高中数学直线与方程知识点总结

1、精品教育直线与方程1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴l相交时,取x轴作为基准,x轴正向与 直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或 重合时，规定=0 .2、倾斜角a的取值范围：0 a 180 .当直线l与x轴垂直时,=90 .:3、直线的斜率：一条直线的倾斜角a ( a 90 )的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示也就是k = tan a当直线l与x轴平行或重合时，o=00 , k = tan0 =0;当直线l与x轴垂直时，= 90 , k不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式二给定两点p

2、1(x1,y1),p2(x2,y2),x1x2，用两点的坐标来表示直线 p1p2的斜率：斜率公式：k=y2-y1/x2-x1两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率.相等，那么它们平行，即lihq0二七注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果 k1=k2,那么一定有l1/l22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之,如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程直线的点斜式方不程：直线l经过点门p0(x0,y0),且斜率为ky

3、 v。 k(x xo)2、直线的斜截式 方程：已知直线l的斜率为k ,且与y轴的交点为(0,b)y kx b3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点p(xi,x2),p2(x2, y2)其中(x x2,yi y2)-可编辑-y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为a(a,0),与y轴的交点为b(0,b),其中 a 0,b 03.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程ax by c 0 (a,b不同时为0)lill?0 k1=qkk = -12、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.

4、3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标l1 : 3x+4y-2=0 l1: 2x+y +2=0p1p2:22 x2x2y2yi解方程组3x 4y 2 02x 2y 2 0得 x=-2, y=2所以li与l2的交点坐标为m (-2, 2)3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1 .点到直线距离公式：点 p(xo, yo)到直线 l : ax byc 0的距离为：dax。 byo c，a2 b22、两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线11和12的一般式方程为l1： ax by c1 0,l2ax by c2 0 ,贝以1与l2的距离为dc1 c2,a2

5、b2直线与方程公式整理(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方1向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0 a 180(2)直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，.它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直 线的斜率常用k表示。即k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0 ,90 时，k 0; 当 90 ,180 时，k 0; 当 90 时，k不 存在。过两点的直线的斜率公式：k 左一旦(x1 x2)x2 x注意下面四点：(1)当xi x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90 ；(2)k与p1、p

6、2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐 标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3)直线方程点斜式：y y k(x x1)直线斜率k,且过点 沏注意：当直线的斜率为0。时，k=0,直线的方程是y=y1o当直线，的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于xi,所以它的方程是x=xi。斜截式：y kx b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式：左士（ xix2,yiy2）直线两点xi,yi,x2, y2v2 yi x2 xi截矩式：3 y 1 a b其中直线l与x轴交于点（a,0），与y轴交于

7、点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距分别为a,b 0一般式：ax by c 0 （a, b不全为0）注意：各式的适用范围日特殊的方程如：平行于x轴的直线：y b （b为常数）；平行于y轴的直线：x a （a为常数）;（4）直线系方程：即具有.某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线a0x by c0 0 （a0,b。是不全为0的常数）的直线系：ax y c 0 （c 为常数）（二）过定点的直线系（i）斜率为k的直线系：y y。 kx x。，直线过定点x0,y。；（ii）过两条直线li：aix biy ci 0, i2: a?x b2y c2 0的交点的直线系方程为ax by cia2x

8、 b2y c2 0 (为参数),其中直线2不在直线系中。(5)两直线平行与垂直当 li : y kix 灯，i2 ： y k?x b2时，l2k1 k2,b1 b2;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否(6)两条直线的交点11 : a1x b1y c1 0 l2：a2x b2y c2 0 相交交点坐标,即方程组aix biy ci 0的一组解。b2y c20方程组无解li/l方程组有无数解li与l 2重合(7)两点间距离公式：设a(xi,yi), bx2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则 |ab| (x2 xi)2 (y2 yi)2(8)点到直线距离公式：一点pxo,

9、yo到直线li：ax by c 0的距离axo by。c d a2 b2(9)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。例i、在4abc中，已知a(5, 2)、b(7,3),且ac边的中点m在y轴上，bc边的中点n在x轴上，求：(1项点c的坐标;(2浒线mn的方程.解:(1股点c的坐标为(x,x+53+yy),则有-2= 0，-2=0，.x= 5, y= 3.即点 c 的坐标为(5, -3).(2)由题意知，m(0, 5), n(1,0),直线mn的方程为x-y= 1,252即 5x-2y- 5= 0.例 2、已知两点 a(-1,2), b(m,3)(1冰直线ab

10、的方程；(2)已知实数mc 坐-1, v3-1,求直线ab的倾斜角而取值范围. 3解：(1)当m= 1时，直线ab的方程为x=1,1当mw 1时，直线ab的方程为y-2 = (x+1).m+1冗(2当 m=1 时，a= 2;当mw 1时,m+1c 一岁 0)u(0,如31:k=(oom+1 九2综合知，直线ab的倾斜角衲取值范围为珞，3/解：建立如图所示直角坐标系，则 e(30,0), f(0,20),于是,例3、为了绿化城市，拟在矩形区域 abcd内建一个矩形草坪(如图所示), 另外， aef内部有一文物保护区不能占用，经测量 ab=100 m, bc= 80 m, ae = 30 m, af = 20 m,应如何设计才能使草坪面积最大？线段ef的方程是袤=1(0 x30), 30 20在线段ef上取点p(m, n),作pqlbc于点q, pr,cd于点r,设矩形pqcr的面积为s,则:s=| pq| - | pr| =(100 m)(80 n),m nm因