第17章勾股定理小结与复习

1、 勾股定理勾股定理 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 互逆定理互逆定理 直角三角形的判定直角三角形的判定 直角三角形边直角三角形边 长的数量关系长的数量关系 1.1.如图，如图，已知在已知在ABC 中，中，B =90，一直角边为一直角边为a， 斜边为斜边为b，则另一直角边，则另一直角边c满足满足c2 = . 【思考】为什么不是【思考】为什么不是 ？ 222 bac 一 勾股定理的直接应用 （一）知两边或一边一角型 答案：因为B 所对的边是斜边. 答案： 222 abc 2.在RtABC中，C=90. . （1）如果a=3，b=4， 则c= ； （2）如果a=6，c=10， 则b=； （3）如果

2、c=13，b=12，则a= ； （4）已知b=3，A=30，求a，c. 答案:（4）a= ，c= . 5 8 5 3 2 3 1.如图，已知在ABC 中，B =90，若BC4 ， ABx ，AC=8- -x，则AB= , ,AC= . 2.在RtABC C 中中, ,B=90，b=34, ,a:c=8:15, ,则 a= , , c= . 3.（选做题）在RtABC中，C=90，若a=12, ,c- - b=8, ,求b,c. 答案：答案： b=5=5，c=13.=13. 3 5 1630 （二）知一边及另两边关系型 1. 对三角形边的分类. 已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和4 cm，

3、求 第三条边的长 注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以 4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论 答案：5 cm或 cm. （三）分类讨论的题型 7 已知：在已知：在ABC中，中，AB15 15 cm，AC13 13 cm，高，高AD12 12 cm， 求求S ABC 答案：答案：第第1 1种情况：如图种情况：如图1 1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股中，分别由勾股 定理，得定理，得BD9 9，CD5 5，所以，所以BCBD+ + CD9+59+51414 故故S ABC 8484（cmcm2 2） 第第2 2种情况，如图种情况，如图2 2，可得：，可得：S

4、 ABC=24 =24（ cm cm2 2 ） ） 图图1 图图2 2. 对三角形高的分类对三角形高的分类. 1. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大 树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒 下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担 心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到 张大爷的房子吗？（） A一定不会B可能会 C一定会D以上答案都不对 A 二 用勾股定理解决简单的实际问题 2.在一棵树的在一棵树的10米高处米高处B有两只猴子，有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树其中一只猴子爬下树走到离树20米的米的 池塘池塘A，另一只猴子爬到树顶，另一只猴子爬到树顶D后直接后

5、直接 跃向池塘的跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？距离相等，试问这棵树有多高？ . D B C A 利用勾股定理解题决实际问题时，基本步利用勾股定理解题决实际问题时，基本步 骤是什么？骤是什么？ 1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的把实际问题转化成数学问题，找出相应的 直角三角形直角三角形. 2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边. . 3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题. . 1证明线段相等. 已知：如图，AD是ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12

6、 . . 求证： ABC是等腰三角形. 答案：答案：证明：证明：AD是是ABC的高，的高， ADB=ADC=90.在在RtADB中，中，AB=10， AD=8，BD=6 .BC=12, DC=6.在在RtADC中，中， AD=8，AC=10，AB=AC.即即ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析：分析：利用勾股定理求出线段利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段的长，也能求出线段 AC的长，最后得出的长，最后得出AB=AC，即可，即可. 三 会用勾股定理解决较综合的问题 2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. . 1.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使

7、得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 【思考【思考1】由由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？你可以知道哪些线段长？ 请在图中标出来请在图中标出来. 答案：答案：AD=10，DC=8 . 2.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠， 使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8， BC=10, 求求BE的长的长. 【思考【思考5】 你在哪个直角三角形中，应用勾股定你在哪个直角三角形中，应用勾股定 理建立方程？你建立的方程是理建立方程？你建立的方程是 . 答案：答案：直角三角

8、形直角三角形AEF, A=90, AE=8-x， . 222 )8(4xx 已知：如图，在ABC中，B=45，C=60， AB=2. .求（1）BC 的长；（2）S ABC . 分析分析：由于本题中的：由于本题中的ABC不是直角三角形，不是直角三角形， 所以添加所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得边上的高这条辅助线，就可以求得 BC及及S ABC . 3.做高线，构造直角三角形做高线，构造直角三角形. 答案：答案：过点过点A作作ADBC于于D,ADB=ADC=90. 在在ABD中，中，ADB=90， B=45，AB=2，AD=BD= .在在ABD中，中， ADC=90，C=60，AD=

9、， CD= ,BC= ，S ABC = 3 3 2 3 3 2 2 2 . 3 6 1 2 1 1下列线段不能组成直角三角形的是（下列线段不能组成直角三角形的是（ ） A Aa=8=8，b=15=15，c=17 B=17 Ba=9=9，b=12=12，c=15=15 C Ca= = ，b= = ，c= D= Da：b：c=2=2：3 3：4 4 2.2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB, ,CD, ,EF, ,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形四条线段，其中能构成一个直角三角形 三边的是（）三边的是（） CD,EF,GH AB,EF,GH

10、AB,CD,GH AB,CD,EF C EB H DF A G 532 D B 四 勾股定理的逆定理的应用 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2， AD=3， 且且ABBC.求四边形求四边形 ABCD的面积的面积. 分析：分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助本题解题的关键是恰当的添加辅助 线，利用勾股定理的逆定理判定线，利用勾股定理的逆定理判定ADC的的 形状为直角三角形，再利用勾股定理解题形状为直角三角形，再利用勾股定理解题. 答案：答案：连接连接AC,ABBC，ABC=90. 在在ABC中，中，ABC=90，AB=1，BC=2， AC= .CD=2，A

11、D=3, ACD是直角三角形；是直角三角形； 四边形的面积为四边形的面积为1+ .5 5 五 勾股定理及其逆定理的综合应用 1.1.如图如图, ,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A A 爬到点爬到点B B处吃食处吃食, ,要爬行的最短路程要爬行的最短路程( ( 取取3 3）是）是 ( ) ( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 B B 8 O A 2 蛋糕 A C B 周长的一半 六六 勾股定理与路径最短问题勾股定理与路径最短问题 2.如图，长方体的长为如图，长方体的长为 15 cm，宽为，宽为 10 cm，高，高 为为20 cm，点，点B离点离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点长方体的表面从点 A爬爬 到点到点B，需要爬行的最，需要爬行的最 短距离是多少？短距离是多少？ 10 20 B