量子力学的一些基础

1、量子力学的起源 1关于原子的稳定性，做经典运动的电子必然 辐射电磁波，使得电子不断的失去能量，原 子便不是一个稳定的结构，与事实相反。 2真空电磁场的比热无穷大，因为这里面有无 穷个自由度，按照能量匀分定理，每一个自 由度的能量是KT 3无法解释固体的存在以及各种宏观参数的大 小（密度，比热容等） 4没有熵的概念，也就没有温度的概念，物理 无法达到热平衡。 如果我们假设能量E=w，当w很大的时候，一个光 子的能量很高，难以被激发，从而保证比热不会 发散。根据这个假设可以得到正确的辐射公式。 再根据质能E2=p2c2+m02c2,可以推导出p=k。 实物粒子也具有如同光子一样的波粒二象性，我 听

2、有的人说实物粒子是概率波，它不像光波一样 有振幅，不过我觉得实物粒子是物质波，它有振 幅。一个粒子如果它的频率和波矢都确定的话， 粒子波函数是 但是这样的波函数是不存在的，因为它无法归一 化，实际 的波函数是不同的动量本征函数叠加而 成的,从而可以归一化。 Et/-ipx/ e 2 1 = 实物粒子的运动是由波函数来描述，波函数遵守 薛定谔方程 i/t=H，波函数得 在某个表象上描述，动量表象的基底是（p-p0）， 坐标表象的基底是（x-x0），动量和坐标表象的 基底都是连续的，也可以是能量表象，能量表象 的基底可能不是连续的。我们在测量粒子的位置 时，粒子在某个位置出现的概率等于波函数的平

3、方，但是波函数在进行相加时是概率幅的相加， 而不是概率幅平方的相加，从而产生干涉现象。 当我们测量粒子的位置时，波函数会瞬间塌缩，这 个速度超过光速，这是量子力学的一个佯谬。 对于H不含时的薛定谔方程 H (r)=E 解这个方程可以得到 (r,0)= cn n, 加入时间就是 (r,t)= cn n(r)e-iEnt/, 所以我能只要知道了0时刻 的波函数，就知道 了t时刻的波函数。不同的n之间是相互正交的。如 果此时的表象是能量的话，那么n就是基底，cn就 是波函数。 我们不能将力学量直接作用在波函数 上，我们要将力学量用算符来表示才能进行运算， 它是厄米算符，即 F+=F 然后将力学量作用

4、在波函数上，从而得 到一系列力学量的本征函数和本证值，这些本征 函数组成希尔伯特空间的一个基底，它是一组完 备的基底，任意 的波函数都可以用这些本征函数 展开。所以也可以用矩阵来处理量子力学中的计 算。F+的矩阵的转置共轭就是F的矩阵。 除了厄米算符外，我们还有很多其他非力学量算符 投影算符：=-r 有限旋转算符：Ru()=e-iLu Lu/ 算符的对易关系：A,B=AB-BA,x，p=i ,互相对 易的算符具有相同的本征函数。 薛 定 谔 方 程 为 化 简 假 设 v 在 某 个 区 域 不 变， 设 若 E v， 则 ， k 为 实 数， 波 函 数 的 模 随 x 增 大 指 数 减

5、小， 我 们 可 以 看 到 我 们 可 以 看 到 在 能 量 小 于 势 能 的 地 方 粒 子 仍 然 能 够 出 现， 粒 子 有 一 定 概 率 隧 穿 到 势 能 小 的 地 方。 同 时 粒 子 也 可 能 会 被 势 垒 反 射。 0= E)+2m(v -/dxd E=v+/dxd 2m - 2 22 22 2 22 k=E)/+2m(v -kx Ae= 对 于 平 行 六 面 体 中 的 空 腔 中 的 电 磁 场， 它 是 一 系 列 驻 波 组 成 的， 一 个 波 模 是 于 是 我 们 有 对 于 q k l m ( t) 的 变 化 有： ) L z sin() L

6、 y sin() L x sin( 8 =z)y,(x,f 321321 klm mlk LLL ),()(t)(r, , zyxftq klm mlk klm 0)( 2 2 2 tqw dt d klmklm q k l m 的 共 轭 动 量 是 p k l m， 哈 密 顿 函 数 是 我 们 可 以 看 出 光 子 的 能 量 表 达 式 和 谐 振 子 很 想， 所 以 光 子 的 能 量 是 h 2 1 2 2 klmklmklm klm pqH klmklmklm 1)h+n（=H 氨 分 子 的 三 个 H 原 子 在 一 个 平 面 上， N 原 子 可 能 在 H 原 子

7、 的 左 边， 也 可 能 在 H 原 子 的 右 边， N 原 子 可 以 通 过 隧 穿 效 应 从 左 边 到 右 边， 因 为 势 能 是 对 称 的， 所 以 氨 分 子 可 以 对 称 的 波 函 数 s 和 反 对 称 的 波 函 数 a 描 述， 这 两 种 波 函 数 对 应 的 能 量 本 征 值 是 n a n a n s n s , n a n s EHEH n n s n a EE 所以我们可以观测到氨分子发射或吸收频率为 /2的电磁辐射，落在厘米波段，氨分子的 微波量子放大器的工作原理，就是根据氨分子的 这种电磁波 的受激辐射。 振 动 能 级: 取 双 原 子 分

8、 子 之 间 势 能 的 一 级 近 似， 就 是 谐 振 子 模 型， 它 的 能 级 是 转 动 能 级： 在 计 算 转 动 能 级 时 是 假 设 原 子 之 间 的 距 离 r 不 变， 薛 定 谔 方 程 是： 能 级 间 隔 是 2 B l， 纯 转 动 谱 位 于 远 红 外 波 或 微 波 波 段。 ) 2 1 ( n mlrllmlrLmlH ee ,2/) 1(,2/, 2 2 2 2 但是对于同极分子，它没有永久电偶极矩，但是 电子会在电场Eeit的作用下发生受迫振动，从而 出现电偶极矩Deit，D并不一定平行于E， D在oz轴上的投影： 因为分子在转动，所以它还会对Dz进行调制。我 们计算Dz在 之间的矩 阵元。 tEEDcos)( / tE tEEDz coscos)( cos)sin(cos 2 / ),(),( m l m l YY与 可 以 证 明 只 有 当 时， 矩 阵 元 才