。如R RC C电路和水槽就是最常见电路和水槽就是最常见 的一阶系统。的一阶系统。 （1 1）R RC C电路电路 n用途：整流滤波、用途：整流滤波、 n 闪光灯等闪光灯等 n在图在图2 22 2所示的电路中，设所示的电路中，设e ei i为输入电压，为输入电压， 是该系统的输入变量；电容两端的电压是该系统的输入变量；电

12、容两端的电压 为输出电压，是该系统的输出变量；为输出电压，是该系统的输出变量；i i是是 流过电阻流过电阻R R的电流。根据电路原理中的科的电流。根据电路原理中的科 希霍夫定律，有：希霍夫定律，有： n e ei iiRiRe e0 0 和 和 n消去中间变量消去中间变量i i，得到，得到e ei i与与e e0 0之间的关系式：之间的关系式： n （2-32-3） n 上式是一阶微分方程，说明上式是一阶微分方程，说明R-CR-C电路电路 是一阶系统。此处是一阶系统。此处T=RCT=RC，K=1K=1。经拉普。经拉普 拉斯变换并整理得拉斯变换并整理得R-CR-C电路系统的传递函电路系统的传递函

13、 数为数为 n （2-42-4） n R RC C电路很直观，也很简单，电阻电路很直观，也很简单，电阻 和电容的概念比较清晰。许多物理系统和电容的概念比较清晰。许多物理系统 如液位系统、热力学系统和气动系统有如液位系统、热力学系统和气动系统有 类似的概念。类似的概念。 （2 2）水槽）水槽 如图如图2-32-3所示，所示， n水槽的液面高度为水槽的液面高度为 nh h，我们希望这个液位能比较稳定，这里将，我们希望这个液位能比较稳定，这里将 它定为该系统的输出变量或被控变量。输入它定为该系统的输出变量或被控变量。输入 流量流量 QQi i由阀门由阀门1 1加以调节，从而保持液位加以调节，从而保持

14、液位 h h的的 稳定，稳定， QQi i是系统的输入变量。是系统的输入变量。 n 对水槽的流出量对水槽的流出量QQ0 0，阀门，阀门2 2不加以控制，不加以控制， 它是系统的中间变量，随它是系统的中间变量，随h h发生变化，但却发生变化，但却 有一定的自衡能力。有一定的自衡能力。h h的变化是由阶跃干扰的变化是由阶跃干扰 QQi i引起的。阀门引起的。阀门2 2相当于一个负载，或者相当于一个负载，或者 是类似于是类似于R RC C电路中的电阻电路中的电阻R R，可称为液阻，可称为液阻 R R： 当流过阀门当流过阀门2 2中的流体状态为层流时，有中的流体状态为层流时，有 n QQ0 0Kh K

15、h （2-62-6） n由以上两式，可求得此时的液阻由以上两式，可求得此时的液阻R R： n 由于由于K K是一个常数，故是一个常数，故R R也是一个常也是一个常 数，这与电阻很相似。对于水槽系统，数，这与电阻很相似。对于水槽系统， 还可以定义类似于电容的液容还可以定义类似于电容的液容C C： n 很显然，对于横截面积保持不变的容很显然，对于横截面积保持不变的容 器，液容等于横截面积器，液容等于横截面积A A（即（即C=AC=A）。）。 n 当系统中的液体流动为层流时，系统当系统中的液体流动为层流时，系统 是线性的；当液体流动状态为紊流时，系是线性的；当液体流动状态为紊流时，系 统是非线性的，

16、但在变量很小的变化范围统是非线性的，但在变量很小的变化范围 内，可以线性化。因此，在很小的时间内，可以线性化。因此，在很小的时间dtdt 之内，水槽的液体体积变化量为之内，水槽的液体体积变化量为 n Cdh=Cdh=（q qi iq q0 0）dt dt （2 27 7） nq qi i和和 q q0 0是相对于稳定值是相对于稳定值 QQi i和和QQ0 0的微小变的微小变 化量。将中间变量化量。将中间变量q q0 0消去消去(q(q0 0 =h/R) =h/R)，得，得 n此处此处T=RCT=RC，K=RK=R。经拉普拉斯变换并整。经拉普拉斯变换并整 理得传递函数为：理得传递函数为： n （

17、2-82-8） n 从上面两例，可以看到它们的微分从上面两例，可以看到它们的微分 方程和传递函数都很相似，一阶系统的方程和传递函数都很相似，一阶系统的 放大系数放大系数： n K=1 RK=1 R C C电路电路 n K=R K=R 水槽系统水槽系统 n R RC C电路和水槽系统中，时间常数电路和水槽系统中，时间常数 T T均等于均等于RCRC。（。（K K和和T T的物理意义将在后的物理意义将在后 续章节中介绍）。续章节中介绍）。 2 2、非自衡系统、非自衡系统 n 前面分析的水槽系统，当液位升高前面分析的水槽系统，当液位升高 时，出口流量时，出口流量q q0 0会自动增加，使液位稳会自动

18、增加，使液位稳 定在一定的工作范围内，系统能自动达定在一定的工作范围内，系统能自动达 到一个平衡状态，这样的系统称为到一个平衡状态，这样的系统称为自衡自衡 系统系统，在控制系统中是最常见的，也是，在控制系统中是最常见的，也是 比较易于控制的系统。比较易于控制的系统。 n 图图2 24 4所示的系统，是没有自衡能力的。所示的系统，是没有自衡能力的。 其输出流量由一个正位移泵抽出，保持恒定，其输出流量由一个正位移泵抽出，保持恒定， 与液位无关。因此，当与液位无关。因此，当QQi i发生变化，使液位发生变化，使液位h h 偏离平衡值时，系统不会自动到达平衡状态。偏离平衡值时，系统不会自动到达平衡状态

19、。 如果如果QQi i有一个增量且保持不变，则液位将持续有一个增量且保持不变，则液位将持续 上升，直至溢出。这样的系统称为上升，直至溢出。这样的系统称为非自衡或无非自衡或无 自衡系统自衡系统。这样的系统相对于自衡系统比较难。这样的系统相对于自衡系统比较难 于控制。于控制。 n由方程（由方程（2-72-7），且此时），且此时 q q0 0=0=0，得，得 n （2-92-9） n所以该系统也常称为所以该系统也常称为积分对象积分对象。 n该系统的传递函数为该系统的传递函数为 n （2-102-10） n（注：上两式中（注：上两式中C C为液容，也可以用横截面积为液容，也可以用横截面积A A） dt

20、q C h i 1 3 3二阶系统二阶系统 n 当一个对象可以用二阶微分方程描述其当一个对象可以用二阶微分方程描述其 特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。 我们设其微分方程为：我们设其微分方程为： n （2-112-11） n 对上式两边进行拉普拉斯变换，并整理得对上式两边进行拉普拉斯变换，并整理得 n （2-122-12） n 很多物理系统的数学模型可用二阶系统很多物理系统的数学模型可用二阶系统 来描述，如来描述，如R RC C串联电路和串联水槽等。串联电路和串联水槽等。 （1 1）R RC C串联电路串联电路 n 设设e ei i为系统的输入为系统的

21、输入 变量，变量，e e0 0为系统的输为系统的输 出变量，由科希霍夫出变量，由科希霍夫 定律，得定律，得: : n (2-13) (2-13) n由该方程组解得由该方程组解得R R C C串联电路的微分方串联电路的微分方 程表达式为程表达式为: (2-14): (2-14) n对方程（对方程（2 21414）两边进行拉普拉斯变换，）两边进行拉普拉斯变换， 并整理得该二阶系统的传递函数为并整理得该二阶系统的传递函数为: : n （2-152-15） （2 2）串联水槽）串联水槽 n 对于串联水槽，设对于串联水槽，设QQi i为系统的输入变量，为系统的输入变量， QQ是中间变量，是中间变量，h

22、h1 1和和 QQ0 0也是中间变量，也是中间变量，h h2 2是输是输 出变量。另外，还假设两只水槽具有同样的横出变量。另外，还假设两只水槽具有同样的横 截面积截面积A A，液位与流出量具有线性关系，则，液位与流出量具有线性关系，则 n液阻液阻: : n分别写出两个水槽的物料平衡方程为分别写出两个水槽的物料平衡方程为 n AdhAdh1 1=（q qi iq q）dtdt n Adh Adh2 2=（q q q q0 0）dtdt n式中，式中，q qi i、q q、q q0 0均为相应的均为相应的QQi i、QQ和和QQ0 0的微小的微小 变化量。变化量。 n由上述四个方程，消去中间变量由

23、上述四个方程，消去中间变量h h1 1、q q和和q q0 0，解，解 得输入变量得输入变量q qi i与输出变量与输出变量h h2 2之间的微分方程为之间的微分方程为 n （2-162-16） n对上式两边进行拉普拉斯变换，并设初始条件均对上式两边进行拉普拉斯变换，并设初始条件均 为零，得到为零，得到 QQi i到到h h2 2之间的传递函数为之间的传递函数为 n （2-172-17） n设设 ARAR1 1=T=T1 1，ARAR2 2T T2 2， R R2 2=K=K，则有，则有 n （2-182-18） n 高于二阶的对象，研究起来比较复杂，高于二阶的对象，研究起来比较复杂， 甚至无

24、法进行研究，通常都是将它们近甚至无法进行研究，通常都是将它们近 似为一阶和二阶系统。似为一阶和二阶系统。 二、实验建模二、实验建模 n 实验建模原则上是把被研究对象看作实验建模原则上是把被研究对象看作 为一个黑箱，通过施加不同的输入信号，为一个黑箱，通过施加不同的输入信号， 研究对象的输出响应信号与输入激励信研究对象的输出响应信号与输入激励信 号之间的关系，估计出系统的数学模型。号之间的关系，估计出系统的数学模型。 这种方法也可称为这种方法也可称为系统辨识方法系统辨识方法或或黑箱黑箱 方法方法。 n 很显然，任何一个对象都可能有多很显然，任何一个对象都可能有多 个输入变量和输出变量，当我们要研

25、究个输入变量和输出变量，当我们要研究 的是的是x x1 1与与y y1 1之间的关系时，就应该将施加之间的关系时，就应该将施加 的输入信号加在的输入信号加在x x1 1输入端上，并记录相应输入端上，并记录相应 的的y y1 1的变化。的变化。 n 这种方法对于复杂对象更为有效。这种方法对于复杂对象更为有效。 对于已知的一阶或二阶系统，通过实验对于已知的一阶或二阶系统，通过实验 方法测取其特性参数也很方便、实用。方法测取其特性参数也很方便、实用。 常用的方法有：常用的方法有： 阶跃扰动法阶跃扰动法 n 当对象处于稳定状态时，施加一个当对象处于稳定状态时，施加一个 阶跃信号到输入端，记录输出端的变

26、化阶跃信号到输入端，记录输出端的变化 曲线即可。曲线即可。 n 阶跃扰动法的优点是阶跃信号容易阶跃扰动法的优点是阶跃信号容易 获得。当对象的输入量是流量时，只要获得。当对象的输入量是流量时，只要 将阀门开度突然变化一定幅度并保持不将阀门开度突然变化一定幅度并保持不 变即可，不需要另外的信号发生器。变即可，不需要另外的信号发生器。 n 对于水槽对象，阶跃扰动和相应的对于水槽对象，阶跃扰动和相应的 反应曲线如图反应曲线如图2 27 7所示。由反应曲线可所示。由反应曲线可 推得对象的数学模型及相关的参数。推得对象的数学模型及相关的参数。 n 将由输入输出曲线测得的参数数值，将由输入输出曲线测得的参数

27、数值， 代入已推得的的微分方程或传递函数，代入已推得的的微分方程或传递函数， 就得到了完整的数学模型。就得到了完整的数学模型。 n 在已知系统的数学模型结构的基础在已知系统的数学模型结构的基础 上，再通过实验来确定数学模型中参数上，再通过实验来确定数学模型中参数 的方法，又称为的方法，又称为系统的参数估计系统的参数估计。 n 除了上面介绍的这种方法之外，还除了上面介绍的这种方法之外，还 有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还 可以直接从正常生产过程的记录数据中可以直接从正常生产过程的记录数据中 分析过程特性，建立数学模型。这种方分析过程特性，建立数学模型。这种方

28、法称为在线辨识。但它需要大量的数据、法称为在线辨识。但它需要大量的数据、 较长时间、较多的数据处理技术水平，较长时间、较多的数据处理技术水平， 而且精确度也不够高。为了提高所得模而且精确度也不够高。为了提高所得模 型的可信度和精度，有时采用多种方法型的可信度和精度，有时采用多种方法 相互验证，相互补充。相互验证，相互补充。 第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数 n 描述对象特性的参数包括放大系数描述对象特性的参数包括放大系数K K、 时间常数时间常数 T T和滞后时间和滞后时间 ， K K和和T T已在前已在前 面讨论的数学模型中看到过。面讨论的数学模型中看到过。 n 下面我们讨

29、论这三个参数的物理意下面我们讨论这三个参数的物理意 义以及在系统中所起的作用。义以及在系统中所起的作用。 一、放大系数一、放大系数K K n 仍以水槽系统为仍以水槽系统为 例，在输入流量例，在输入流量QQi i等等 于输出流量于输出流量QQ。，液。，液 位位 h h处于某个稳定状处于某个稳定状 态时，使态时，使 QQi i突然有一突然有一 个阶跃变化，阶跃幅个阶跃变化，阶跃幅 度为度为a a，并保持不变。，并保持不变。 由阶跃扰动法知道，由阶跃扰动法知道， 此时，水槽的液位也此时，水槽的液位也 有一个相应的变化，有一个相应的变化， 经过一段时间后，逐经过一段时间后，逐 步趋于一个新的稳态步趋于

30、一个新的稳态 值，如图值，如图2 28 8所示。所示。 n 图中，图中，a a是输入流量的变化量，即阶是输入流量的变化量，即阶 跃扰动的幅值；跃扰动的幅值；b b是液面最终稳态值与原是液面最终稳态值与原 稳态值之差。定义稳态值之差。定义K K为该系统的放大系数：为该系统的放大系数： n K=b/a=h/qK=b/a=h/qi i n = =输出增量输出增量/ /输入增量输入增量 （2-192-19） n 可见，放大系数可见，放大系数K K的的物理意义物理意义就是把就是把 系统的输入变化量放大系统的输入变化量放大K K倍，称为系统的倍，称为系统的 稳态输出量。注意，由于稳态输出量。注意，由于b

31、b是系统经过很是系统经过很 长时间进入稳态后的数值，因此，放大长时间进入稳态后的数值，因此，放大 系数系数K K是系统的静态特性参数。是系统的静态特性参数。 n 放大系数放大系数K K是非常重要的特性参数。是非常重要的特性参数。 K K越大，表明输入信号对输出的控制作用越大，表明输入信号对输出的控制作用 越强。如截面积很小的水槽，较小的输越强。如截面积很小的水槽，较小的输 入流量变化可能产生较大的输出量液位入流量变化可能产生较大的输出量液位 的变化。而截面积很大的水槽，输入流的变化。而截面积很大的水槽，输入流 量的变化对输出量的影响很小。量的变化对输出量的影响很小。 n 对于一个被控变量，可能

32、同时有几对于一个被控变量，可能同时有几 个输入变量对之产生影响，这时，应该个输入变量对之产生影响，这时，应该 尽量选择放大系数尽量选择放大系数K K较大的作为调节变量，较大的作为调节变量， 其他输入变量作为系统的干扰量。其他输入变量作为系统的干扰量。 n 如图如图2 29 9所示，该系统共有所示，该系统共有3 3个输入变量，个输入变量， 选择选择x x3 3作为调节变量后，作为调节变量后，x x1 1和和x x2 2就被认为是该就被认为是该 系统的干扰变量。从调节变量系统的干扰变量。从调节变量x x3 3到输出变量到输出变量y y 之间的关系叫做调节通道，之间的关系叫做调节通道，x xl l到

33、到y y之间的关系叫之间的关系叫 做干扰通道做干扰通道1 1，x x2 2到到y y之间的关系叫做干扰通道之间的关系叫做干扰通道 2 2。每个通道都有相应的数学模型及相应的放。每个通道都有相应的数学模型及相应的放 大倍数大倍数K K。K K越大，表明该通道的调节能力越强；越大，表明该通道的调节能力越强； 对于干扰通道，对于干扰通道，K K越大，表明该扰动对输出变越大，表明该扰动对输出变 量的影响越大。量的影响越大。 二、时间常数二、时间常数T T n 已知已知R RC C电路的数学模型为电路的数学模型为 n从电路图中，可以直观地知道，当电容从电路图中，可以直观地知道，当电容 充电结束后，电流充

34、电结束后，电流i i等于等于 0 0，E E0 0E Ei i，即该，即该 电路电路E Ei i到到E E0 0的调节通道放大系数的调节通道放大系数K K等于等于1 1。 但但E E0 0是逐步达到最终值是逐步达到最终值E Ei i的，它的快慢取的，它的快慢取 决于决于T=RCT=RC的数值。的数值。T T越大，表明电容越大，表明电容C C 充满电需要的时间越长。这就是时间常充满电需要的时间越长。这就是时间常 数的物理意义。数的物理意义。 n 同样，在水槽系同样，在水槽系 统中，对于相同的输统中，对于相同的输 入流量变化量，截面入流量变化量，截面 积大的水槽要花更多积大的水槽要花更多 的时间才

35、能达到稳态的时间才能达到稳态 液位值。如图液位值。如图2 21111 所示，一个水槽的截所示，一个水槽的截 面积为面积为A A1 1，另一个的，另一个的 截面积为截面积为A A2 2，A A2 2A A1 1， 故在相同的输入流量故在相同的输入流量 变化量变化量a a的作用下，的作用下， 表现了不同的反应曲表现了不同的反应曲 线。线。 n 时间常数时间常数T T可以用实验的方法测得。一阶可以用实验的方法测得。一阶 系统的微分方程，当输入为单位阶跃信号时，系统的微分方程，当输入为单位阶跃信号时， 即即A=1A=1，且，且K=1K=1时求得时求得 n （2-202-20） n 由该方程，当由该方程

36、，当t=Tt=T时，时， n y y（T T）=1-e=1-e-1 -1=0.632 =0.632 （2 22121） n依次还可以求得依次还可以求得t=2Tt=2T、3T3T、4T4T、5T5T等特殊点等特殊点 处的处的y y值。值。 n同时对同时对y y（t t）求导数得）求导数得 n可求得反应曲线起始点的切线的斜率为可求得反应曲线起始点的切线的斜率为 n （2-222-22） T t ety 1)( n将以上计算结果绘于图将以上计算结果绘于图2-122-12中。中。 n 由公式（由公式（2-212-21）和图）和图2-122-12可见，当反应曲可见，当反应曲 线上升到最终值的线上升到最终

37、值的63632 2时，所用的时间正时，所用的时间正 好为时间常数好为时间常数T T。即对象的输出增量保持初始。即对象的输出增量保持初始 变化速度，达到最终稳态值所需要的时间。因变化速度，达到最终稳态值所需要的时间。因 此，从实测的反应曲线上，相应于最终值的此，从实测的反应曲线上，相应于最终值的 63632 2处的时间值就是时间常数处的时间值就是时间常数T T的数值。的数值。 n 从图中还看到，当时间从图中还看到，当时间 t=3Tt=3T时，曲时，曲 线已经很接近最终值，此时计算值为最线已经很接近最终值，此时计算值为最 终值的终值的9595；当时间；当时间t=5Tt=5T时，曲线已几时，曲线已几

38、 乎与最终值重合，此时的计算值为最终乎与最终值重合，此时的计算值为最终 值的值的99993 3。可见，时间常数。可见，时间常数T T也是标也是标 志系统动态过程何时基本结束的重要参志系统动态过程何时基本结束的重要参 数。因此，时间常数数。因此，时间常数T T是系统的动态参数。是系统的动态参数。 n 另外，对于调节通道，时间常数另外，对于调节通道，时间常数T T大，大， 表明系统响应较平稳，系统较稳定，通表明系统响应较平稳，系统较稳定，通 常比较容易控制，但调节时间较长。如常比较容易控制，但调节时间较长。如 果时间常数果时间常数T T较小，系统相对比较难于控较小，系统相对比较难于控 制。实际应用

39、中有一个适中的时间常数制。实际应用中有一个适中的时间常数 较好。较好。 n 对于干扰通道，时间常数越大，对对于干扰通道，时间常数越大，对 调节越有利。调节越有利。 三、滞后时间三、滞后时间 n 有些物理对象，当输入信号发生变有些物理对象，当输入信号发生变 化后，输出信号不会立即出现响应，出化后，输出信号不会立即出现响应，出 现滞后现象。滞后时间现滞后现象。滞后时间就是用来描述就是用来描述 系统滞后现象的特性参数。滞后现象有系统滞后现象的特性参数。滞后现象有 两类：两类：纯滞后纯滞后和和容量滞后容量滞后。 l l、纯滞后、纯滞后0 0 n 纯滞后又叫做传递滞后，用纯滞后又叫做传递滞后，用0 0表

40、示。产表示。产 生纯滞后的原因通常是由于物料的传输需要一生纯滞后的原因通常是由于物料的传输需要一 定的时间，如图定的时间，如图2 21313所示的溶解槽浓度系统。所示的溶解槽浓度系统。 n 当浓度需要增加一定幅值时，操作当浓度需要增加一定幅值时，操作 进料量操纵板，使料体进料量增加。但进料量操纵板，使料体进料量增加。但 是，由于粉体进料量的增加量是，由于粉体进料量的增加量a a要经过输要经过输 送皮带的传送，滞后一定的时间送皮带的传送，滞后一定的时间0 0才能才能 进入溶解槽，系统的输出量浓度进入溶解槽，系统的输出量浓度y y才会响才会响 应。也就是说，从输入信号料体进料量应。也就是说，从输入

41、信号料体进料量 有了变化，到输出信号浓度开始变化的有了变化，到输出信号浓度开始变化的 这段时间里，溶解槽无法感受到进料的这段时间里，溶解槽无法感受到进料的 变化。这段时间的长短取决于粉体传送变化。这段时间的长短取决于粉体传送 距离距离L L和皮带机的输送速度和皮带机的输送速度U U，故，故 n （2-232-23） n 上述分析，是以粉体加料斗下方的上述分析，是以粉体加料斗下方的 进料量操纵板处的进料量作为系统的输进料量操纵板处的进料量作为系统的输 入变量的；如果从溶解槽液面处的进料入变量的；如果从溶解槽液面处的进料 量作为系统的输入变量来分析并画图，量作为系统的输入变量来分析并画图， 则相当

42、于在图中则相当于在图中0 0时刻才有增量时刻才有增量a a，输，输 出变量出变量y y几乎是立即产生响应的。这说明几乎是立即产生响应的。这说明 可以把原来的带有纯滞后的一阶系统分可以把原来的带有纯滞后的一阶系统分 解为一个独立的纯滞后环节和一个独立解为一个独立的纯滞后环节和一个独立 的无纯滞后的一阶环节。在反应曲线图的无纯滞后的一阶环节。在反应曲线图 形上，带有纯滞后的一阶系统的响应曲形上，带有纯滞后的一阶系统的响应曲 线与无纯滞后的一阶系统的响应曲线比线与无纯滞后的一阶系统的响应曲线比 较，形状完全一致，只是右移了滞后时较，形状完全一致，只是右移了滞后时 间间0 0而已。而已。 2 2、容量滞后、容量滞后c n 所谓容量滞后，是系统的输入变量所谓容量滞后，是系统的输入变量 变化后，输出变量的变化相当缓慢，在变化后，输出变量的变化相当缓慢，在 一段时间内几乎观察不到，然后，才逐一段时间内几乎观察不到，然后，才逐 渐显著地开始变化。这是由于系统中物渐显著地开始变化。这是由于系统中物 料或能量的传递需要克服一定的阻力而料或能量的传递需要克服一定的阻力而 产生，称为容量滞后现象，定义这段时产生，称为容量滞后现象，定义这段时 间为间为c 。 n 串联水槽、列