第7章稳恒磁场3

1、1 磁畴图象磁畴图象 2 一、一、 电流电流 电流密度电流密度 1、电流、电流：大量电荷有规则的定向运动。大量电荷有规则的定向运动。 、电流强度、电流强度：单位时间内通过导体某横截面的电量：单位时间内通过导体某横截面的电量, ,即即 dt dq I 单位：单位：安培（安培（A A） 电流电流I 的方向：正电荷定向运动的方向的方向：正电荷定向运动的方向 传导电流传导电流: :自由电荷在导体中定向运动时形成的电流称为传导自由电荷在导体中定向运动时形成的电流称为传导 电流电流 运流电流运流电流: :由带电物体作机械运动时形成的电流称为运流电流由带电物体作机械运动时形成的电流称为运流电流 3 I 3、

2、电流密度、电流密度 用电流强度还不能细致地描述电流的分布。用电流强度还不能细致地描述电流的分布。 所谓分布不同是指所谓分布不同是指 在导体的不同地方单在导体的不同地方单 位面积中通过的电流位面积中通过的电流 不同。不同。 I 0 I 4 为了描述导体内各点的电流分布情况，引入电流密度为了描述导体内各点的电流分布情况，引入电流密度 大小：大小：等于通过与该点场强方向垂直的单位截面积上的电流等于通过与该点场强方向垂直的单位截面积上的电流 强度。强度。 方向：方向：与该点场强与该点场强E的方向相同的方向相同 单位：单位： Am2 、由电流密度求电流、由电流密度求电流 若若ds的法线的法线n与与J成成

3、角，则通过角，则通过ds的电流的电流 n ds dI j sdjjdsdI cos cos ss IjdSj dS n dS j j 即电流强度等于电流密度的通量。即电流强度等于电流密度的通量。 Sd n 5 二、二、 稳恒电场稳恒电场 1、电流的连续性方程、电流的连续性方程 通过某一封闭曲面的电流密度的通量为通过某一封闭曲面的电流密度的通量为 s sdjI 根据电荷守恒定律，单位时间内从封闭曲面流出的电量根据电荷守恒定律，单位时间内从封闭曲面流出的电量 （即电流）应等于该封闭曲面内电荷（即电流）应等于该封闭曲面内电荷q的减少率，即的减少率，即 dt dq sdj s 此式即为此式即为电流的连

4、续性方程。电流的连续性方程。 6 2、稳恒电流、稳恒电流 导体内各处电流密度不随时间变化的电流成称为导体内各处电流密度不随时间变化的电流成称为稳恒电流稳恒电流。 显然，在稳恒电流的情况下，在任意一段时间内，从封闭显然，在稳恒电流的情况下，在任意一段时间内，从封闭 曲面内流出的电量应和流入的电量相等，即通过任一封闭曲曲面内流出的电量应和流入的电量相等，即通过任一封闭曲 面的电流密度的通量应等于零，即有面的电流密度的通量应等于零，即有 0 s sdj 3、稳恒电场、稳恒电场 这就是说，对于稳恒电流，任一封闭曲面内的电量不随时这就是说，对于稳恒电流，任一封闭曲面内的电量不随时 间变化。由于上述封闭曲

5、面在导体内随处可取，所以，在稳间变化。由于上述封闭曲面在导体内随处可取，所以，在稳 恒电流的情况下，导体内各处电荷的分布不随时间改变。由恒电流的情况下，导体内各处电荷的分布不随时间改变。由 这种稳定的电荷分布产生的不随时间变化的电场称为这种稳定的电荷分布产生的不随时间变化的电场称为稳恒电稳恒电 场场。 7 显然，若电流密度在某区间是一个常数，则该区间形成稳恒显然，若电流密度在某区间是一个常数，则该区间形成稳恒 电场。电场。 稳恒电场不同于静电场稳恒电场不同于静电场： 1 1）这种电场不是静止的电荷产生的，而是在有电荷定向运）这种电场不是静止的电荷产生的，而是在有电荷定向运 动的情况下、由稳定分

6、布的电荷产生的。动的情况下、由稳定分布的电荷产生的。 2 2）维持这种电场需要能量）维持这种电场需要能量 （提供能量的装置称为电源）。（提供能量的装置称为电源）。 稳恒电场与静电场类似稳恒电场与静电场类似 同样满足高斯定理与环路定理。同样满足高斯定理与环路定理。静电场中的电势、电压等概静电场中的电势、电压等概 念都可应用于稳恒电场。念都可应用于稳恒电场。 8 、 非静电力与电源非静电力与电源 （1 1）非静电力：）非静电力： 能把正电荷从电势较低的点（如电源负极板）送到电势较高能把正电荷从电势较低的点（如电源负极板）送到电势较高 的点（如电源正极板）的作用力，称为的点（如电源正极板）的作用力，

7、称为非静电力，非静电力，记作记作 Fk。 三、三、 电动势电动势 A B A B A B A B A B + + + + - - - - + + + K E AB - - - q0+ k F 一段导体内的静电电势差一段导体内的静电电势差 不能维持稳恒电流，不能维持稳恒电流， 9 qFEk 非 （2 2）电源）电源 电源内部的电路称内电路。电源内部的电路称内电路。 、电源电动势、电源电动势 表示单位正电荷受到的非静电力称为非静电场强表示单位正电荷受到的非静电力称为非静电场强 提供非静电力的装置称为电源提供非静电力的装置称为电源 电动势的大小电动势的大小在数值上等于将单位正电荷从电源负极在数值上等

8、于将单位正电荷从电源负极 经由内电路搬至正极的过程中，非静电力所做的功，即经由内电路搬至正极的过程中，非静电力所做的功，即 l dEk 的单位与的单位与U相相同。同。 10 电动势的方向电动势的方向：电动势本身是标量，但为了便于应用，电动势本身是标量，但为了便于应用， 规定，由电源负极经由内电路指向正极的方向为电源电动规定，由电源负极经由内电路指向正极的方向为电源电动 势的方向。势的方向。 内电路内电路 l dEk 如果将上述积分对整个回路进行，由于在外电路中如果将上述积分对整个回路进行，由于在外电路中 故有故有 0 k E k L Edl 此定义对非静电力作用在整个回路上的情况适用。这时电此

9、定义对非静电力作用在整个回路上的情况适用。这时电 动势的方向与回路中电流的方向一致。动势的方向与回路中电流的方向一致。 电动势的另一种定义电动势的另一种定义 11 6.2.1 基本磁现象基本磁现象 1、自然磁现象、自然磁现象 磁性：磁性：具有能吸引铁磁物资具有能吸引铁磁物资(Fe(Fe、CoCo、NiNi）的一种特性。）的一种特性。 磁体：磁体：具有磁性的物体具有磁性的物体 磁极：磁极：磁性集中的区域磁性集中的区域 地磁：地磁：地球是一个大磁体。地球是一个大磁体。 451501070 965070 ，东东经经纬纬地地磁磁北北极极大大约约在在南南 ，西西经经纬纬地地磁磁南南极极大大约约在在北北

10、磁极不能分离，（正负电荷可以分离开）磁极不能分离，（正负电荷可以分离开） 12 地核每地核每400400年比年比 地壳多转一周地壳多转一周 据据 1 19 99 95 5 年年 4 4 月月 3 3 日日， 中中国国教教育育报报 报报道道，兰兰州州大大学学地地质质地地 理理教教授授对对我我国国黄黄土土高高原原的的古古地地磁磁进进行行考考察察时时，证证实实了了世世界界多多国国的的 发发现现：地地磁磁的的南南北北极极曾曾经经多多次次颠颠倒倒，在在大大颠颠倒倒间间隙隙、地地磁磁的的磁磁极极 有有不不断断漂漂移移的的历历史史。现现在在的的磁磁极极正正处处在在缓缓慢慢漂漂移移期期，暂暂时时还还不不会会

11、对对人人类类产产生生影影响响 地球的磁极每隔几地球的磁极每隔几 千年会发生颠倒千年会发生颠倒 13 、 磁现象起源于运动电荷磁现象起源于运动电荷 I 后来人们还发现磁电联系的例子有：后来人们还发现磁电联系的例子有： 磁体对载流导线的作用；磁体对载流导线的作用； 通电螺线管与条形磁铁相似；通电螺线管与条形磁铁相似； 载流导线彼此间有磁相互作用；载流导线彼此间有磁相互作用； 1819181918201820年丹麦物理学家奥斯年丹麦物理学家奥斯 特首先发现了电流的磁效应。特首先发现了电流的磁效应。18201820 年年4 4月，奥斯特做了一个实验，通月，奥斯特做了一个实验，通 电流的导线对磁针有作用

12、，使磁针电流的导线对磁针有作用，使磁针 在电流周围偏转。在电流周围偏转。 上述现象都深刻地说明了：上述现象都深刻地说明了： 磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系。磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系。 14 安培的分子电流假说安培的分子电流假说 、磁力、磁力 近代分子电流的概念：近代分子电流的概念： 轨道圆电流自旋圆电流分子电流轨道圆电流自旋圆电流分子电流 一切磁现象都起源于电流，任何物质的分子中都存在着环一切磁现象都起源于电流，任何物质的分子中都存在着环 形电流（分子电流），每个分子电流就相当于一个基元磁体，形电流（分子电流），每个分子电流就相当于一个基元磁体， 当这些分子电流作规则排列时，宏观

13、上便显示出磁性。当这些分子电流作规则排列时，宏观上便显示出磁性。 18221822年安培提出了用分子电流来解释磁性起源。年安培提出了用分子电流来解释磁性起源。 磁体与磁体间的作用；磁体与磁体间的作用； 电流与磁体间的作用；电流与磁体间的作用； 磁场与电流间的作用；磁场与电流间的作用； 磁场与运动电荷间的作用；磁场与运动电荷间的作用； 均称之为磁力。均称之为磁力。 15 1、磁场、磁场 1 1）磁力的传递者是磁场）磁力的传递者是磁场 2 2）磁场是由运动电荷所激发，参考系是观察者）磁场是由运动电荷所激发，参考系是观察者 3 3）磁场对外的重要表现）磁场对外的重要表现 电流电流( (或磁铁或磁铁)

14、 )磁场磁场电流电流( (或磁铁或磁铁) ) 静止电荷激发静电场静止电荷激发静电场 运动电荷可同时激发电场和磁场。运动电荷可同时激发电场和磁场。 (1)(1)磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用； (2)(2)载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作 功，表明磁场具有能量。功，表明磁场具有能量。 6.2.2 磁感应强度磁感应强度 磁场与电场一样、是客观存在的特殊形态的物质。磁场与电场一样、是客观存在的特殊形态的物质。 16 2、磁感应强度、磁感应强度 1 1）磁矩：）磁矩： 定义载

15、流线圈的面积定义载流线圈的面积S 与线圈中的电流与线圈中的电流I 的乘的乘 积为磁矩积为磁矩( (多匝线圈还要乘以多匝线圈还要乘以线圈匝数线圈匝数)，即，即 nSNIP m 式中式中N 为线圈的匝数，为线圈的匝数，n0为线圈的为线圈的 法线方向，法线方向，Pm与与I 组成右螺旋。组成右螺旋。 2 2）磁场方向：）磁场方向： I m P I m P B 使线圈磁矩处于使线圈磁矩处于稳定平衡稳定平衡位位 置时的磁矩的方向。置时的磁矩的方向。 17 3 3）磁感应强度的大小）磁感应强度的大小 m p M B max 磁感应强度的单位磁感应强度的单位 1 1特斯拉特斯拉10104 4高斯（高斯（1T1

16、T10104 4GSGS） 是试验线圈受到的最大磁力矩、是试验线圈受到的最大磁力矩、 是试验线圈的磁矩。是试验线圈的磁矩。 max M m P 18 1、磁力线、磁力线 常见电流磁力线：直电流，圆电流，通电螺线管的磁力线。常见电流磁力线：直电流，圆电流，通电螺线管的磁力线。 1 1）什么是磁力线？）什么是磁力线？ 2 2）磁力线特性）磁力线特性 6.2.3 磁通量磁通量 磁力线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。磁力线是环绕电流的闭合曲线，磁场是涡旋场。 任何两条磁力线在空间不相交。任何两条磁力线在空间不相交。 磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右螺旋法则。磁力线的环绕方向与电流方向之间遵守右

17、螺旋法则。 19 穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的穿过磁场中某一曲面的磁力线总数，称为穿过该曲面的磁磁 通量通量，用符号，用符号m表示。表示。 SdBd m m s B dS 2、磁通量、磁通量 S n B ds 20 6.2.4 磁场中的高斯定理磁场中的高斯定理 s sdB0 这说明这说明 i)i)磁力线是无头无尾的闭合曲线，磁力线是无头无尾的闭合曲线， ii)ii)磁场是无源场，磁场无磁单极存在。磁场是无源场，磁场无磁单极存在。 由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意闭合曲面 的总磁通量必为零。的总磁通量必为零。 2

18、1 2 sin,IdlIdl r dBk r 1 1）电流元的方向：）电流元的方向：为线段中为线段中 电流的方向。电流的方向。 I lId Bd r P 6.2.5 毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律 若磁场中，电流元若磁场中，电流元 到某点到某点P的矢径为的矢径为 ， 则电流元在则电流元在P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 的大小与的大小与 成正比，与成正比，与 经过小于经过小于 的角转到矢径的角转到矢径 的的 方向角的正弦成正比，与方向角的正弦成正比，与 的平方成反比，其方的平方成反比，其方 向为向为 的方向。的方向。 lId r Bd lId lId 180 rlId r r 22 2 2

19、）在（）在（SISI）制中）制中 ,10 4 17 0 AmTk 17 0 104 AmT 3 3）B 的方向的方向 dB Idl 与与r 组成的平面，且组成的平面，且 dB 与与dlr 同向。同向。 Bd P r lId I 23 整个载流导体在整个载流导体在P点的磁感应强度则是电流元在点的磁感应强度则是电流元在P点产生点产生 的的 dB 之矢量和之矢量和 0 3 4 LL Idlr BdB r 0 3 4 Idlr dB r 电流元在电流元在P点产生的磁感应强度的矢量式为点产生的磁感应强度的矢量式为 24 由由Idlr 确定电流元在确定电流元在 P点的点的 dB 的方向的方向 将将 d B

20、 向选定的坐标轴投影，然后分别求出向选定的坐标轴投影，然后分别求出 xx dBB yy dBB z dBB z 6.2.6 毕奥萨伐尔定律的应用毕奥萨伐尔定律的应用 25 1、载流直导线的磁场、载流直导线的磁场 解：取电流元解：取电流元Idl ，P点对电流点对电流 元的位矢为元的位矢为r，电流元在，电流元在P点产生的点产生的 磁感应强度大小为磁感应强度大小为 0 2 sin 4 Idl dB r 方向垂直纸面向里，且所有电流方向垂直纸面向里，且所有电流 元在元在P点产生的磁感应强度的方向点产生的磁感应强度的方向 相同，所以相同，所以 0 2 sin B 4 LL Idl dB r 26 设垂足

21、为设垂足为o, ,电流元离电流元离o点为点为l， op长为长为a，r 与与a 夹角为夹角为 sincos tanla 2 cos d dla cos a r 则则 0 2 sin B 4 LL Idl dB r 27 L I 4 0 12 0 sinsin 4 a I 2 1 cos 4 0 d a I 2 cos d a cos 2 2 cos 1 a cos a r 因为因为 sincos 2 cos d adl 0 2 sin B 4 LL Idl dB r 所以所以 28 关于关于 角的有关规定：角的有关规定： 长直电流的磁场长直电流的磁场 2 , 2 21 a I B 2 角增加的方

22、向与电流方向相同，则为正，反之，则为负角增加的方向与电流方向相同，则为正，反之，则为负 2 Po I 0, 0 21 2 Po I 0, 0 21 2 Po I 0, 0 21 29 半长直电流的磁场半长直电流的磁场 半长直电流：垂足与电流的一端重合，而直电流的另一段半长直电流：垂足与电流的一端重合，而直电流的另一段 是无限长。是无限长。 a I B 22 1 2 ,0 21 P I 0 I0 P 30 2、圆形电流轴线上的磁场、圆形电流轴线上的磁场 2 2 sin 4 0 r dl I dB 解：解： B d 在在垂垂直直于于由由 l d和和 r 组组成成的的平平面面上上。 B d 在在由由

23、 xr、 组组成成的的平平面面内内，并并且且和和 r 垂垂直直。 2 0 4r dlI I R 0 x dB / dB dB r lId / dB dB/ 0 dBB由于对称性由于对称性 31 3 2 0 2 3 0 24r IR dl r IR R 2 3 22 2 0 )( 2 xR IR B sin 4 2 2 0 R r dlI dl r R r I R 2 2 0 4 2 3 22 2 0 )(2xR IR R x dBBB 2 sin所以所以 即即 32 轴线上任一点轴线上任一点P的磁场的磁场 2 3 22 2 0 )( 2 xR IR B 圆电流中心的磁场圆电流中心的磁场 R I

24、 B 2 0 圆电流的中心的圆电流的中心的 R I B 22 1 0 1/n 圆电流的中心的圆电流的中心的 R I n B 2 1 0 33 3、载流直螺线管内部的磁场、载流直螺线管内部的磁场 均匀地绕在圆柱面上的螺旋线圈均匀地绕在圆柱面上的螺旋线圈 称为螺线管称为螺线管. .设螺线管的半径为设螺线管的半径为R R， 总长度为总长度为L L，单位长度内的匝数，单位长度内的匝数 为为n.n.若线圈用细导线绕得很密，若线圈用细导线绕得很密， 则每匝线圈可视为圆形线圈则每匝线圈可视为圆形线圈. .下下 面计算此螺线管轴线上任一场点面计算此螺线管轴线上任一场点 P P的磁感应强度的磁感应强度B.B.

25、在距在距P P点点l l处取一小段处取一小段dldl，则该小段上有，则该小段上有ndlndl匝线圈，对点匝线圈，对点P P而言，而言， 这一小段上的线圈等效于电流强度为这一小段上的线圈等效于电流强度为IndlIndl的一个圆形电流的一个圆形电流. .该该 圆形电流在圆形电流在P P点所产生的磁感应强度点所产生的磁感应强度dBdB的大小为的大小为 2 0 3 22 22 () R Indl dB Rl 方向与圆电流构成右手螺旋关系方向与圆电流构成右手螺旋关系. . 34 cotlR 整个载流螺线管在整个载流螺线管在P P点所产生的磁感应强度点所产生的磁感应强度B B的大小为的大小为 2 0 3

26、22 22 () R Indl BdB Rl 设螺线管轴线与从设螺线管轴线与从P P点到点到dldl处所引矢径处所引矢径r r之间的夹角为之间的夹角为，则，则 2 cscdlRd 2 2222 2 sin R Rlr r 2 2222 2 csc sin R RlR 即 2 1 2 000 213 22 2 (sin)(coscos) 222 () R Indl BnIdnI Rl 35 RL(1)(1)若若 0 BnI有 式中式中 和和 分别表示分别表示P P点到螺线管两端的连线与轴之间的点到螺线管两端的连线与轴之间的 夹角夹角. . 2 1 1 A(2)(2)对长直螺线管的端点，对长直螺线

27、管的端点， 点处磁感应强度点处磁感应强度B B的大小为的大小为 0 1 2 BnI 无限长载流直螺线管轴线上各点的磁场是匀强磁场无限长载流直螺线管轴线上各点的磁场是匀强磁场. . 长直螺线管端点轴线上的磁感应强度恰是内部磁感应强度的长直螺线管端点轴线上的磁感应强度恰是内部磁感应强度的 一半一半. . 36 例例6.16.1半径为半径为R R的薄圆盘均匀带电，总电量为的薄圆盘均匀带电，总电量为q.q.令此盘绕通过令此盘绕通过 盘心，且垂直于盘面的轴线匀速转动，角速度为盘心，且垂直于盘面的轴线匀速转动，角速度为.求：求：(1)(1)轴轴 线上距盘心线上距盘心O O为为x x的的P P点处的磁感应强

28、度点处的磁感应强度B B；(2)(2)圆盘的磁矩圆盘的磁矩Pm.Pm. 解解(1)(1)均匀带电薄圆盘绕轴线转动均匀带电薄圆盘绕轴线转动 产生的磁场可以看成由半径不同的产生的磁场可以看成由半径不同的 一系列同心载流圆环产生的磁场一系列同心载流圆环产生的磁场. .如如 图图9.169.16所示，在圆盘上任取一半径所示，在圆盘上任取一半径 为为r r，宽度为，宽度为drdr的圆环，此圆环所带的圆环，此圆环所带 的电量的电量 为圆为圆 盘的电荷面密度盘的电荷面密度. .当此圆环以角速度当此圆环以角速度 转动时，相当于一个面电流，其转动时，相当于一个面电流，其 电流大小为电流大小为 2 2, q dq

29、rdr R 2 2 q dIdqrdr R 37 该圆形电流该圆形电流dIdI在轴线上在轴线上P P点处产生的磁感应强度点处产生的磁感应强度dBdB的大的大 小为小为 23 00 223/22223/2 2()2() r dIqr dr dB rxRrx dBdB沿沿x x轴正向轴正向. .由于各同心圆环旋转时在由于各同心圆环旋转时在P P点处产生的点处产生的dBdB方方 向均相同，故均匀带电圆盘转动时在向均相同，故均匀带电圆盘转动时在P P点处产生的总磁感点处产生的总磁感 应强度应强度B B的大小为的大小为 322 00 2223/22 220 2 2 2()2 R qqr drRx BdB

30、x RrxR Rx B B的方向沿的方向沿x x轴正向轴正向. . 38 (2)(2)先求圆环的磁矩先求圆环的磁矩dPmdPm，其大小为，其大小为 3 2 2 m qr dPr dIdr R 圆盘的总磁矩圆盘的总磁矩PmPm，可以看成是半径不同的一系列同心载，可以看成是半径不同的一系列同心载 流圆环的磁矩流圆环的磁矩dPmdPm的叠加的叠加. .由于各同心载流圆环的磁矩由于各同心载流圆环的磁矩dPmdPm 方向相同，故圆盘的总磁矩方向相同，故圆盘的总磁矩PmPm的大小为的大小为 另外，实验室常用亥姆霍兹线圈获得均匀磁场，其结构另外，实验室常用亥姆霍兹线圈获得均匀磁场，其结构 为两个半径均是为两

31、个半径均是R R的同轴圆线圈，两圆中心相距为的同轴圆线圈，两圆中心相距为a a，且，且 a aR.R.可以证明，轴上中点附近的磁场近似于均匀磁场可以证明，轴上中点附近的磁场近似于均匀磁场. . 32 2 0 4 R mm qq PdPr drR R 39 6.3.1 安培环路定理安培环路定理 在静电场中在静电场中 0 L E dl 那么在稳恒磁场中那么在稳恒磁场中 ? L B dl r ld d I 1、安培环路定理、安培环路定理 在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B沿任一闭合回路沿任一闭合回路 L的线积分，等于穿过以的线积分，等于穿过以L为周界所围面积的

32、电流的代数和为周界所围面积的电流的代数和 的的0倍倍 , ,即即 0i L B dlI B的环流不为零，说明磁场是非保守场，是有旋场。的环流不为零，说明磁场是非保守场，是有旋场。 40 在垂直于导线的平面上任取一包围电流的闭合曲线在垂直于导线的平面上任取一包围电流的闭合曲线 L 、在无限长直线电流磁场情况下验证安培环路定理、在无限长直线电流磁场情况下验证安培环路定理 2 0 0 0 2 I dI sd LL B dlBcodlBr I 俯视放大图俯视放大图 ld r B d L B I L 41 cosl dBl dB rd r I o 2 d I 2 0 / cosl dBl dB dr r

33、 I o / / 2 d I 2 0 0 l l dB 当回路不包围电流时用同样方法可以证明，当回路不包围电流时用同样方法可以证明，B B在该回路上的在该回路上的 线积分为零。线积分为零。 可见，线积分与回路包围的电流有关，与回路的形状无关。可见，线积分与回路包围的电流有关，与回路的形状无关。 I r r d l d ld B B 42 （1 1）电流正、负号的规定：）电流正、负号的规定：I与与L成右螺旋为正，反之为负成右螺旋为正，反之为负 4 I 1 I 2 I 3 I 5 I L 右图，右图，I1与与L的绕向成右螺旋关系的绕向成右螺旋关系 取正号、取正号、I2、I3与与L的绕向成左螺旋关的

34、绕向成左螺旋关 系取负号，系取负号，I4、I5没有穿过没有穿过L 、对、对B的的 环路积分没有贡献。环路积分没有贡献。 I0 I L I 43 （2 2）正确理解安培环路定律应注意的两点：）正确理解安培环路定律应注意的两点： 安培环流定律只是说安培环流定律只是说B的线积分值只与穿过回的线积分值只与穿过回 路的电流路的电流 有关，而回路上各点的有关，而回路上各点的B值则与所有在值则与所有在 场电流有关。场电流有关。 如果没有电流穿过某积分回路，只能说在该回如果没有电流穿过某积分回路，只能说在该回 路上路上B的线积分为零，而回路上各点的的线积分为零，而回路上各点的B值不一定为值不一定为 零。零。

35、44 6.3.2 安培环路定理的应用安培环路定理的应用 利用利用安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的安培环流定理可以求某些具有特殊对称性的 电流分布电流分布的磁场。的磁场。 （1 1）首先要分析磁场分布的对称性；）首先要分析磁场分布的对称性； （2 2）选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线）选择一个合适的积分回路或者使某一段积分线 上上B为常数，或者使某一段积分线路上为常数，或者使某一段积分线路上B处处与处处与dl 垂垂 直；直； i l Il dB 0 （3 3）利用利用 求求B。 45 1、长直载流螺线管内的磁场分布、长直载流螺线管内的磁场分布 解：由对称性知，内部磁力线平行于轴线，

36、是一均匀场。因解：由对称性知，内部磁力线平行于轴线，是一均匀场。因 为螺线管是密绕的，没有漏磁；所以：为螺线管是密绕的，没有漏磁；所以：螺线管外部靠近螺线管外部靠近 中央部分的磁感应强度为零。中央部分的磁感应强度为零。 bcda Labcd B dlB dlB dlB dlB dlBab 取矩形闭合回路取矩形闭合回路abcd，按图中规定的回路绕向积分，则有按图中规定的回路绕向积分，则有 B a b cd ld 46 线圈单位长度上的匝数为线圈单位长度上的匝数为n , 则则 abnII i 00 nIB 0 0 BababnI 所以所以 47 2、环形载流螺线管内的磁场分布、环形载流螺线管内的磁

37、场分布 均匀密绕在环形管上的线圈形成环形螺线管，称均匀密绕在环形管上的线圈形成环形螺线管，称 为螺绕环为螺绕环.当线圈密绕时，可认为磁场几乎全部当线圈密绕时，可认为磁场几乎全部 集中在管内，管内的磁力线都是同心圆集中在管内，管内的磁力线都是同心圆.在同一在同一 条磁力线上，条磁力线上，B的大小相等，方向就是该圆形磁的大小相等，方向就是该圆形磁 力线的切线方向力线的切线方向. LL B dlBdlBL 计算管内任一点计算管内任一点P的磁感应强度的磁感应强度.在环形螺线管内在环形螺线管内 取过取过P点的磁力线点的磁力线L作为闭合回路，则有作为闭合回路，则有 式中式中L是闭合回路的长度是闭合回路的长

38、度. 48 设环形螺线管共有设环形螺线管共有N匝线圈，每匝线圈的电流为匝线圈，每匝线圈的电流为I，则闭合，则闭合 回路回路L所包围的电流强度的代数和为所包围的电流强度的代数和为NI.由安培环路定理，由安培环路定理， 得得 0 L B dlBLNI 即即 0 N BI L 当环形螺线管截面的直径比闭合回路当环形螺线管截面的直径比闭合回路L的长度小很多时，的长度小很多时， 管内的磁场可近似地认为是均匀的，管内的磁场可近似地认为是均匀的，L可认为是环形螺线可认为是环形螺线 管的平均长度管的平均长度.所以所以 即为单位长度上的线圈匝数，即为单位长度上的线圈匝数， 因此因此 N n L 0 BnI 49

39、 设载流导体为一设载流导体为一“无限长无限长”直圆柱形导体，半径为直圆柱形导体，半径为R R，电流，电流I I 均匀地分布在导体的横截面上，如图均匀地分布在导体的横截面上，如图9.20(a)9.20(a)所示所示. .显然，场显然，场 源电流对中心轴线分布对称，因此，其产生的磁场对柱体中源电流对中心轴线分布对称，因此，其产生的磁场对柱体中 心轴线也有对称性，磁力线是一组分布在垂直于轴线的平面心轴线也有对称性，磁力线是一组分布在垂直于轴线的平面 上并以轴线为中心的同心圆上并以轴线为中心的同心圆. .与圆柱轴线等距离处的磁感应强与圆柱轴线等距离处的磁感应强 度度B B的大小相等，方向与电流构成右手

40、螺旋关系的大小相等，方向与电流构成右手螺旋关系. . 3、“无限长无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布载流圆柱导体内外磁场的分布 图图9.209.20“无限长无限长”圆柱电流的磁场圆柱电流的磁场 现在计算圆柱体外任一点现在计算圆柱体外任一点 P P的磁感应强度的磁感应强度. .设点设点P P与与 轴线的距离为轴线的距离为r r，过，过P P点沿点沿 磁力线方向作圆形回路磁力线方向作圆形回路L L， 则则B B沿此回路的环流为沿此回路的环流为 50 2 LLL B dlBdlBdlrB 0 2 rBI 上式说明，上式说明，“无限长无限长”载流圆柱体外的磁场与载流圆柱体外的磁场与“无限长无限长”载流

41、载流 直导线产生的磁场相同直导线产生的磁场相同. . 2 0 2 2 L I B dlrBr R 0 () 2 I BrR r 圆柱体内任一点圆柱体内任一点Q Q的磁场的磁场: : 0 2 () 2 Ir BrR R 51 例例6.2如图如图9.21所示，一无限大导体薄平板垂直于所示，一无限大导体薄平板垂直于 纸面放置，其上有方向指向读者的电流，面电流密纸面放置，其上有方向指向读者的电流，面电流密 度度(即通过与电流方向垂直的单位长度的电流即通过与电流方向垂直的单位长度的电流)到处到处 均匀，大小为均匀，大小为i，求其磁场分布，求其磁场分布. 图图9.21无限大平面电流的磁场分布无限大平面电流

42、的磁场分布 52 解无限大平面电流可看成是由无限多根平行排列解无限大平面电流可看成是由无限多根平行排列 的长直电流的长直电流dI所组成所组成.先分析任一点先分析任一点P处磁场的方向，处磁场的方向， 如图如图9.21(a)所示，在以所示，在以OP为对称轴的两侧分别取宽为对称轴的两侧分别取宽 度相等的长直电流度相等的长直电流dI1和和dI2，则，则dI1dI2，故它们在，故它们在 P点产生的元磁感应强度点产生的元磁感应强度dB1和和dB2相叠加后的合磁相叠加后的合磁 场场dB的方向一定平行于电流平面，方向向左的方向一定平行于电流平面，方向向左.由此可由此可 知，整个平面电流在知，整个平面电流在P点

43、产生的合磁场点产生的合磁场B的方向必然的方向必然 平行电流平面向左平行电流平面向左.同理，电流平面的下半部空间同理，电流平面的下半部空间B 的方向为平行电流平面向右的方向为平行电流平面向右.又由于电流平面无限大，又由于电流平面无限大， 故与电流平面等距离的各点故与电流平面等距离的各点B的大小相等的大小相等. 53 根据以上所述的磁场分布的特点，过根据以上所述的磁场分布的特点，过P点作矩形回点作矩形回 路路abcda，abcdl，如图，如图9.21(b)所示，其中所示，其中ab和和 cd两边与电流平面平行，而两边与电流平面平行，而bc和和da两边与电流平面两边与电流平面 垂直且被电流平面等分垂直

44、且被电流平面等分.该回路所包围的电流为该回路所包围的电流为li， 由安培环路定理可得由安培环路定理可得 0 bcda Labcd B dlB dlB dlB dlB dlli 于是于是 0 2Blli 0 1 2 Bi 这一结果说明，在无限大均匀平面电流两侧的磁场这一结果说明，在无限大均匀平面电流两侧的磁场 是匀强磁场，且大小相等、方向相反是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在其磁感应线在 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系. 54 6.4.1 安培定律安培定律 在在SISI制中制中 k= =1 一段电流元一段电流元Idl在磁场中所受的力在磁场中所

45、受的力dF，其大小与电，其大小与电 流元流元Idl成正比，与电流元所在处的磁感应强度成正比，与电流元所在处的磁感应强度B成正成正 比，与电流元比，与电流元Idl和和B的夹角的正弦成正比，即的夹角的正弦成正比，即 sin(, )dFkBIdlIdl B dF的方向：右螺旋法则的方向：右螺旋法则 BlIdFd 与与方向相同方向相同 BlIdFd 即即 55 I max F B I B B I F 垂直纸面向内垂直纸面向内I与与B B垂直、垂直、F最大最大I与与B B平行、平行、F为零为零 安培定律的积分形式安培定律的积分形式 L BlIdF 这是矢量积分。一般情况下把它们分解到不同方向上，求每这是

46、矢量积分。一般情况下把它们分解到不同方向上，求每 一方向的分力，最后再求总的合力。如一方向的分力，最后再求总的合力。如 l xx dFF l yy dFF l zz dFF kFjFiFF zyx 56 I1 I2 a C D 6.4.2 无限长两平行载流直导线间的相互作用力无限长两平行载流直导线间的相互作用力 电流单位电流单位“安培安培” 的定义的定义 如图、导线如图、导线C和和D载有方向相同的电流，载有方向相同的电流，C、D两导线的距离为两导线的距离为a 则则D上的电流元上的电流元I2dl2 受受C的电的电 流磁场流磁场B1 1的作用力的作用力df2垂直于导垂直于导 线线D，方向指向，方向

47、指向C a I B 2 10 1 df2的大小为的大小为 2 210 2212 2 90sindl a II dlIBdf 导线上单位长度受力大小为导线上单位长度受力大小为 a II dl df 2 210 2 2 B1 df2 I2dl2 I1dl1 df1 B2 57 同理，导线同理，导线C上单位长度受力大小为：上单位长度受力大小为： a II dl df 2 210 1 1 方向指向导线方向指向导线D。 由此可见，两导线电流方向相同时互相吸引，电流由此可见，两导线电流方向相同时互相吸引，电流 方向相反时互相排斥。方向相反时互相排斥。 单位长度载流导线所受力为单位长度载流导线所受力为 0

48、1 2 2 I I f a 58 “安培安培”的定义的定义 因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安因真空中两平行长直导线电流之间单位长度所受安 培力的大小培力的大小 a II a II f 21 7 210 102 2 4 规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有规定：放在真空中两条无限长的载流平行导线通有 相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线相等的稳恒电流，当两导线相距一米、每一根导线 每一米长度受力每一米长度受力2 21010-7 -7牛顿时，每根导线上的电流 牛顿时，每根导线上的电流 为一安培。即为一安培。即 )( 1 104 102 2 1 2 7 7 0 21 A

49、dl df aIII 59 例例6.3载有电流载有电流I1的长直导线旁边有一与长直导线的长直导线旁边有一与长直导线 垂直的共面导线，载有电流垂直的共面导线，载有电流I2.其长度为其长度为l，近端与长，近端与长 直导线的距离为直导线的距离为d，如图，如图9.25所示所示.求求I1作用在作用在l上的力上的力. 0 1 2 I B r 解在解在l上取上取dl，它与长直导线距离为，它与长直导线距离为r，电流，电流I1在此在此 处产生的磁场方向垂直向内、大小为处产生的磁场方向垂直向内、大小为 dl受力受力 2 dFI dlB 60 方向垂直导线方向垂直导线l向上，大小为向上，大小为 所以，所以，I1作用

50、在作用在l上的力方向垂直导线上的力方向垂直导线l向上，大小为向上，大小为 0 1 20 1 2 22 I I dlI I dr dF rr 0 1 20 1 2 ln 22 d l ld I I drI Idl FdF rd 61 1 1、均匀磁场对载流线圈的作用、均匀磁场对载流线圈的作用 11 sinFB Il 11 1 sin() sin FB Il B Il 6.4.3 磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用 如图所示，设在磁感应强度为如图所示，设在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性的均匀磁场中，有一刚性 矩形线圈，线圈的边长分别为矩形线圈，线圈的边长分别为l1、l2，电流强度为，电

51、流强度为I.当线圈当线圈 磁矩的方向磁矩的方向n与磁场与磁场B的方向成的方向成角角(线圈平面与磁场的方向线圈平面与磁场的方向 成成角，角， )时，由安培定律，导线时，由安培定律，导线bc和和da所受的安所受的安 培力分别为培力分别为 2 62 这两个力在同一直线上，大小相等而方向相反，其这两个力在同一直线上，大小相等而方向相反，其 合力为零合力为零.而导线而导线ab和和cd都与磁场垂直，它们所受的都与磁场垂直，它们所受的 安培力分别为安培力分别为F2和和F2，其大小为，其大小为 222 FFB l 如图如图9.26(b)所示，所示，F2和和F2大小相等，方向相反，但大小相等，方向相反，但 不在

52、同一直线上，形成一力偶不在同一直线上，形成一力偶.因此，载流线圈所受因此，载流线圈所受 的磁力矩为的磁力矩为 11 22 1 2 coscos 22 coscossin ll MFF BIl lBISBIS 式中式中Sl1l2表示线圈平面的面积表示线圈平面的面积. 63 如果线圈有如果线圈有N N匝，那么线圈所受磁力矩的大小为匝，那么线圈所受磁力矩的大小为 sinsin m MNBISP B 式中式中PmNIS就是线圈就是线圈磁矩磁矩的大小的大小.磁矩是矢量，用磁矩是矢量，用 Pm表示，所以写成矢量式为表示，所以写成矢量式为 mMPB M的方向与的方向与PmB的方向一致的方向一致. 64 2

53、BP m BPM m max 0BPm / M0 稳定平衡稳定平衡 BP m / M0 非稳定平衡非稳定平衡 磁感应强度的大小磁感应强度的大小 m p M B max 磁场方向：磁场方向：使线圈磁矩使线圈磁矩 处于处于稳稳定平衡定平衡位置时的位置时的 磁矩的方向磁矩的方向 B + + Pm B + + Pm 65 * *2 2、非均匀磁场对载流线圈的作用、非均匀磁场对载流线圈的作用 如果平面载流线圈处在非均如果平面载流线圈处在非均 匀磁场中，由于线圈上各个匀磁场中，由于线圈上各个 电流元所在处的电流元所在处的B B在大小和在大小和 方向上都不相同，各个电流方向上都不相同，各个电流 元所受到的安

54、培力的大小和元所受到的安培力的大小和 方向一般也都不同，因此，方向一般也都不同，因此， 线圈所受的合力和合力矩一线圈所受的合力和合力矩一 般也不会等于零，所以线圈般也不会等于零，所以线圈 除转动外还要平动除转动外还要平动. . 图图9.27非匀强磁场中非匀强磁场中 的载流线圈的载流线圈 66 设一均匀磁场设一均匀磁场B垂直纸面向外，闭合回路垂直纸面向外，闭合回路abcd的边的边ab可以可以 沿沿da和和cd滑动，滑动，ab长为长为l，电流，电流I，ab边受力边受力 lBIF 方向向右方向向右 ab边运动到边运动到a/b/位置位置时作的功时作的功 AF aaBI l aaIB SI 即即功等于电

55、流乘以磁通量的增量。功等于电流乘以磁通量的增量。 AI 6.4.4 磁力的功磁力的功 1 1、载流导线在磁场中运动时磁力所做的功、载流导线在磁场中运动时磁力所做的功 在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以在匀强磁场中当电流不变时，磁力的功等于电流强度乘以 回路所环绕面积内磁通的增量回路所环绕面积内磁通的增量 即即 F l a b c d I F a/ b/ B 67 2 2、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功、载流线圈在磁场中转动时磁力矩所做的功 设线圈在磁场中转动微小角度设线圈在磁场中转动微小角度d 时，使线圈法线时，使线圈法线n与与B之间的夹角从之间的夹角从 变为变为+ d,

56、 ,线圈受磁力矩线圈受磁力矩 sin BISM 则则M作功，使作功，使减少，减少，所以磁力矩的功为负值，即所以磁力矩的功为负值，即 coscosBIS d()I d(BS)I d 当线圈从当线圈从1位置角转到位置角转到2位置角时磁力矩作功位置角时磁力矩作功 2 1 AI d B / 2 f 2 f m P d sindAM dBISd 68 其中其中1、2分别是在分别是在1位置和位置和2位置时通过线圈的磁通量。当位置时通过线圈的磁通量。当 电流不变时，电流不变时， 2 1 21 ()AI dI 在匀强磁场中，一个任意载流回路在磁场中改变位置或改变在匀强磁场中，一个任意载流回路在磁场中改变位置或

57、改变 形状时，磁力的功（或磁力矩的功）亦为形状时，磁力的功（或磁力矩的功）亦为 AI 3 3、对于变化的电流或非匀强场、对于变化的电流或非匀强场 2 1 AId 2 1 MdA或或 69 例例6.4载有电流载有电流I的半圆形闭合线圈，半径为的半圆形闭合线圈，半径为R，放，放 在均匀的外磁场在均匀的外磁场B中，中，B的方向与线圈平面平行，如的方向与线圈平面平行，如 图图9.30所示所示.(1)求此时线圈所受的力矩大小和方向；求此时线圈所受的力矩大小和方向； (2)求在这力矩作用下，当线圈平面转到与磁场求在这力矩作用下，当线圈平面转到与磁场B垂直垂直 的位置时，磁力矩所做的功的位置时，磁力矩所做的

58、功. 图图9.30 解解(1)线圈的磁矩线圈的磁矩 2 2 mPISnIR n 在图示位置时，线圈磁矩在图示位置时，线圈磁矩Pm的方的方 向与向与B垂直垂直. 70 图示位置线圈所受磁力矩的大小为图示位置线圈所受磁力矩的大小为 磁力矩磁力矩M的方向由的方向由PmB确定，为垂直于确定，为垂直于B的方向向上的方向向上. 也可以用积分计算也可以用积分计算 2 1 sin 22 m MP BIBR (2)计算磁力矩做功计算磁力矩做功. 22 21 11 ()(0) 22 AIII BRIB R 00 02 22 2 1 sincos| 2 mm AMdP BdP BIB R 71 6.5.1 洛仑兹力

59、洛仑兹力 1 1、安培力的微观本质、安培力的微观本质 安培力是运动电荷受到的磁场力的集体宏观表安培力是运动电荷受到的磁场力的集体宏观表 现。现。 金属中的自由电子受到磁场力作用不断地与晶金属中的自由电子受到磁场力作用不断地与晶 格发生碰撞格发生碰撞, ,把动量传递给导体把动量传递给导体, ,从宏观来看从宏观来看, ,这就这就 是安培力。是安培力。 72 S 2 2、洛仑兹力公式、洛仑兹力公式 安培定律安培定律 BlIdFd 从微观看从微观看, ,电流为电流为 qnvs dt dQ I v v v v v v v v v vdtdl 73 Bl dqnvsFd )(Bvqnsdl )(所以所以

60、电流元中带电粒子数电流元中带电粒子数 nsdldN 因此因此, ,每个运动电荷所受磁力为每个运动电荷所受磁力为 dFqnsdlvB fqvB dNnsdl 即洛仑兹力公式为即洛仑兹力公式为 fqvB f v 和和B所组成的平面所组成的平面, ,即即 f恒恒v, ,故故洛仑兹力洛仑兹力 对运动电荷不做功。对运动电荷不做功。 74 v B f B f v 在磁场方向和运动方向都相同时，正、负电荷在磁场方向和运动方向都相同时，正、负电荷 受力方向不同受力方向不同 75 如果带电粒子在同时存在电场和磁场的空间运动如果带电粒子在同时存在电场和磁场的空间运动 时，则其所受合力为时，则其所受合力为 Fq E