高考理科数学专题十：与球体有关的问题

1、 2016年高考数学专题十：与球体有关的问题一、高考趋势分析： 立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下 ，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。 二、基础知识点拨： 1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径 2正方体的内切球其棱长为球的直径 3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线 4正四面体的外接球与内切球的半径之比为31. 方法主要是“补体”和“找球心” 考试核心：性质的应用，构造直角三角形建立三者之间的关系。三、高考试题精练1.（2015高考

2、新课标2，理9）已知a,b是球o的球面上两点，aob=90,c为该球面上的动点，若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c【考点】外接球表面积和椎体的体积2(2015辽宁高考)已知直三棱柱abc a1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为()a.b2c. d3解析：选c如图，由球心作平面abc的垂线，则垂足为bc的中点m.又ambc，omaa16，所以球o的半径roa .3(2016长春模拟)若一个正四面体的表面积为s1，其内切球的表面积为s2，则_.解析：设正四面体棱长为a

3、，则正四面体表面积为s14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为s24r2，则.答案：4四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，e，f分别是棱ab，cd的中点，直线ef被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为()a9 b3c2 d12解析：选d该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为pc.由直线ef被球面所截得的线段长为2，可知正方形abcd对角线ac的长为2，可得a2，在pac中pc 2，球的半径r ，s表4r24()212.四、典型例题精析类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（

4、两题互换条件形成不同的题）1.15如图球o的半径为2，圆是一小圆，a、b是圆上两点，若a，b两点间的球面距离为，则= . （2015年理科）2.15如图球o的半径为2，圆是一小圆，a、b是圆上两点，若=，则a,b两点间的球面距离为 （2014年文科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。3.15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 。（2014年理科）析：欲求球的表面积，归根结底求球半径，与相关的是重要性质。aa1=2, 。现将问题转化到o2的半径之上。因为abc是o2的

5、内接三角形，又知ab=ac=2，bac=120，三角形可解。由余弦定理有，由正弦定理有 。4.14正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 8（2013年理科）5.12已知球的直径sc=4，a，b是该球球面上的两点，ab=，则棱锥sabc的体积为 c （2014年理科）a b cd16.（11）已知是球表面上的点，则球表面积等于 a （2015年文科）（a）4 （b）3 （c）2 （d）类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。7.15.设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .（2

6、015年文科）析：问题的解决根本求球半径。 与相关的重要性质中，可求（ ） 问题转化到求上充分运用题目中未用的条件，omc=45，于是求得，8.(11)已知平面截一球面得圆m，过圆心m且与成二面角的平面截该球面得圆n.若该球面的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为 d （2014年理科） (a)7 (b)9 (c)11 (d)139.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为c（2015文科）（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。10.13圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径

7、与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 4 cm（2010年理科）11.16长方体的顶点均在同一个球面上，则，两点间的球面距离为 .（2015年文科）12.14体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 （2009年文科）13.16已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_1/3_（2015年文科）14.15.如图，半径为r的球o中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . 类型五：平面几何性质在球中的

8、综合应用。15.（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 （2015年理科）析：由om=on知，m与no为等圆，根据球中的重要性质又mhab得h为ab中点，bh=ah=2 omh=onh=90mon=mhn由余弦定理有mn2=om2+on22omoncosmon mn2=mh2+nh22mhnhcos(mon)解得cosmon=，即mon=三角形omn为等边三角形， mn=3.类型六：性质的简单应用。16.(15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_16_.（2009年文科）17.（15）已知矩形的

9、顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 24 。（2011年理科）18.（9）高为的四棱锥s-abcd的底面是边长为1的正方形，点s、a、b、c、d均在半径为1的同一球面上，则底面abcd的中心与顶点s之间的距离为 c（2011年理科）（a） （b） (c)1 (d) 五、模拟试题精练1.（2015高考新课标2，理9）已知a,b是球o的球面上两点，aob=90,c为该球面上的动点，若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c2(2015辽宁高考)已知直三棱柱abc a1b1c1的6个顶点都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，则球o的半径为()a.b2c. d3答案：选c3(2016长春模拟)若一个正四面体的表面积为s1，其内切球的表面积为s2，则_.答案：4四棱锥pabcd的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，e，f分别是棱ab，cd的中点，直线ef被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为()a9 b3c2 d12答案：选d.5.如图所示，已知e，f分别是棱长为a的正方体abcda1b1c1d1的棱a1a，cc1的中点，则四棱锥c1b1edf的体积为_.答案(1)a36.已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，abc是边长为1的正三角形