2.1节任意项级数ppt课件

1、交错级数1 . 3 . 6 6.3.1定义 例如， 0, n u 若则形如 11 1234 1 ( 1)( 1) nn nn n uuuuuu 的级数，.称为交错级数 1 2 1 1 ( 1), n n n 级数 1 1 1 ( 1), 21 n n n 1 1 ( 1)n n n 等，都是交错级数. n u注意：此处的专指大于零的那部分， 1 nn n uu 与中用表示全部的通项区分开. 6.3.1定理（莱布尼兹判别法） .数列有极限即可证：只需证明其部分和 1 1 ( 1)n n n u 设交错级数满足 1 1,1, 2,; nn uun （ ） (2) lim0. n n u 1 1 (

2、 1). n n n u 则 交 错 级 数收 敛 关于交错级数，有如下判别法： 即项之和为记交错级数的前,2 2n Sn ).()()( 21243212nnn uuuuuuS .1 2 单调增加非负，即数列）知，所有括号内的差由条件（ n S 另外，由于 ,)()()( 21222543212nnnn uuuuuuuuS . 122 uSS nn 有界，即都非负，因而数列其中每个括号内的差也 .limlim 22 SSS n n n n 存在，不妨设为故极限 .)(limlim0lim2 12212 SuSSu nn n n n n n 知，）又由条件（ .lim存在，原交错级数收敛可见，

3、极限 n n S .) 1( 1 1 1 12 n n n n uSuuS可知，事实上，由 .证毕 1 1 1 (1)( 1); n n n 解： 11 ,1,2, 1 n nn .该级数收敛由莱布尼兹判别法知， 6.3.1.例判定以下级数的敛散性 1（） 因为该级数满足 1 lim0, n n 1 ,1,2,; 1(1)1 nn n nn .法知，原级数收敛所以，由莱布尼兹判别 1,x 因为当时 1 n n 而直接验证数列是否单调有一定困难， 1 1 6.3.1.(2)( 1); 1 n n n n 例判定以下级数的敛散性 ( )(1). 1 x f xx x 转而考虑函数， 2 1 ( )

4、0 2(1) x fx x x ， ( )f x所以单调递减， 1 n n 从而数列单调递减， 即原级数满足 lim0. 1 n n n 易验证 解： 正项 级数 交错 级数 任意项 级数 6.3 任意项级数任意项级数 对一般项的取值不加任何限制的常数项级数 称为任意项级数. l对于某些特殊的任意项级数，同时也考虑建立 具体的判别方法. 关于任意项级数敛散性的讨论，要比正项级数复杂 的多. 解决该问题的思路是：首先将任意项级数敛散性的 判定问题转化为判别正项级数敛散性的问题. 任意项级数2 . 3 . 6 敛一、绝对收敛与条件收 6.3.2定义 111 . nnn nnn uuu 如果级数发散

5、，而级数收敛,则称级数为条件收敛 例如， 11 nn nn uu 如果级数收敛,则称级数为绝对收敛； 1 1 1 ( 1)n n n (1)级数 1 1 , n n 而级发散 1 1 1 ( 1)n n n 即级数条件收敛； 1 2 1 1 ( 1)n n n (2)对级数， 收敛， 1 2 1 1 ( 1)n n n 考虑 2 1 1 n n =收敛， 1 2 1 1 ( 1). n n n 故原级数绝对收敛 绝对值绝对值 的判别二、任意项级数敛散性 11 6.3.2 . nn nn uu 定理若级数绝对收敛，则任意项级数必收敛， 即绝对收敛必收敛 证： 1 n n u 由于级数收敛, 1

6、2 n n v 从而级数收敛. 1 2. nnnn n uvuu 由级数的性质和可知,级数收敛 .证毕 0. nn vu则显然有 1 (), 2 nnn vuu设 1 . n n v 由比较判别法知收敛 可理解为可理解为“一定一定” 则 6.3.3定理 1 n n u 若任意项级数满足 1 lim n n n u r u 11r （） 当时，级数绝对收敛； 21),rr （ ） 当时（包括级数发散； 31.r （ ） 当时，级数可能收敛，也可能发散 .3 . 3 . 63 . 2 . 6，将证明过程略去容易证明定理根据定理 . 3 . 3 . 6 正项级数敛散性的判定 散性的判定问题转化为使得

7、许多任意项级数敛定理 注: 例如 1 1 n n n n u u 如果使用比值或根值判别法得出级数发散， 则级数必发散. 1 1 1 ( 1). n n n 而级数收敛 1 1 n n u 级数发散时, 1 . n n u 不一定发散 1 1 n n 级数发散, 但是 因为 n u用这两种判别法是基于一般项不趋于零， n u从而也不趋于零， 1 . n n u 由此推出发散 至此，判别任意项级数的敛散性时，考虑步骤如下： (1)lim0, n n u 如果可判定级数发散;lim0, n n u 但若无法判断，另寻它法； (3) n S若是正项级数，考虑是否有上界；不好判断时可采用下法： (2)

8、lim nn n SS 如果好求，可利用求解； 需找 对比 级数 利用 自身 就可 nn uv： lim n n n u A v ： 把级数放缩，以找到对比级数； 找对比级数时，要把结果 尽量控制为非零常数； 1 lim n n n u r u ：1nn uu 级数通项，与 能约掉大部分的情况， !,2. n n如，含有等 lim n n n ur ：() . n 级数通项中含有 (相对放缩简单) 11 . nn nn uu 若级数收敛，则级数绝对收敛 (4)若是任意项级数，采用如下进行判断： 1 n n u 先考虑级数 的敛散性 (可利用正项 级数的判别法) 1 1 n n n n u u

9、若级数发散，且此结论是由比值或根值判别法 作出的，则级数发散； 1 . n n u 特别当是交错级数时，可考虑使用莱布尼兹判别法 1 1 n n n n u u 若级数发散，但不是由比值或根值判别法作出的， 则应直接考虑级数的敛散性. 1 1 ( 1) 1, n n n xx n 当时，级数收敛 1 ( 1) 6.3.2 n n x n 例讨论级数的敛散性. 解： 1 lim n n n u u 由于 1 11 ( 1)n n n nn x x nn 考虑 1 1 ( 1) 1 lim ( 1) n n n n n x n x n lim 1 n n x n ,x 1 1 ( 1) 1 n n

10、 n xx n 当时，级数发散； 1 1 ( 1) ; n n n x n 从而级数绝对收敛 1x 当时，另寻它法. 1x 综上，当时，原级数绝对收敛； 1 ( 1) 6.3.2 n n x n 例讨论级数的敛散性. 解：(接上) 1,x 当时1x 如果， 1 1 1 n n n （） 级数为 1,x 如果 条件收敛； 1 1 . n n 级数发散 1x 当时，原级数条件收敛； 11,.xx 当或时 级数发散 1 6.3.3. ( 1) (1) (1) n nn n 例判定下列级数是否收敛，并对收敛的级数，确定其收敛类型 ； 11 ( 1)1 1, (1)(1) n nnn nn n （） 考

11、虑 由于 解： 1 (1) lim 1 n n n n 1 1 . (1) nn n 所以级数发散 1 ( 1) (1) n nn n 级数是交错级数，满足 11 , (1)(1)(2)n nnn 1 ( 1) . (1) n nn n 所以,由莱布尼兹判别法知，级数收敛 1 lim0. (1) n n n 且 1 , n v n 取 lim (1) n n n n 1 1 1 n n 而级数发散, .从而原级数条件收敛 1 lim n n n u u 1 1 1 (2)( 1) 2 n n n n 考虑 1 1 6.3.3. 1 (2)( 1); 2 n n n n 例判定下列级数是否收敛，

12、并对收敛的级数，确定其收敛类型 解： 1 1 2n n n 1 2 lim (1) 2 n n n n n 1 2 1, 1 1 2n n n 所以级数收敛， 1 1 1 ( 1). 2 n n n n 即级数绝对收敛 1 ! (3)( 1) 10 n n n n 考虑 1 lim n n n u u 1 6.3.3. ! (3)( 1); 10 n n n n 例判定下列级数是否收敛，并对收敛的级数，确定其收敛类型 解： 1 ! 10n n n 1 (1)! 10 lim 10! n n n n n 1 lim 10 n n , 1 ( 1)! 10 n n n n 所以，级数发散， 1 (

13、 1)! . 10 n n n n 从而级数发散 后续内容简介 前面研究了常数项级数，以下将讨论最 一般的无穷级数函数项级数，函数 项级数的一类特殊情形是幂级数。 6.4 幂级数幂级数 6.4.1 函数项级数函数项级数 6.4.1定义 ( ) (1,2,) n uxnI设为定义在某实数集合 上的函数序列， 注意： 1、函数项级数与常数项级数的联系， 0 xxI当变量 取常数时， 0 1 (). n n ux 函数项级数变为常数项级数 12 1 ( )( )( )( ) nn n uxuxuxux 则称 ( ) n Iux为定义在 上的函数项无穷级数，其中为级数的通项。 00 1 2() n n xIux 、若对某点，级数收敛，注意： 0 1 ( ) n n uxx 则称级数在点处收敛， 0 x 为该函数项级数的收敛点； 0 1 () n n ux 若常数项级数发散， 0 1 ( ) n n uxx 则称级数在点处发散， 0 x 为该函数项级数的发散点。 1 3( ) n n ux 、函数项级数的所有收敛点