高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教师专用理苏教版

1、第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简与求值例1(1）化简： 。(2）计算： 。答案（1）cos 2x（2）4解析(1)原式cos 2x.(2）原式4.思维升华（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点。(1)计算：tan 70cos 10（tan 201） 。（2)若，且3cos 2sin，则sin 2的值为 .答案(1)1（2)解析（1)原式cos 10（）1.（2）cos 2sinsin2sincos代入原式,得6sincossin

2、,cos，sin 2cos2cos21.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2（1)（2017盐城、南京联考)已知，为锐角,cos ，sin(），则cos .答案解析为锐角,sin 。,（0,),0.又sin（）0，00，02,tan（2)1.tan 0，20，2.引申探究本例(1）中，若，为锐角，sin ，cos ,则 。答案解析,为锐角,cos ，sin ,cos()cos cos sin sin 。又0，.思维升华（1)给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法；（2）给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角。（1）设（0，），(0，)，且tan ，

3、则2 。（2)（2016南京检测)若sin 2，sin（）,且,，则的值是 .答案(1）（2)解析（1）由tan ，得，即sin cos cos sin cos ，所以sin()cos ,又cos sin(），所以sin()sin(），又因为（0，),（0,)，所以，00,，所以，所以cos(),因此sin(）sin()2sin（）cos 2cos（)sin 2（)()，cos（)cos（）2cos（)cos 2sin(）sin 2(）（)，又，2，所以。题型三三角恒等变换的应用例4(2016天津）已知函数f(x)4tan xsincos.（1)求f（x）的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x

4、)在区间上的单调性。解（1）f（x）的定义域为x|xk，kz。f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x（1cos 2x）sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期t.（2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kz.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.设a，bxkxk,kz，易知ab.所以当x时，f(x）在区间上单调递增，在区间上单调递减。思维升华三角恒等变换的应用策略（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形用。（2）把形如yasin xb

5、cos x化为ysin（x）,可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性。已知函数f(x)cos xsin(x）cos2x，xr。(1)求f(x）的最小正周期；(2）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值。解(1)由已知，有f(x）cos x(sin xcos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x）sin 2xcos 2xsin（2x）。所以f（x）的最小正周期t。（2）因为f(x）在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f(），f（），f(），所以函数f(x）在闭区间，上的最大值为，最小值为。9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例（14分）（2

6、015重庆）已知函数f(x）sinsin xcos2x。（1)求f(x)的最小正周期和最大值;（2)讨论f(x)在上的单调性。思想方法指导（1)讨论形如yasin xbcos x型函数的性质,一律化成ysin(x）型的函数。(2)研究yasin（x）型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决。规范解答解(1)f（x)sinsin xcos2xcos xsin x（1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，5分因此f（x）的最小正周期为，最大值为。7分(2)当x时，02x,8分从而当02x，即x时，f(x)单调递增，10分当2x，即x时，f(x）单调递减.1

7、2分综上可知，f（x)在上单调递增;在上单调递减。14分1。sin 15sin 75的值是 。答案解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin（1545）sin 60.2。(2016全国甲卷改编)若cos，则sin 2 。答案解析因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 221。3。已知r，sin 2cos ,则tan 2 .答案解析(sin 2cos ）2，展开得3cos24sin cos ,再由二倍角公式得cos 22sin 20,故tan 2.4。函数f（x）cos (sin cos )的最小正周期为 .答案2解析因为f（x）cos （sin cos ）s

8、in x（cos x1）sin（x）,所以f（x）的最小正周期为2。5.（2016江苏扬州中学四模）函数ysin （sin cos ） (，0）的最大值为 。答案解析ysin （sin cos )sin2sin cos sin 2cos 2sin 2sin(2)。，0，2，当2时，函数取最大值ymax.6。函数f(x）sin（2x）cos（2x)的图象关于点对称，则f(x）的单调递增区间为 。答案,kz解析f(x)sin（2x）cos（2x)2sin，由题意知2k（kz），k（kz).|，。f(x)2sin。由2k2x2k（kz），得kxk(kz)。7。若f(x)2tan x，则f的值为 。答

9、案8解析f（x）2tan x2tan x，f8.8。若锐角、满足（1tan ）（1tan ）4，则 。答案解析由（1tan ）（1tan )4，可得,即tan(）.又(0,)，.9.化简: .答案4解析原式4。10。设(0，)，（，），且5sin 5cos 8，sin cos 2，则cos()的值为 。答案解析由5sin 5cos 8，得sin（）,(0,），cos(）。由sin cos 2,得sin（),(,），,cos（）.cos()sin（)sin(）(）sin()cos（）cos（)sin().11.已知函数f(x）sin（x)cos x。(1）求函数f（x）的最大值，并写出当f（x)

10、取得最大值时x的取值集合；(2)若（0，），f（），求f(2）的值。解（1)f(x)sin（x）cos xsin xcos xcos xsin xcos xsin(x）。当x2k（kz)，即x2k(kz)时，f(x）取得最大值.此时x的取值集合为x|x2k，kz。(2）由（1)知，f(x）sin(x)，又f（)，所以sin（)cos ，即cos .因为（0，）,所以sin ，所以sin 22sin cos 2,cos 22cos21。所以f（2)sin（2）sin 2cos 2。12。已知函数f（x)cos2xsin xcos x,xr。（1)求f（）的值；(2）若sin ，且（，），求f（)

11、.解（1)f()cos2sincos（）2.(2）因为f(x）cos2xsin xcos xsin 2x（sin 2xcos 2x)sin（2x），所以f(）sin（）sin（）(sin cos ).又因为sin ，且（，）,所以cos ，所以f（）（）.13。(2015安徽)已知函数f（x）（sin xcos x）2cos 2x.（1)求f(x）的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值。解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1,所以函数f(x)的最小正周期为t.(2)由(1）的计算结果知，f（x）sin1。当x

12、时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x）取最小值0.综上，f（x)在上的最大值为1，最小值为0.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there are omissions, please corr