全等三角形与角平分线

1、第四讲全等三角形与角平分线【知识回顾】1、全等三角形的性质与判定2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】1.如图，四边形abcd中，/bad= / bcd=90 , ab=ad，若四边形 abcd的面积为24cm2, 则ac长是cm.2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc的两边分别在x轴和y轴上，oa=10cm ,oc=6cm . f 是线段oa上的动点，从点 o出发，以1cm/s的速度沿oa方向作匀速运动，点 q在线段 ab上.已知a、q两点间的距离是 o、f两点间距离的a倍.若用（a, t）表示经过时间t （s）时， ocf、 faq acbq中有两个三角形全等.请写出（a, t）的所

2、有可能情况.3 .如图，已知 abc三个内角的平分线交于点 o,延长ba到点d,使ad=ao，连接do , 若 bd=bc , / abc=54 ,贝u/ bca 的度数为 .4 .如图所示， ab=ac , ad=ae , / bac= / dae, / 1=24, / 2=36, 则/ 3=.6 .如图，点 d 在 bc 上，delab 于点 e, dflbc 交 ac 于点 f, bd=cf , be=cd .若 zafd=145，贝u/ edf=.7 .如图，已知五边形 abcde 中，/ abc= zaed=90 , ab=cd=ae=bc +de=2 ,贝u五边形 abcde的面积

3、为.8.如图，在5x5的正方形网络，在网格中画出点f,使得 def与4abc全等，这样的格点三角最多可以画出 个.9 .如图，o是 abc内一点，且o到三边 ab、bc、ca的距离 of=od=oe ,若/ bac=70 , / boc=.10 .如图， abc的周长是12, ob、oc分别平分/ abc和/ acb , od，bc于d,且 od=3,则4 abc的面积是 .11 .如图，oc 平分/ aob , / aoc=20 , p 为 oc 上一点，pd=pe, odoe, zope=110,则/ odp=12 .如图， abc中，/ a=60 , ab ac ,两内角的平分线 cd、

4、be交于点o, of平分 zboc 交 bc 于 f, (1) / boc=120 ; (2)连 ao ,则 ao 平分/ bac ; (3) a、o、f 三 点在同一直线上，(4) od=oe , (5) bd+ce=bc.其中正确的结论是 (填序 号).13 .如图1,已知 abc中，ab=ac , / bac=90 ,直角/ epf的顶点p是bc中点，两 边pe、pf分别交ab、ca的延长线于点 e、f.(1)求证：ae=cf;(2)求证： epf是等腰直角三角形;(3)求证:(4)求证:/ fea + /pfc=45;sapfc- sa pbejszx abc .14.如图， aco为

5、等腰直角三角形.(1)若c (- 1, 3),求a点坐标；(2)过 a 作 aelac,若/ feo=/coe,求/ eof 的度数；(3)当4aco绕点o旋转时，过 c作cn，y轴，m为ao的中点，/ mno的大小是否 发生变化？15 .如图，在 abc中，d是边bc上一点，ad平分/ bac ,在ab上截取 ae=ac ,连 接de,已知 de=2cm, bd=3cm ,求线段 bc的长.16 .如图，在四边形 abcd 中，ac 平分/ dae , da / ce, ab=cb .(1)试判断be与ac有何位置关系？并证明你的结论；(2)若/ dac=25 ,求/ aeb 的度数.17

6、.如图，在 abc中，ad平分/ bac,请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证:/cba、ad、be交于点p.求18 .如图，4abc 中，zc=60, ad, be 分别平分/ cab, 证：(1) / apb=120 ;(2)点p在/ c的平分线上；(3) ab=ae +bd.19. (1)如图1，在 abc中，/ abc= zacb , ab的垂直平分线交 ab于点n,交bc 的延长线于点 m,若/ bac=40 ,求/ amb的度数；(2)如图1，如果将(1)中的/ bac的度数改为70,其余条件不变，再求/ amb的 度数.20.在 abc 中，ad 是/ bac的平分线.

7、(1)如图，求证:(2)(3)如图，若如图，若bd=cd ,求证：ab=ac ;ab=5 , ac=4 , bc=6.求 bd 的长.三.【作业】1 .石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量 花园面积为 平方米.ab=20 米，/ dec=90 , / ecd=45 ,则该点 d满足以a、b、d为顶点的三角形与4.在直角坐标系中，如图有 abc ,现另有 abc全等，则d点坐标为.sa abc =6.如图，ad是abc的角平分线，dfab, 积分别为50和38,则4 edf的面积为 垂足为 f, de=dg , adg和 aed的面2 .如图，在 abc中，ab=ac , / bac=90 ,

8、 ae是过 a点的一条直线， ce ae于 巳 bdlae 于 d, de=4cm, ce=2cm ,贝u bd=.3 .如图，在 rtaabc中，ac=bc , /c=90, ab=8，点f是ab边的中点，点 d、e分 别在ac、bc边上运动，且保持 ad=ce ,连接de、df、ef .在此运动变化的过程中，下列结论中正确的结论是 (1) dfe是等腰直角三角形；(2)四边形cdfe不可能为正方形；(3) de长度的最小值是4;(4)四边形cdfe的面积保持不变；(5) cde面积的最大值为 4.5 .如图所示，在 abc 中，/ a=90 , bd 平分/ abc , ad=2cm ,

9、ab+bc=8,7.如图，在 abc 中，/ abc=90 . ab=bc , a (4, 0), b (0, 2)圄1图2图3(1)如图1,求点c的坐标；(2)如图2, bc交x轴于点 m , ac交y轴于点n ,且bm=cm ,求证：/ amb= / cmn ;(3)如图3,若点a不动，点b在y轴的正半轴上运动时，分别以 ob、ab为直角边在第 一、第二象限作等腰直角 bof与等腰直角 abe,连接ef交y轴于p点，问当点b在y 轴正半轴上移动时，bp的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.8 .如图，在4abc中，已知/ b= zc, ab=ac=10厘米，bc=8厘米

10、，点d为ab的中点.点p在线段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点 q在线段ca上由c点向 a点运动.(1)若点q的运动速度与点 p的运动速度相等，则经过 1s, 4bpd与4cqp是否全等？ 请说明理由；(2)若点q的运动速度与点 p的运动速度不相等， 当点q的运动速度为多少时， 能够使9 .如图，ad / bc, / d=90 .(1)如图1,若/ dab的平分线与/ cba的平分线交于点 p,试问：点p是线段cd的中 点吗？为什么？10 .观察、猜想、探究：在 abc 中，/ acb=2 zb.(1)如图 ，当/ c=90 , ad为/ bac的角平分线时，求证： ab=a

11、c +cd;(2)如图，当/ cw90, ad为/ bac的角平分线时，线段 ab、ac、cd又有怎样的 数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图，当ad为 abc的外角平分线时，线段ab、ac、cd又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.图 图 图参考答案与试题解析.解： 当cof和4faq全等时,(1, 4), (l, 5), (0, 10) boc=af , of=aq 或 oc=aq , of=af ,. oc=6, of=t , af=10 - t, aq=at,代入得：j,一。一,或j ,一社+，解得：t=4, a=1,t=at1t = 10-t或

12、t=5 , a=l, . (1,4) , (l, 5);同理当 faq 和 cbq 全等时，必须 bc=af , bq=aq , 5s10=10-t, 6- at=at,此时不存在； 因为 cbq最长直角边 bc=10,而 cof的最长直 角边不能等于10,所以 cof和4bcq不全等，f, q, a三点重合，此时 cof和4 cbq 全等，此时为(0, 10)故答案为：(1, 4), (, 5), (0, 10).53.42 , 4. 60 . 5. dcb 、 / dcb , 6. 55 . 7. 4 ,解：延长 de 至 f,使 ef=bc,连 ac, ad , af , ab=cd=a

13、e=bc +de, zabc= / aed=90 ,sabcde =2saadf=2 xi-?df?ae=2 xyx 2x 2=4.由题中条件可得 rtaabc rtaaef , acda afd ,8.4 个.9.125 . 10.18 . 11 .130 , 12. (1) (2)(4) (5)(填序号).15 .解： ad 平分/ bacbad= z cad /. adea adc (sas) . de=dc bc=bd +dc=bd +de=2 +3=5 (cm).16 . (1)答：be 垂直平分 ac,证明：.ac 平分/ dae,dac= / eac ,. da / ce,/ d

14、ac= / ace,/ ace= / eac ,ea=ec , . e 在 ac 的垂直平分线上，. ab=cb，.二b在ac的垂直平分线上， be垂直平分 ac;(2)解： ac 是/ dae 的平分线，dac= / cae=25 ,又: da / e ./ dac= / ace=25cae= / ace=25 ，ae=ce , / aec=130 ,aebaceb, ./ aeb= /ceb, . / aeb=_l (360 /aec) =115.217 .面积法18 .证明：(1)c=60, ad、be 是abc 的角平分线，/abp/abc , / bap/bac, . / bap+/

15、mbp=工(/ abc+/bac ) =l (1802222-/ c) =60 , .apb=120 ;(2)如图 1,过 p作 pfab, pg lac, phxbc, ad, be 分别平分/ cab , / cba , .pf=pg, pf=ph,ph=pg, .点 p 在 /c 的平分线上;(3)如图2,在 ab上取点 m使am=ae ,连接pm / ad是/ bac的平分线， ./ pam=/pae, ampaaep, . / apm= / ape=180 - / apb=60 ,.z bpm=180 - (/apm+/ape) =60, z bpd= z ape=60 , . .

16、/ bpm= / bpd ,. be 是 / abc 的角平分线，./ mbp=/dbp, /.a bom bod , .bm=bd , .1. ab=am +bm=ae +bd .19.解：. / abc= /bac=40abc=70ab的垂直平分线交 ab于点n,交 bc 的延长线于点 m, am=bm , . bam= / abc=70 , . . / amb=180abc - /bam=40 ;(2) / abc= / acb, / bac=70 ,/ abc=55ab 的垂直平分线交 ab 于点 n ,交 bc 的延长线于点 m, am=bm , . bam= / abc=55 ,/

17、 amb=180 - / abc - / bam=70 .20.解：（1）如图，证明：作del ab于e,dfxac 于 f,ad是/ bac的平分线,.de=df二-m3md gc,dfabac(2) bd=cd ,saabd=saacd 由(1)的结论s&abd absaacd k如图，过a作aebc,垂足为巳曲夺山a* sdkae2典由（1）的结论汉典当，.盟q至saacd dcsaacd ac dc ac 4200 . 2. 6cm . 3. (1).4. （2016片安模拟）在直角坐标系中，如图有 顶点的三角形与 abc全等，则d点坐标为abc ,现另有一点d满足以a、b、d为(0,

18、 - 2)或(2, - 2)或(2, 2)5.8cm2 . 6.6 .7 .解：(1)作 cd bo, . / cbd+z abo=90 , / abo + z bao=90 , . . / cbd= / bao , aboa bcd (aas), . bd=ao=4 , cd=bo=2 , .c 点坐标(2, -2);(3)作 egy 轴， . / bao+/oba=90 , / oba + z ebg=90 , ./ bao= / ebg, baoa ebg (aas), .bg=ao, eg=ob, ob=bf , . . bf=eg , . egpa fbp (aas ), .pb=p

19、g ,.pb=ybg=yao=2 .8 .解：（1）点q的运动速度与点 p的运动速度相等，经过 1秒后， bpd与4cqp全等,理由是：ab=ac=10 厘米，点 d 为 ab 的中点，/ b=/c, bd=5 厘米，: bp=cq=3t厘米=3 厘米，cp=8 厘米-3 厘米=5 厘米=bd,. dbpa pcq （sas）;（2）设当点q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使 bpd与4cqp全等，,. bd=5 厘米，bp=3t 厘米，cp= （83t）厘米，cq=xt 厘米，/ b=/c,当 bp=cq, bd=cp 或 bp=cp, bd=cq 时， bpd 与 cqp 全等，

20、即 3t=xt, 5=8 一3t,解得：x=3 （不合题意，舍去），3t=8 - 3t, 5=xt,解得：1 r即当点q的运动速度为 二厘米/时时，能够使 bpd与4cqp全等.49.解：（1）点p是线段cd的中点.理由如下：过点 p作pexab于e,. ad / bc, z d=90 , .c=180 -z d=90 ,即 pcx bc, / dab 的平分线与/ cba的平分线交于点 p, pd=pe, pc=pe, pc=pd, .点p是线段cd的中点；(2)过点 p 作 pel ab 于 e, . ad/bc, /d=90 ,，/c=180-/ d=90,即 pcxbc. .pbea

21、pbc (aas ), ./ epb=/cpb=35, pe=pc, / pc=pd, . pd=pe , .rpad rtapae (hl) , ./ apd= /ape , / apd+ /ape=1802 x35=110,/ apd=55 , ./ pad=90 / apd=35 .10.解：(1)过d作de lab,交ab于点e,如图1所示，: ad为/ bac的平分线， dcxac , dexab ,. de=dc ,在 rtaacd 和 rtaaed 中，ad=ad , de=dc , . rta acd rtaaed (hl), . ac=ae , / acb= / aed ,

22、. /acb=2/b,，/aed=2/b, 又 / aed= / b+z edb , . / b= / edb , . be=de=dc ,贝u ab=be +ae=cd +ac ;(2) ab=cd +ac,理由为：在 ab上截取 ag=ac ,如图2所示，. ad 为 / bac 的平分线，./ gad=/cad, /.a adg adc (sas), . cd=dg , / agd=/acb, . /acb=2/b, . . / agd=2 / b ,又/ agd= / b+/gdb ,/ b=z gdb , be=dg=dc ,贝u ab=bg +ag=cd +ac ;(3) ab=cd - ac,理由为：在 af上截取ag=ac ,如图3所示，: ad为/ fac的平分 线，./ gad= / cad, adg aacd (sas),，cd=gd , / agd= / acd ,即/ acb= /fgd, . /acb=2/b, . . / fgd=2 / b,又/ fgd= / b+/gdb ,/ b=z gdb , bg=dg=dc ,贝u ab=bg ag=cd ac .13.证明：(1