二次函数2y=ax2的图象和性质

1、喷泉(1) 二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质 上庄初级中学 王传广 函数函数y=axy=ax+bx+c+bx+c (a,b,c(a,b,c是常数是常数,a 0),a 0) 叫做叫做x x 的二次函数的二次函数. . 1 1 什么叫二次函数什么叫二次函数? ? 2 2 我们学过用什么方法画函数的图象我们学过用什么方法画函数的图象? ?主要有哪主要有哪 些步骤些步骤? ? 复习回顾复习回顾 喷泉(1) 27.2(1)27.2(1)二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质 1、二次函数、二次函数y=ax2的图象是什么？的图象是什么？ 、二次函数的图

2、象、二次函数的图象y=ax2有什么特点？有什么特点？ 3、二次函数、二次函数y=ax2有什么性质？有什么性质？ 本节课要解决的问题：本节课要解决的问题： w观察观察y=y=x x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应并计算相应 的的y y值值, ,完成下表：完成下表： 用描点法画二次函数用描点法画二次函数y=xy=x2 2的图象的图象 x x y=xy=x2 2 0123-1-2-3 0149 1 49 动手操作：动手操作： x y 0 0 -4- 3 -2-11234 10 8 6 4 2 -2 1 描点描点, ,连线连线 y= =x2 2 ? 观察图象,回答

3、下列问题 (1)图象是轴对称图形吗？如果是图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什它的对称轴是什 么么?请你找出几对对称点请你找出几对对称点 (2)图象图象 与对称轴有交点吗？如果有与对称轴有交点吗？如果有,交点坐标是交点坐标是 什么什么? (3)在对称轴左侧在对称轴左侧,随着随着x值的增大值的增大,y 的值如何变化？的值如何变化？ 在对称轴右侧呢？在对称轴右侧呢？ (4)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么？你最小值是什么？你 是如何知道的？是如何知道的？ x y 0 0 -4-3-2-11234 10 8 6 4 2 -2 1 y= =x2 2 学会观察学会观察

4、2 xy 这条抛物线关于这条抛物线关于 y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物 线的交点叫做线的交点叫做 抛物线的顶点抛物线的顶点. 二次函数二次函数y=x2的的 图象形如物体图象形如物体抛射抛射 时所经过的路线时所经过的路线,我我 们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线. 2 xy 在对称轴的左在对称轴的左 侧时侧时,y随着随着x的的 增大而减小增大而减小. 在对称轴的右在对称轴的右 侧时侧时, y随着随着x的的 增大而增大增大而增大. 当当x=-2时，时，y=4 当当x=-1时，时，y=1 当当x=1时，时，y=1 当当x=2时，时，y=4 抛物线抛物线

5、y=x2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外), 顶点是它的最低点顶点是它的最低点,开口向上开口向上,并且向并且向 上无限伸展上无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小, 最小值是最小值是0. ()二次函数二次函数y=-xy=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ (2)它与二次函数它与二次函数y=xy=x2 2的图象有什么关系？你能根的图象有什么关系？你能根 据表格中的数据作出猜想吗？据表格中的数据作出猜想吗？ x x-3-3 -2-2 -1-10 01 12 23 3 y=-y=-x x2 2 x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9 y=xy=x

6、2 2 x x 0123 -1-2 -3 0 149 1 49 类比猜想类比猜想 x y 0 0 -4-3-2-11234 -10 -8 -6 -4 -2 2 -1 y=-=-x2 2 2 xy 这条抛物线关于这条抛物线关于 y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的是它的对称轴对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物 线的交点叫做线的交点叫做 抛物线的抛物线的顶点顶点. yy 2 xy 在对称轴的左侧在对称轴的左侧 时时,y随着随着x的增大的增大 而增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧 时时, y随着随着x的增大的增大 而减小而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -

7、1 当当x=1时时,y= -1 当当x= 2时时,y= -4 抛物线抛物线y= -x2在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外), 顶点是它的最高点顶点是它的最高点,开口向下开口向下,并且向下并且向下 无限伸展无限伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大, 最大值是最大值是0. 抛物线抛物线 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 位置位置 开口方向开口方向 增减性增减性 最值最值 y=x2y= -x2 （0，0）（0，0） y轴轴y轴轴 在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外) 在在x轴的下方轴的下方( 除顶点外除顶点外) 向上向上向下向下 当当x=0时时,最小值为最小值为0. 当当x=0

8、时时,最大值为最大值为0. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而 减小减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的的 增大而增大增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而 增大增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的的 增大而减小增大而减小. 学会比较学会比较 w函数函数y=axy=ax2 2(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质: : y=x2 y=-x2 x y 0 y x0 .顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向位置与开口方向 .增减性与最值增减性与最值 学会概括学会概括 2 xy 2 xy 1.

9、抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴对称轴 是是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的它的 开口向上开口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对的增大而减小；在对 称轴右侧称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在对的增大而增大；在对 称轴的右侧称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y

10、的值最大的值最大. 二次函数y=ax2的性质 质疑再探 同学们，还有什么疑问或发现了新的问题， 请大胆提出来，大家一起共同解决！ 1.1.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2经过点经过点A(-2,-8)A(-2,-8) (1)(1)求此抛物线的函数解析式；求此抛物线的函数解析式； (2)(2)判断点判断点B(-1,-4)B(-1,-4)是是 否在此抛物线上否在此抛物线上; ; (3)(3)求出此抛物线上纵坐标为求出此抛物线上纵坐标为-6-6的点的坐标的点的坐标; ; (4)(4)若点若点(m,n)(m,n)在此抛物线上在此抛物线上, ,那么点那么点 (-m,n)(-m,n)是否在此抛物线

11、上是否在此抛物线上? ?点点(m(m，-n)-n)呢呢? ? 2.2.填空填空: (1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是_;对称轴是对称轴是_;在在_ 侧侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大;在在_侧侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小;当当 x= 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是 ;抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的- 方方(除顶点外除顶点外). 运用拓展运用拓展 (2)(2)抛物线抛物线 在在x x轴的轴的 方方( (除顶点外除顶点外), ), 当当x_x_时时,y,y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大； 当当x_x_时时,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小 当当x=0 x=0时时, ,函数函数y y的值最大的值最大, ,最大值是最大值是_,_, 当当x x 0 0时时,y0.,y0时时,抛物线抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）,它的开口它的开口 向上向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增的增 大而减小；大而减小； 在对称轴右侧在对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0 时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0时时,在对