八年级数学竞赛辅导讲义

1、本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于 120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次， 由任课教师适当的调整顺序和选择内容 （如专题复习可以提前上）注：有 （*） 标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八

2、讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲第十一讲第十二讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式专题复习二：代数式的恒等变形专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有 两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相 互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：(1)综合法(由因导果)，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进, 直到问题的解决；(2)分析法(执果索因)从

3、命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件 看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；(3)两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此， 在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基 本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、 转化问题的目的。【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等

4、关系。很多其它问题最 后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其 它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例1】已知：如图所示， abc中， c 90 , ac bc, ad db, ae cf。求证：de = dfc fb【巩固】如图所示，已知abc为等边三角形，延长 bc至ijd,延长ba至ij e,并且使ae = bd,连结 ce、de。求证：ec=ed例2已知：如图所示， ab = cd, ad = bc, ae=cf。【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线

5、平行，可用同位角、内错 角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可 转化为证一个角等于 90。，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例3】如图所示，设 bp、cq是 abc的内角平分线，ah、ak分别为a至u bp、cq的垂线。aqkh求证：kh / bc【例4】已知：如图所示， ab = ac, /a 90 , ae bf, bd dc。求证：fdxed【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）【例5】如图，四边形 abcd中，ad/bc,点e是ab上一个动点，若/

6、b = 60 , ab=bc, 且/ dec = 60 ;求证：bc=ad + aec【巩固】 已知：如图，在 abc中， b 60 , / bac、/bca的角平分线 ad、ce相交于o。d求证：ac = ae+cd（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段 等于较长线段。（补短法）【例6】 已知：如图7所示，正方形 abcd中，f在dc上，e在bc上， eaf 45 求证：ef=be+dfc【专题四】证明几何不等式:【例71已知：如图所示，在abc 中，ad 平分/bac, ab ac。求证：bdd c【拓展】abc 中，bac90 , ad b

7、c 于 d,求证:1-ad - ab ac bc4ad第二讲：平行四边形（一）【知识梳理】1 、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（ 1 ）平行四边形对角相等；（ 2 ）平行四边形对边相等；（ 3 ）平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（ 1 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（ 2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（ 3 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（ 4 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、特殊平行四边形：一、矩形（ 1 ）有一角是直角的平行四边形是矩形（ 2 ）矩形的四个角都是直角；（ 3 ）矩形

8、的对角线相等。（ 4 ）矩形判定定理1 ：有三个角是直角的四边形是矩形（ 5 ）矩形判定定理2 ：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形（ 1 ）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理 1:菱形的四条边都相等（ 3 ）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（ 4 ）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2（ 5 ）菱形判定定理1 ：四边都相等的四边形是菱形（ 6 ）菱形判定定理2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形（ 1 ）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：四个角都是直角，四条边相等对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

9、（3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】【例1】填空题:在下列特征中,(1)四条边都相等平行四边形具有的是：(2)对角线互相平分(3)对角线相等矩形具有的是：(4)对角线互相垂直(5)四个角都是直角菱形具有的是：(6)每一条对角线平分一组对角对边相等且平行止方形具有的是：(8)邻角互补【巩固】b.四条边相等的四边形是正方形d.对角线互相垂直的矩形是正方形1、下列说法中错误.的是（）a.四个角相等的四边形是矩形c.对角线相等的菱形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是a.矩形b.菱形c.正方形d.菱形、矩形或正方形3

10、、下面结论中，正确的是（a.对角线相等的四边形是矩形b.对角线互相平分的四边形是平行四边形c.对角线互相垂直的四边形是菱形d.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在 4abc中，点d、e、f分别在边ab、bc、ca上，且de / ca, df / ba .下 列四种说法：四边形aedf是平行四边形；如果bac 90,那么四边形 aedf是矩形;如果如果ad平分 bac,那么四边形aedf是菱形;ad其中，正确的有bc且ab ac ,那么四边形 aedf是菱形.（只填写序号）【例2】如图，在平行四边形 abcd中，点e, f分别是ad, bc的中点. 求证：四边形 bfde是平行四边形

11、.【巩固】已知，如图9, e、f是四边形abcd的对角线 ac上的两点，af=ce, df = be, df /be.四边形abcd是平行四边形吗？请说明理由.【例3】如图，梯形 abcd中，ab/cd, ac平分/ bad, ce/ ad交ab于点e. 求证：四边形 aecd是菱形.【例4】如图，在等边 abc中，点d是bc边的中点，以 ad为边作等边 ade .(1)求/ cae的度数；(2)取ab边的中点f,连结cf、ce,试证明四边形 afce是矩形.【巩固】如图，o为矩形abcd对角线的交点，de / ac, ce/ bd .(1)试判断四边形 oced的形状，并说明理由;(2)若a

12、b=6, bc=8,求四边形 oced的面积.abocde【例5】如图所示，在4abc中，分别以ab、ac、bc为边在bc的同侧作等边 abd、等边 ace、 等边 bcf.(1)求证：四边形 daef是平行四边形；d(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)当 abc满足 条件时，四边形 daef是矩形；当 abc满足 条件时，四边形 daef是菱形；当 abc满足 条件时，以 d、a、e、f为顶点的四边形不存在第三讲：平行四边形(二)【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关 性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机

13、结合，平行四边形包括矩形、菱形、 正方形。另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。【例题精讲】 9999_【例1】四边形四条边的长分别为 m、n、p、q,且满足m n p q 2mn 2 pq ,则这 个四边形是()a.平行四边形b.对角线互相垂直的四边形c.平行四边形或对角线互相垂直的四边形d.对角线相等的四边形【例2】如图，四边形 abcd是正方形， 点g是bc上任意一点，delag于点e, bf xag于 点f.(1)求证：debf = ef.(2)当点g为bc边中点时， 试探究线段ef与gf之间的数量关系，并说明理由.(3)若点g为cb延长线上一

14、点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时 de、bf、ef 之间的数量关系(不需要证明).g b?图【巩固】如图1,在边长为5的正方形abcd中，点e、f分别是bc、dc边上的点，且ae ef ,be 2.(1)求ec ： cf的值；(2)延长ef交正方形外角平分线 cp于点p (如图13 2),试判断ae与ep的大小关系，并说明理由；(3)在图2的ab边上是否存在一点 m ,使得四边形 dmep是平行四边形？若存在，请给予 证明；若不存在，请说明理由.【例3】如图，在矩形 abcd中，已知 ad=12, ab=5, p是ad边上任意一点，pelbd于e, pflac于f,求pe+pf的

15、值。【例4】如图，在 abc中，/ bac = 90 , adxbc, be、af分别是/ abc、/ dac的平分线,be和ad交于g,求证：gf / ac。【例 5】如图所示， rta abc 中，/bac=90 , ad，bc于d, bg 平分 /abc, ef/ bc 且交 ac于f。求证：ae = cf。abc【巩固】如图，在平行四边形abcd中，/ b, / d的平分线分别交对边于点 e、f,交四边形的对角线ac于点g、h。求证:ah = cg。第四讲：梯 形【知识梳理】与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本 讲就来研究它们的有关性质的应

16、用。一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性 质定理与等腰三角形的判定和性质类似。通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助 线的作法是：1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线;熟悉以下基本图形、基本结论:从一底的两端作另一底的垂线平移对角线延长两腰交于一点3、过底的顶点作另一底的垂线。连结上庭一端和腰中点并延氏，与下底的延长线交于一点中位线概念:(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位

17、线.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。【例题精讲】【例1】如图所示，在梯形 abcd中，ad/bc, ab= 8, dc = 6, /b=45 , bc=10,求梯形上底ad的长.【例2】如图所示, cd的长.在直角梯形 abcd 中，/a=90 , ab/dc, ad=15, ab=16, bc= 17.【例3】如图所示, 面积.在等腰梯形 abcd中，ad / bc,对角线 acxbd, bd=6cm.求梯形 abcd【例4】如图所示,四边形 abcd中，ad不平彳t于bc, ac=bd, ad

18、 = bc.判断四边形 abcd形状，并证明你的结论【巩固】1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60。，它的两底分别为 15cm和49cm,求它的腰长2、如图所示，已知等腰梯形 abcd中, 的长.3、如图所示，梯形 abcd中，ab / cdad/ bc, ac bd, ad + bc=10, debc 于 e, ,/d=2/b, ad + dc = 8,求 ab 的长.【例5】已知：如图，在梯形 abcd中，ad / bc, e是cd的中点，且 aexbe.求证：ad+bc = ab【巩固】如图所示，梯形 abcd中，ad/bc, e是cd的中点，且 ad + bc=ab求证：dexaeo

19、【例6】如图，在梯形 abcd中，ad/bc , e、f分别是 ad、bc的中点，若/ b+/ c= 90 .ad=7 , bc = 15 ,求 ef .第五讲：中位线及其应用【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段 的和、差、倍关系。3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直

20、线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。【例题精讲】【例1】已知 abc中，d是ab上一点，ad=ac, aexcd于e, f是bc的中点，试说明bd=2ef。【巩固】 已知在 abc中，z b=2zc, ad，bc于d, m为bc的中点.1 _求证：dm -ab2【例2】已知e、f、g、h是四边形ab

21、cd各边的中点 则四边形efgh是 形当ac=bd 时，四边形efgh 是形当acxbd 时，四边形efgh 是形当ac 和 bd_时，四边形efgh是止方形。【巩固】 如图，等腰梯形 abcd中，ad/bc, m、n分别是ad、bc的中点，e、f分别是bm、 cm的中点。(1)求证：四边形menf是菱形；(2)若四边形menf是正方形，请探索等腰梯形 abcd的高和底边bc的数量关系，并证明你的结 论。【例3】梯形abcd中，ab/cd, m、n分别是ac、bd的中点。求证:mn= - (ab-cd)2【巩固】 如图，在四边形 abcd中，abcd, e、f分别是对角线 bd、ac的中点。a

22、bc解答第2题图_1 ,、求证：ef_（ab cd） 2【拓展】e、f为四边形abcd的一组对边 ad、bc的中点，若ef=（ab cd）,问：四边形2abcd为什么四边形？请说明理由。【例4】四边形abcd中，g、h分别是ad、bc的中点，ab=cd .ba、cd的延长线交 hg的延长 线于 e、f。求证：/ beh=/cfh.【例5】如图， abc的三边长分别为 ab=14, bc=16, ac=26, p为/ a的平分线ad上一点,且bp，ad, m为bc的中点，求 pm的长。【巩固】已知：4abc中，分别以ab、ac为斜边作等腰直角三角形 求证：pm=pnabm和can , p是bc的

23、中点。【知识梳理】形如ax2 bx c 0 a 0的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。2 2 b b 4ac 求根公式x 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：(1) x2 2x=0(2) x2 缶0(3) (1-3x)2 =1；(4) (t-2) (t+1) =0(5) x2+8x=2(6) x2 7x 602 x 4x 2102(8) x

24、2x 15 02(9) 4x 12x90(10) a2 4a21 0(11) x2 11x 18 0(12) 2x2 x30(13) x (x-6)=2(14) (2x+ 1) 2 = 3 (2x+1)(15) 2b2 7b150(1) x 2 2 9 x 1 20；222(2) x 6ax b 9a ；( 19) x4 x2 20 02(20) (3x 5)5(3x 5) 6 0;【例4】解关于x的方程：m 1 x22m 1 x m 3 0。【例2】用适当的方法解下列关于x的方程（提高题）(1) 3x 2 4x 35;1 2(2) -x2 2x 3327 0； 3(3) 5x 3 2 124

25、 5x 3 ；(4) 3x 1 x 14x 1 x 1 ；(5) 2 b为整式)，其中b中含有字母的式子叫分式。b当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。2、分式的性质(1)分式的基本性质:a m (其中m是不为零的整式)。b m(2)分式的符号法则:分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。(3)倒数的性质:11a 1 a 0 jv a -= 1a: a1a 2 a 0 o a3、分式的运算分式的运算法则有：a bc caba c ad bc一 1 ( a 0, n是整数)； aa c ac a c ad b d bd b d bc(n是正整

26、数)。 bn4、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法(主要用于连比式或连等式)，拆项法(即分离变形)，因式分解法，分组通分法和换元法等。二、二次根式:1、当a 0时，称，a为二次根式，显然2、二次根式具有如下性质：(1) vaa a 0 ；(3) jab ja jb a 0, b 0 ;3、二次根式的运算法则如下：(1) a vc bvca b vc c 0 ;(2) oajan a 0。4、设a, b, c, d, m q ,且m不是完全平方数，则当且仅当 a c, b d时,a bvm c d mm。【例题精讲】【例1】分解因式：x2 xy 6y2

27、 x 13y 60。 a2a(4) aa bba,a,0时，a 0时;0, b 0。【巩固】分解因式:一 2- 21、x xy 2y x5y2;222、3x 5xy 2y x 9y 4;【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则 a4 b4 c42a2b2 2b2c2 2c2a2 的值是(a.恒正b.恒负c.可正可负d.非负1、已知ab a b 1 13,求a b的值为2_23、k为何值时，多项式 x 2xy ky 3x 5y 2能分解成两个一次因式的积?【例3】已知a、b是实数，且j1 a2 a v1 b2 b 1 ,问a、b之间有怎样的关系？请推导。【专题训练】2、多项式x2axy by

28、2 5xy 6的一个因式是x y 2 ,试确定a b的值为3、设3b2c,求 a2 9b24 c24ac的值。4、若abc0,且设abb5、已知1xy x贝a b b c c aabcyzzx6、已知a2 x1991, ba bc111bc caababc2 x19921993,且 abc 24,贝u7、当x变化时，分式424_3x2 6x 53x一6x的最小值为设-x x mx 11,则已知实数a满足19923x3-m x 1a 1993a,则 a 1992 2,2.610、化简户一尸2 % 3 .511、已知 jx 1= da ， 则 4x x2 1112、设v39 j432的整数部分为a

29、,小数部分为b,则a b11a 4 b13、设等式弋a x ava y a xxa 、；a y在实数范围内成立，其中a, x, y两两不同,22则 3x_xy y22x xy y14、使等式xx%99成立的整数对x, y的个数为15、设正整数a,m,n满足da2 4区jm jn,则这样的a, m, n的取值有组;16、求和：s21 x22n x17、已知a b c 0,化简一 b2122c a122-2cab18、b c abc 0,计算221 b 1 cbcac/2 /,21a 1b的值。ab19、计算:3.3 5.3 3517,5 5.749.47 47, 4920、4 273 3,它的小

30、数部分为p,求mp的值。第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通 过恒等变形证明等号两边的代数式相等。3、基本思路(1)由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；(2)两边同时变形为同一代数式；(3)证明：左边 右边 0,或不= 1,此时右边 0。右边4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元 法、待定系数法、设参数法以及利

31、用因式分解等诸多方法。【例题精讲】例1已知abc 1 ,求证： a b c 1。ab a 1 bc b 1 ac c 1思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。1【巩固】已知x、v、z为三个不相等的实数，且 x y1。【拓展】若x y z 0, a一,b z一,c z【例2】证明:x2 ax ay z 122ay a az a x a思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。2211【巩固】1、求证 ab -ab2ab 4ab11a b abab1ab2、求证:【拓展】求证：246201111x2 1x2 4x2 9x2 100x 1 x 10x 2 x 911x 10 x

32、1abbcca,【例3】已知x , y , z ,求证:abbcca思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。【巩固】已知-b3,求证:【拓展】已知实数a、b、c满足【例4】已知12n 1 c2n a_ 33ax by2n 1,其中n是正整数。c门1,求证：vax2 by2 cz2avb vc oa【巩固】1、已知c x丝 a3b2b3bcd,求证：v ax % by、cz、；dt a b c d x y z t y z ta一 ai, a2, an, bi, b2, an都是整数 。bn求证：aibia2b2. a3b3anbnaia?an灯 b?bn【拓展】 设 2005x3 2006y3

33、 2007 z xyz 0,且2005x2 2006y2 2007z2 32005 也006 第2007,求证:-i0 xyz【例5】已知正数a,b满足ajlb2bjla21,求证：a2b21。思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明的结论，就是我们平时说的“正面突破”。第十二讲：专题复习：相似三角形【知识梳理】1、比例线段的有关概念：在比例式a c（a： b c： d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项, b db、d叫后项，d叫第四比例项，如果 b= c,那么b叫做a、d的比例中项。2、平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直

34、线，所得的对应线段成比例，如图：11/ 12/ 13。e abdeabdebcef则，一，一，bcefacdfacdf推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。4、相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角形相似5、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：(1)如图 1,当 时， abcs ade(2)如图 2,当 时，abcs aed。(3)如图 3,当 时，abcs acd。(4)如图4,如图1,当ab/ ed时，则4 (5)如图5,当 时，则4 s。(