2.1导数的概念及其几何意义北师大选修-ppt课件

1、1.1.3导数的几何意义 先来复习导数的概念先来复习导数的概念 定义：设函数定义：设函数y=f(x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当当 自变量自变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变量时函数有相应的改变量 y=f(x0+ x)- f(x0).如果当如果当x0 时时,y/x的极限存的极限存 在在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数(或变化率或变化率) 记作记作 即即: ,|)( 0 0 xx yxf 或 00 0 00 ()() ()limlim. xx f xxf xy fx xx )2( ),1( ),( ,)(1 2

2、 ffxfxxf求：设例 的值代入求得导数值。 再将自变量义求思路：先根据导数的定),( xf x x xxx x xxx x xfxxf xf x xx 2 )2( lim )( lim )()( lim)( 0 22 00 解：由导数的定义有 422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 2 1 x x xff xff 处的导数。在：求函数例12xxy x x x y xy 11 11解： 2 1 11 1 lim 0 x x 2 1 1 x y 11 1 x 下面来看导数的几何意义: y=f(x) P Q M xx yy O x y P y=f(x) Q M xx yy O x y 如

3、图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x) 的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上上 的的 任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线, PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的 倾斜角倾斜角. .tan ,: x y yMQxMP则则 y x 请问：是割线PQ的什么? 斜 率! P Q ox y y=f(x) 割割 线线 切线切线 T 请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着 点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时

4、,割线割线PQ 有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的切线处的切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的斜率的斜率,称为称为 曲线在点曲线在点P处的切线的斜率处的切线的斜率. 即即: 00 0 00 ()( ) ( )limlim xx f xxf xy kf x xx 切线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，初中平面几何

5、中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。叫做切点。 割线趋近于确定的位置的直线定义为切线割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。 例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M y x . 2 )(2 lim ) 11 (1)1 ( lim )()( lim: 2 0 2 0 00 0 x xx

6、x x x xfxxf k x x x 解解 因而因而,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1), 即即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后 利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. 练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. ) 3 8 , 2( 3 1 3 Pxy上一点上一点 y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P 3 1 3 yx .)(33lim 3

7、1 )()(33 lim 3 1 3 1 )( 3 1 limlim, 3 1 )1( 222 0 322 0 33 00 3 xxxxx x xxxxx x xxx x y yxy x x xx 解解： . 42| 2 2 x y 即点即点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0. （1求出函数在点求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲，得到曲 线线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。 )( 0 x f （2根据直线方程的点斜式写出切线方程，即根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 ).)()( 000 xxxfxfy 归纳归纳:求切线方程的步骤求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数 概念