高数第二章2.4(新)

1、医用高等数学医用高等数学 第四节 导数的应用 一、Lagrange中值定理 二、LHospital法则 三、函数的单调性与极值 四、曲线的凹凸性与拐点 五、函数曲线的渐近线 六、函数图形的描绘 )1( )2( ab afbf f )()( )( 或或 一、一、Lagrange中值定理中值定理 几何意义几何意义 a b 2 xo y )(xfy A B C D . , AB C AB 线平行于弦线平行于弦 在该点处的切在该点处的切一点一点 上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 . )()( tan ab afbf AR BR R ).(tan f ab afbf f )()( )( 即即拉格朗日中值

2、公式拉格朗日中值公式 注意注意 Lagrange中值定理亦称微分中值定理中值定理亦称微分中值定理, ,它它精精 确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间 内某点处的导数之间的关系内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间它是沟通导数和函数之间 的桥梁的桥梁. 即：即：如果函数的导数在某一区间内恒等于零，则该如果函数的导数在某一区间内恒等于零，则该 函数在这个区间内是一个常量。函数在这个区间内是一个常量。 ),(),( 21 baxx 211212 , )()()()(xxfxxxfxf )()(,0)()( 1212 xfxfxfxf

3、即即 ;0)(, ),( xfbax都都有有对对 推论推论1 1则则有有如如果果对对于于任任意意,0)(),( xfbax cxf)()( 为常数为常数c 即：即：如果两个函数的导数在某一区间内常相等，则如果两个函数的导数在某一区间内常相等，则 这两个函数在这个区间内只相差一个任意常数。这两个函数在这个区间内只相差一个任意常数。 ;)()(, ),(xxfbax 都有都有对对 0)()( xxf 0 )()( xxf 得得 Cxxf )()( 推论推论2 则则有有如如果果对对于于任任意意),()(),( xgxfbax cxgxf)()(),(bxac为为常常数数 2 arccosarcsin

4、 xx xxxfarccosarcsin)(设设 0) 1 1 ( 1 1 )( 22 xx xf Cxf)( 0arccos0arcsin)0(f又又 2 0 2 2 C即即 2 arccosarcsin xx 例例2-342-34 证明证明 证明证明 这是用拉格朗日定理证明恒这是用拉格朗日定理证明恒等式等式的一般方法。的一般方法。 . 0 0 )( )( lim, )()(,)( )( 0 未未定定式式 型型或或称称为为那那末末极极限限于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷大大 都都趋趋与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当 xg xf xgxfxxx x ax 例如例如 x x x tan

5、lim 0 ) 0 0 ( 二、二、LHospital法则法则 洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及: 0 0 1 )( 2 ln lim x x x 定理定理2-4 LHospital法则法则 如果函数如果函数 与与 满足下列三个条件满足下列三个条件 )(xf)(xg (3) 存在或者无穷大存在或者无穷大 )( )( lim xg xf 则当则当 或或 时时, 0 xx x )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf (1) 当当xx0(或或 x)时时,函数函数f(x)与与g(x)都趋于都趋于0 或都趋于或都趋于 ; (2) 当当xx0(或或 x)时时,函

6、数函数 与与 都存都存 在，且在，且 ; )(x f )(x g 0)( x g . sin lim 3 0 x xx x 求求例例2-352-35 解解 3 0 sin lim x xx x 2 0 3 cos1 lim x x x 6 1 6 sin lim 0 x x x 例例2-362-36 . 1 arctan 2 lim x x x 求求 2 2 1 1 1 lim x x x 2 2 1 lim x x x 1 解解 x x x1 arctan 2 lim ) 0 0 ( ) 0 0 ( 例例2-372-37. ln lim x x x 求求 解解0 1 lim 1 lim ln

7、 lim 1 xx x x x xxx )( 例例2-382-38）为正整数，（求0.lim n e x x n x 解解 x n x x n x x n x e xnn e nx e x 2 21 ) 1( limlimlim 0 ! lim xn x e n )( ) 0( 这些方法包括：这些方法包括： 2 2、能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小、能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小 代替；代替； 3 3、能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。、能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。 1 1、该分出的因子应及时分出；、该分出的因子应及时分出； 注意：注意：罗必塔罗

8、必塔法则是求未定式的一种有效方法，法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好。 例例 解解 . tan tan lim 2 0 xx xx x 求求 3 0 tan lim x xx x 原式原式 2 2 0 3 1sec lim x x x . 3 1 2 2 0 tan lim 3 1 x x x )0( 方法方法 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类 型型 . ), 0 0 ()( 方法方法, 1 0 . 0 1 00 或或 型未定式解法型未定式解法 00 ,1 ,0 ,0 2 型型

9、0 （1） .lnlim 0 xx x 求求例例2-392-39 解解xx x lnlim 0 x x x ln lim 0 1 0 1 lim x x x 0lim 0 x x 0 1 0 1 . 00 00 方法方法 型型（2） )( ).tan(seclim 2 xx x 求求 例例2-402-40 解解) cos sin cos 1 (lim 2 x x x x x x xcos sin1 lim 2 0 sin cos lim 2 x x x 方法方法 ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取取对对数数 .0 解解 )0( 0 xx x e ln 0 lim xx x e lnl

10、im 0 2 0 1 1 lim x x x e 0 e1 x x x e 1 ln lim 0 型型 00 ,1 ,0 （3） .lim 0 x x x 求求 例例2-412-41 x x x 0 lim 解解 )1( x x x e ln 1 1 1 lim x x x e 1 ln lim 1 1 1 lim 1 x x e 1 e 解解 )( 0 x x x x x ex ln 11 limlim 0 1 1 lim ln limln 1 lim x x x x x xxx .lim 1 1 1 x x x 求求例例2-422-42 x x x 1 1 1 lim .)(lim 1 x

11、 x x 求求例例2-432-43 1)(lim 0 ln 1 lim 1 eex x xx x x 解解 利用利用洛必达法则洛必达法则 例例.lim xx xx x ee ee 求求 洛必达法则失效洛必达法则失效! 注意注意 洛必达法则不是万能的洛必达法则不是万能的 xx xx x xx xx x xx xx x ee ee ee ee ee ee limlimlim )( 1 1 1 limlim 2 2 x x x xx xx x e e ee ee (两边同乘以两边同乘以 ) x e 事实上事实上 小结 罗必塔罗必塔法则法则 型型 00 ,1 ,0 型型 型型 0 型型 0 0 型型

12、取取对对数数 令令 g fy 0 1 0 1 . 00 00 . 0 1 00 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B 0)( x f0)( x f a b B A 三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值 1函数的单调性函数的单调性 定理定理2-5 若函数若函数 在区间在区间 内可导内可导,且且 (或或 ),则函数则函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加(或单调或单调 减少减少). )(xf),(ba 0)( x f 0)( x f ),(ba)(xf 解解2 , 0, 0cos1)(xxxf 例例2-44 2-44 讨论函数讨论函数 在在 内的单调性内的单调性

13、. .xxxfsin)(2 , 0 由定理由定理2-5, 2-5, 在在 上单调增加上单调增加xxxfsin)(2 , 0 解解 2 2 2 1 1 1 1 x x x y 例例2-45 2-45 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性. .xxy arctan 在函数的定义域在函数的定义域 内内,除除 时时, 外外,恒有恒有 , ),( 0 x0 y 0 1 2 2 x x )0,(),0( 0y xxy arctan ),( 在在 内是严格单调减少的内是严格单调减少的. ,所以在所以在 及及 内恒有内恒有 ,因此因此, 求单调区间的方法求单调区间的方法 .,)( )(0)( 符符号号然然后后判

14、判断断区区间间内内导导数数的的的的定定义义区区间间 不不存存在在的的点点来来划划分分函函数数的的根根及及用用方方程程 xf xfxf 解解 定义域为定义域为),( ) 3)(1( 39123)( 2 xxxxxf 得得，解解方方程程0)( x f . 3, 1 21 xx 时时，当当1x, 0)( x f上单调增加；上单调增加；在在) 1 ,( 时时，当当31 x, 0)( x f上单调减少；上单调减少；在在)3 , 1 ( 时时，当当 x3, 0)( x f.), 3(上上单单调调增增加加在在 .1696)( 23 的的单单调调区区间间求求函函数数xxxxf例例2-462-46 .1696)

15、( 23 的的单单调调区区间间求求函函数数xxxxf例例2-462-46 例例2-472-47 求函数求函数 的单调区间的单调区间. 3 2 )2(1)(xxf 解解 3 23 1 )( x xf.,2导导数数不不存存在在时时当当 x 时，时，当当2x, 0)( x f 上上单单调调减减少少在在), 2( 时，时，当当 x2 , 0)( x f 上上单单调调增增加加在在)2 ,( 单调性小结 1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要 应用。应用。 3. 导数等于零的点和不可导点，导数等于零的点和不可导点，可能是单调可能是单调 区间的分界点。区间的分界点。

16、2. 函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用 一点处的导数符号来判别一个区间上的单调一点处的导数符号来判别一个区间上的单调 性。性。 定义定义2-3 函数函数 在在 点某邻域内有定义点某邻域内有定义, ,若若 在该邻域内有在该邻域内有 )(xfy )()( 0 xfxf)( 0 xx (或或 ) 则称则称 为为 的一个的一个极大值极大值(或极小值或极小值).并称并称 为为 的的极大值点极大值点(或极小值点或极小值点). )(xf)( 0 xf 0 x )(xf 2函数的极值函数的极值

17、 )(xf 0 x )()( 0 xfxf o x y o x y 0 x 0 x 定义定义2-3 函数函数 在在 点某邻域内有定义点某邻域内有定义, ,若若 在该邻域内有在该邻域内有 )(xfy )()( 0 xfxf)( 0 xx (或或 ) 2函数的极值函数的极值 )(xf 0 x )()( 0 xfxf o x y o x y 0 x 0 x 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值（函数值）极值（函数值）,使函使函 数取得极值的点称为数取得极值的点称为极值点（自变量）极值点（自变量）. ox y a b )(xfy 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o

18、x y o x y 0 x 0 x 极大值点极大值点 0 x极小值点极小值点 0 x 问题问题 极值点在什么地方取得极值点在什么地方取得? ox y a b )(xfy 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 问题问题 极值点在什么地方取得极值点在什么地方取得? 满足满足 的点的点, ,称为驻点称为驻点. . 0)( xf 注意注意 可导函数的的极值点必定是驻点可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点但函数的驻点 不一定是极值点不一定是极值点. 如何来判断驻点是极值点呢如何来判断驻点是极值点呢? 定理定理2-7 (第一判别法第一判别法) 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某邻域的

19、某邻域 内可导内可导,且且 ;0)( 0 x f (1) (1)若若 时，时， 时时, , 则则 在在 点取得极大值点取得极大值. . ; 0)( xf0)( xf )(xf 0 x 0 xx 0 xx x y o 0 x 如何来判断驻点是极值点呢如何来判断驻点是极值点呢? 定理定理2-7 (第一判别法第一判别法) 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某邻域的某邻域 内可导内可导,且且 ;0)( 0 x f (2) (2)若若 时，时， 时时, , 则则 在在 点取得极小值点取得极小值. . ; 0)( xf0)( xf )(xf 0 x 0 xx 0 xx x y o 0 x 如何来判断驻

20、点是极值点呢如何来判断驻点是极值点呢? 定理定理2-7 (第一判别法第一判别法) 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某邻域的某邻域 内可导内可导,且且 ;0)( 0 x f (3) (3)若当若当 在在 两侧时两侧时, , 符号不变，则符号不变，则 在在 点不取极值点不取极值. . )( xf)(xf 0 x 0 x x x y o 0 x x y o 0 x (不是极值点情形不是极值点情形) 注意注意 函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点. 问题：问题：使用上面的方面是不是将函数的极值点都找使用上面的方面是不是将函数的极值点都找 了出来？了出来？ | x

21、y 求极值的步骤求极值的步骤: : );()() 1 (xfxf的的定定义义域域和和导导数数求求函函数数 ;)2(的的点点求求驻驻点点，和和导导数数不不存存在在 ;,)()3(判断极值点这些点左右的正负号检查x f .)4(求求极极值值 极值点可能范围极值点可能范围: 导数不存 在 点 极值点 极值点 驻点 解解 3 3 3 1 1 3 2 3 2 3 2 )( x x xxf 列表讨论列表讨论 3 1 ) 1 (f极小值极小值0)0(f极大值 例例2-482-48 求求 的极值的极值. . 32 3 2 )(xxxf 0)( x f令 1x得驻点得驻点.0;是导数不存在的点x x )0 ,(

22、 ), 1 ( )1 ,0( )(x f )(xf 不存在 0 极大值极大值 极小值极小值 0 1 定理定理2-8 (第二判别法第二判别法)设函数设函数y=f(x)在在x0点有二阶点有二阶 导数导数,且且 .0)( 0 xf (1)若若 ,则则 是是 极大值极大值;0)( 0 x f )( 0 xf )(xf (2)若若 ,则则 是是 极小值极小值;0)( 0 x f )( 0 xf )(xf (3)若若 ,无法判断无法判断 是否在是否在 处取得极值处取得极值.0)( 0 x f)(xf 0 x 定理定理2-8 (第二判别法第二判别法)设函数设函数y=f(x)在在x0点有二阶点有二阶 导数导数

23、,且且 .0)( 0 xf 证明证明)1( 0 0 0 0 )()( lim)( xx xfxf xf x 0 异号与故 00) ()(xxxfxf ，当 0 xx ; 0)()( 0 xfxf 所所以以,函函数数)(xf在在 0 x处处取取得得极极大大值值 ，当 0 xx 0)()( 0 xfxf ，令0)( x f. 1, 1, 0 321 xxx得驻点得驻点 解解 22 ) 1(6)(xxxf , 06)0( f 0)0(f故极小值故极小值 例例2-492-49 求求 的极值的极值. .1) 1()( 32 xxf 注意注意 . 72 ,)(,0)( 00 仍用定理仍用定理 处不一定取极

24、值处不一定取极值在点在点时时xxfxf ) 15)(1(6)( 22 xxxf而而 当当 时和时和 时时,1x01x )(xf 0)( x f 故故 时时, 不取极值不取极值.1x 当当 时和时和 时时, 1x10 x 1x)(xf 0)( x f 故故 时时, 不取极值不取极值. o x y o x y b ao x y a b a b . ,)(,)( 值与最小值存在 上的最大在上连续，则在若函数baxfbaxf 3.3.最大值与最小值最大值与最小值 o x y o x y b ao x y a b a b 3.3.最大值与最小值最大值与最小值 求最大值与最小值步骤求最大值与最小值步骤:

25、: (1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点; (2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大 小小,那个最大就是最大值那个最大就是最大值,那个最小就是最小值那个最小就是最小值; 注意注意 如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最则这个极值就是最 值值.(最大值或最小值最大值或最小值) 解解 3 3 1 3 2 13 ) 1(5 ) 1)(4( 3 2 ) 1()( x x xxxxf 计算得计算得 3 92)2(f 3 43) 1(f0) 1 (f 6)2(f 例例2-502-50 求函数求函数 在在 的最值的最值. . 2 ,

26、2 3 2 ) 1()4()(xxxf ，最大值最大值6)2(f 比较得比较得: . 0) 1 (f最最小小值值 令令 得驻点得驻点 时时, 不存在不存在.)(x f , 0)( x f1; 1xx 极值小结极值小结 1. 极值是函数的局部性概念。极值是函数的局部性概念。 2. 驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点。 3. 函数的极值必在临界点取得，但临界点函数的极值必在临界点取得，但临界点 不一定是极值点。不一定是极值点。 判别法判别法 第一充分条件第一充分条件; 第二充分条件第二充分条件; (注意使用条件注意使用条件) 4. 最值是函数的整体概念。最值是函数的整体概念。 注

27、意最值与极值的区别注意最值与极值的区别. x y o 1 x 2 x )(xfy x y o )(xfy 1 x 2 x 五、曲线的凹凸性与拐点 凹凹凸凸 ) 2 )()( ) 2 ( 2 )()( ) 2 ( 21212121 xfxfxx f xfxfxx f 或 定义定义2-4 都都有有任任意意两两点点 上上的的如如果果对对于于上上连连续续在在设设 , ,)( 21 xx babaxf 则称曲线则称曲线 在在 上是上是凹的凹的(或或凸的凸的).)(xfy,ba x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B 递增递增)(x f a b B A 0 y 递递减减)(x f

28、0 y 问题问题:如何判断曲线的凹凸性呢如何判断曲线的凹凸性呢? 通过观察可知通过观察可知 若曲线在区间若曲线在区间a,b上凹的上凹的,则则 ;若在区间若在区间a,b 上凸的上凸的,则则 .因此有下面的定理因此有下面的定理. 0)( x f 0)( x f .),()(, 0)(),()2( ;),()(, 0)(),() 1 ( 内内是是凸凸的的在在则则有有对对任任意意若若 内内是是凹凹的的在在则则有有若若对对任任意意 baxfxfbax baxfxfbax 定理定理2-192-19 )( ),(,)( xf babaxf 二二阶阶导导数数 内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果 例例2-

29、522-52 .3)( 3 的凹凸性判断曲线xxxf 解解 2 33)(xxfxxf6)( 时，当0 x为为凹凹的的；在在曲曲线线)0 ,(, 0)( x f , 0)( x f时，当0 x .), 0(为为凸凸的的在在曲曲线线 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到, ;)(,(,)()3( 000 即为拐点点变号两近旁xfxxfx .)(,(,)( 000 不是拐点点不变号两近旁xfxxfx 求拐点的求拐点的步骤步骤: );()1 (x f 求 0 , 0)()2(xxf点点找找出出实实根根和和二二阶阶不不可可导导令令 连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲

30、线上凹凸的分界点称为曲线的曲线的拐点拐点. 注意注意 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在 解解 3 2 ) 1( 3 5 9 10 )(xxxf 例例2-532-53 讨论曲线讨论曲线 的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点. . 3 5 2 ) 1( 9 5 )(xxxf 3 3 3 1 1 11 9 10 ) 1( 9 10 9 10 )( x x xxf 0)( x f令; 0 x得得.)(,1不不存存在在时时当当xfx x )0 ,(), 1 ( ) 1 , 0( )(x f )(xf 0 凹的凹的凸的凸的凹的凹的 拐点拐点拐点拐点 0 不存在不存在 1 故

31、故 和点和点 是曲线的拐点是曲线的拐点.)1,0( ) 9 5 ,1( 例例 . 143 34 凹凹、凸凸的的区区间间 的的拐拐点点及及求求曲曲线线 xxy 解解),(: D ,1212 23 xxy ). 3 2 (36 xxy ,0 y 令令. 3 2 , 0 21 xx得得 x)0 ,( ), 3 2 ( ) 3 2 ,0(0 3 2 )(x f )(xf 00 凹的凹的凸的凸的凹的凹的 拐点拐点拐点拐点 )1 , 0( ) 27 11 , 3 2 ( )., 3 2 , 3 2 , 0,0,( 凹凹凸凸区区间间为为 END 定义定义2-52-5 .)( , )( 的渐近线就称为曲线直线

32、 那么的距离趋向于零如果动点与某一直线远离原点时 限上的一动点沿着曲线无当曲线 xfyl l xfy 六、函数曲线的渐近线 1.1.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x )(lim)(lim 00 xfxf xxxx 或如果 .)( 0 的一条垂直渐近线的一条垂直渐近线就是就是那么那么xfyxx , 2 1 x y例如例如2 x有垂直渐近线有垂直渐近线: : 2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x )()(lim)(lim为常数或如果AAxfAxf xx 例如例如xyarctan 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :. 2 , 2 yy

33、.)(的一条水平渐近线就是那么xfyAy 0 y x 2 2 3.3.斜渐近线斜渐近线 .)(limbaxxf x .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybaxy 如果如果 且且, )( lima x xf x 1 12 lim )( lim 2 2 x xx x xf a xx 的的斜斜渐渐近近线线为为曲曲线线所所以以)(2xfxy 例例2-542-54 求求 渐近线渐近线. . x xx xf 12 )( 2 x xx x 12 lim 2 0 解解故故 是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线.0 x 2 12 lim 12 lim)(lim 2 x x x x x

34、x axxfb xxx 极值点；上下降，在什么地方有区间上上升，哪个区间 哪个，可以确定函数图形在借助于一阶导数的符号 拐点；上为凸，在什么地方有区间上为凹，哪个区间 哪个，可以确定函数图形在借助于二阶导数的符号 . 准确 得比较态，并把函数的图形画也就可以掌握函数的性 点后，、凹凸以及极值点和拐知道了函数图形的升降 .数数的的导导数数描描绘绘函函数数图图形形因因此此，我我们们可可以以利利用用函函 七、函数作图 利用函数特性描绘函数图形步骤利用函数特性描绘函数图形步骤 第二步第二步判断函数的周期性与奇偶性判断函数的周期性与奇偶性; 求函数求函数 的定义域的定义域,以确定描绘的范围以确定描绘的范

35、围;第一步第一步)(xfy 第四步第四步 确定这些区间上确定这些区间上 、 的符号的符号,并由此并由此 讨论曲线的升降和凹凸讨论曲线的升降和凹凸,以及极值点和拐点以及极值点和拐点; )( xf)( xf 第三步第三步 求求 的一阶导数的一阶导数 和二阶导数和二阶导数 ,并并 在定义域内在定义域内,求出使求出使 、 为零的点和导数不存在的为零的点和导数不存在的 点点.把这些点由小到大排序把这些点由小到大排序,从而把定义域分成若干区间从而把定义域分成若干区间,然然 后列表；后列表； )(xf)( xf )( xf )( xf )( xf 第五步第五步 确定渐近线确定渐近线,并根据需要补充一些辅助点

36、的并根据需要补充一些辅助点的 坐标坐标.最后按照曲线的性态逐段描绘最后按照曲线的性态逐段描绘,得到函数的图形得到函数的图形. 例例2-552-55 描绘函数曲线描绘函数曲线 的图像的图像. . 2 3 ) 1( ) 1( )( x x xf 解解 函数函数 的定义域为的定义域为 . ), 1 () 1 ,()(xf 4 ) 1( ) 1(24 )( x x xf 3 2 ) 1( )5() 1( )( x xx xf 令令 得得 令令 得得 ; 0)( x f1x0)( x f51xx和和 x) 1,(), 5( )1 , 1( )5 , 1 ( )(x f )(xf 0 )(x f 1 拐点

37、拐点 51 0 极小值极小值 0 不存不存 在在 不存不存 在在 不存不存 在在 2 27 2 3 11 ) 1( ) 1( lim)(lim x x xf xx 则则 为曲线为曲线 的垂直渐近线的垂直渐近线.1x)(xf 1 ) 1( ) 1( lim )( lim 2 3 xx x x xf a xx 的的斜斜渐渐近近线线为为所所以以)(5xfxy 5 )1( 125 lim )1( )1( lim)(lim 2 2 2 3 x xx x x x axxfb xxx 2 27 )5(, 0) 1(ff ,补充补充16)3(, 1)0(ff 根据以上信息绘出图形根据以上信息绘出图形 x o 1 5 5 1 1 5 xy y 函数为偶函数函数为偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称 ,