利用多种方法证明三角形的内角和是180

1、利用多种方法证明三角形的内角和是180在初一的数学中，我们学习了三角形的内角和定理，知道了三角 形的内角和为180 o对于这个定理，我们可以利用多种方法进行证 明，以下是我从几个不同的方面总结的几种证明方法，现拿来分享， 以拓宽学生的思维：三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180已知：如图1, /a、/b、/c分别为三角形abc勺三个内角，求证：/ a+/ b+z c=180分析：当我们碰到新问题感觉无法下手时， 通常我们可以将新问 题通过各种方法转化为已经学过的问题进行证明，这样的方法在初中的几何学中经常会用到，它可以为我们解决新问题带来很大的帮助。 证明三角形的内角和，就可以运用这种方

2、法。我们先想想在那些地方 碰到过关于180的角的问题，这会给我们的证明拓宽一定的思路。思路1:在小学里我们在说明这个问题时是用一张三角形的纸 片。将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，从而得到一个平角。 说明三角形的内角和为180 o思路2:然而，不是所有的三角形都可以剪的下来。今天，要证明三角形的三个内角之和等于180 ,虽然不能用以前的老方法，但 思路和以前有些相似，我们学过一个平角是 180 ,那么，是否能够 设法将三角形的三个内角拼成一个平角，从而，进行说明呢？为此， 用辅助线构造出一个平角，再用平行线“移动”内角，将其集中起来。思路3: 我们知道，当两条平行线被第三条直线所截时的同旁

3、 内角互补，也就是它们的和为180 ,那么，能否将三角形的三个内 角集中到平行线的一组同旁内角上来呢？因此，我们想办法将三角形 的三个内角放在两条平行线的两同旁内角的位置上。利用第一种思路用一张三角形的纸片，将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，从而组成一个平角。但组成的角是不是就是一个标准的平角呢再加上手工时的误差， 所以很难清楚的进行说明，跟何 况不是所有的三角形都可以剪的下来。因此，在这里，我主要是根据 后面的两种思路，总结出下面的几种证明方法。利用第二种思路得到下列几种证明方法：证法一 ：如图2,延长边bc到d,并过顶点c作ce/1 ba c曰/ ba （作图）./ 1 = /a（两直

4、线平行，内错角相等）,/2=/b（两直线平行，同位角相等）.又/ 1+/ 2+/ acb= 180（平角的定义），/a+/ b+z acb= 180 .证法二：如图3,过顶点c作de/ ab;e. de/ ab （作图）./1 = /a, / 2=/b（两直线平行，内错角相等）.又/ 1 + /acb匕2=180 （平角的定义），./a+/ acbv b= 180证法三：如图4,在bc边上任取一点 d,彳de/ ba df/ ca分别交ac于e,交ab于f;abd图4则/2=/b, / 3=/c（两直线平行，同位角相等），/1 = /4（两直线平行，内错角相等），/ 4=/a（两直线平行，同位

5、角相等），./ 1 = /a（等量代换）.又/ 1 + /2+/3=180 （平角的定义），/a+/ b+z o 180 .证法四：如图5,作bc的延长线cd在 abc的外部以ca为一边，ce为另一边画/ 1 = /a;（也可以直接作ce/ bq图5 |门于是ce/ ba（内错角相等，两直线平行）./b= / 2（两直线平行，同位角相等）.又/ 1 + /2+/acb= 180 （平角的定义），./a+/b+/acb=180 .证法五：如图6,在 abc勺内部任取一点 d,连结ad bq并延长分别交边bc ac于点e、f,再连结cda图6贝 u/7=/1 + /2, /8=/3+/4, / 9

6、=/5+/6（三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.又/7+/ 8+/ 9=180 （平角的定义）， / 1 + / 2+/ 3+z4+z 5+/ 6=180即 / bac廿 abc廿 acb=180 .根据第三种思路，也可以设计出几种证法，证法如下:证法六：如图7,过顶点c作cd/ ba;则/ 1 = /a（两直线平行，内错角相等）.: cd/ ba. /1 + /acbmb= 180 （两直线平行，同旁内角互补）. /a+/acbmb= 180 .证法七：如图8 ,任意作线段ad交bc于d,分别过点b、c作 be/ da cf/ da则/1 = /3, / 2=/4（两直线平行，内错角相等）.: be/ da cf/ da be/ cf. /3+/abc廿acb廿4= 180 （两直线平行，同旁内角互补）. /1 + /abc廿 acb廿 2= 180 . /baabc廿 acb= 180 .上面用到的七种证明方法，都是将新问题通过各种方法转