华东师大版九年级数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习

1、解直角三角形全章知识点精讲与练习【问题探索】一般地，如果锐角a的大小确定，我们可以作出无数个以a为一个锐角直角三形bc bycy bc (如图)，那么图中：- = 一畀=廿ac ac. ac,(1)当/a变化时，上面等式仍然成立吗?(2)上面等式的值随/a的变化而变化吗?【新课引入】由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个 锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切 的关系。1、在直角三角形中，我们将na的对边与它的邻边的比称为/a的正切，记作tana即：5=邛翳，na的邻边 b同理：当直角三角形

2、的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值它的邻边与斜边的比值 0 2、如图，在rta abc中，zc=90,我们把锐角na的对边a与斜边c的比叫做na 的,记作,即：sin a=.3、如图，在rtaabc中，zc = 90%我们把锐角na的邻边b与斜边c的比叫做/a 的,记作二,即：cosa=（你能写出/b的正弦、余弦的表达式吗？）试试看思考:三角函数-304560smocos0tano你能分别说出30。、45。、60。角的三角函数值吗？并域写下表:（根据一付三角板的三边关系进行计算）第11页/共11页【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关

3、键;2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。【精选例题】（一）锐角三角函数的概念例1、 （1）在rs abc中，各边都扩大5倍，则角a的三角函数值（）a.不变 b.扩大5倍c.缩小5倍 d.不能确定3a.abc 中，zc=90% cos a=二，ac=6cm,那么 bc 等于()c.-cmd.-cm55a菱形abcd的对角线ac=10cm, bc=6cm,那么tan为()2a.二b. -c. -=d.-=55 用 用解析：(1)角a的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质分式的分子、分 母同时乘以或除以同一个不为。的数(或整式

4、)，分式的值不变，而rs abc各边都 扩大5倍倍数一样，因此两边比值也不受。故选a;(2)画直角三角形草图，根据cosa二二可知，工=3,可求ab=10,再用勾股定理 ab ab 5求得bc=80故选a；(3)画蓑形abcd,根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”, 可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tana a=-o故逸ao2 5前思后想：解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有 就构造。牛刀小试：1 .在rs abc中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角a的各个三角函数值()a.都缩小;b.都不变c

5、.都扩大3倍 d.无法确定2 .如图，在正方形网格中，直线ab. cd相交所成的锐角为a, 则sma的值是()a； b. i c.|d.:3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6, 8,现将aabc如图那样折登，使点a与点b重合，折痕为de,则tanncbe的值是（）d. 13答案：1. b; 2.c; 3.c; 4,至；5.-74（二）特殊角的三角函数值例2计算下而各式：解析：前思后想：关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。记住三角 函数值最关键。例3.巳知/a是锐角，且sina二半，那么a等于（）a. 30 b. 45 c. 60 d. 75解析：根据对特殊角的三

6、角函数值的记忆一sin60二咚，进行反推，可知a二60。，故选c。前思后想：及能顺推，又能倒推。对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流?牛刀小试:1.计算：(1) 4sin600 + (-2)-1 -(72009-2008)(2) kin260 +4sin30 cos452 .巳知a为锐角，当无意义时，求tan(a+15o)tan(a-15。)的值。 1 - tan a3 .若 gtan26 = l,则 6=_,4 .在 abc 中，若llanati+(-cos8)2=0,则/c 的度数为.5 .在 abc 中，若 | sina ! | + ( g-cosb) 2=0,则 _c=度

7、.答案：1. (1) 4sin600 + (-2)-(72009-2008) =4x + 11 = 2/3-i ；(2) tail260 +4sin30 cos45 =(/3)2 +4x- x=3+72 22o2. -= 无意义，tan a = 1, /. a=451-tana/t _/. tan( a +15)tan( a -15)=tan600tan300=-= -73 o333. ./tan26 = l, ,-.tan2= , .-.2 = 30 , ，6 = 15。4. i tan a -11 +(- -cos b): = 0 , tan a = 1, cos6 =乎，z a=45c,

8、 z b=30,_0105。5. ,: i suia- i + (cosb) 2=0, 7. sina=-)-, cosb= o1 2 1222z a=30, zb=30,/c=120o(三)锐角三角函数的大小比较1、当角度在090。间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)2、当角度在0。090。间变化时,0smacosa0.当角度在0a0.例 4.化简 7(lan 300-i)2 = ( ) oa.一正 b.3t c.9-1 d.1-“ 33(2)当锐角a30。时，则cosa的值是()

9、a.大于b.小于l c.大于正 d.小于正 2222解析：(i)jian300-1)2 = |tan300-1|/.就要讨论tan3001的正负性v tan30=色 1, /. tan3010, 3故选a(2)因为cos30二,，且当00a30。时，cos a ”或“ v ”连接：sin500 cos50。2 .巳知 30 a /3 90,则 （cos-cosa）2 - cos p -乎 +|1- cos a =。3 .若太阳光线与地面成a角，300a45, 一槐树的影子长为10米，则树高/?的范 困是（）（取6 = 1.7）a、3h 5 b、5 / 10 c、10 h 154 .若0。cos

10、a b.costz sincr c.tanl d.tanqtan/a答案：1 .因为sin450=cos45。,角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填，号;2 .因为“余弦值障着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30。尸90。，所以 cos /一cos a 0, cos 0 cos300,=cos ar -cos p （g-cos /3 ） +1-cos a=3 23 . vllotana,且 30v a v45。，二州上力 10 ,故选 b。4 .因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大 （或减小）而减小（或增大）”，且“sm45o=cos45。”，0

11、。45。”，故选b。（四）互余的两个角的三角函数sin(90-a)=cosa, cos(90-a)=sma,例 5.若 sin280=cosa,则 a=.解析：因为“cos(90o-a)=suia，所以 a=90。-28。=62。.前思后想：sin(90-a)=cosa, cos(90-a)=sina这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便, 也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。牛刀小试：1 . sin600=cos=; cos60=sin=.2 .巳知 tana = 1 (00a90)则 cos(900-a)=。3 .若 sin(90 - a) = l 贝ijcos(90

12、 - a) =.24 .在rs abc中，/c=90, za, zb, /c的对边分别为a, b, c, 根据勾股定理有公式abjc根据三角函数的概念有sina二2,cosa= , sin2a+cos2a=cca1 h2 a2 +lr , sin a a b a a, sin a + =；二1, = -r- = =tana, 其中 sina+cos-a= 1, l l 厂 cos a c c bcos a4=tana可作为公式来用.例如， abc中，/c=90, sina=t ,求cosa, tana的值.解法一： sin2a+cos2a=l;49/.cos2a=l sin2a=l ( ) 2

13、=一 .525八 3 人 sin a 4 3 4.cosa= , tana= - -?- =.5cos a 5 5 34 解法二：vzc=90, sina=-.5可设 bc=4k, ab=5k.由勾股定理，得ac=3k.34根据三角函数概念，得cosa二二，tana=.运用上述方法解答下列问题：3(1) rs abc 中,zc=90, sina=-,求 cos a, tan a 的值；(2) rs abc 中，zc=90, cosa二里，求 sina, tana 的值;(3) rs abc 中，zc=90, tana=i ,求 sin a, cosa 的值； 2(4) na是锐角,巳知cosa

14、噌，求sin (90-a)的值.答案：1. cos30,岑；sin30, j;2. -.-tana =1 (0a4. (1) . zc=90, sina=1 .可设bc=3k, ab=5k.由勾股定理，得ac=4k.a?根据三角函数概念，得cosa二一，tana= 7 .54(2) vzc=90, cosa二誓.j.可设 ac=2/k, ab=5k.由勾股定理，得bc=7k,根据三角函数概念，得sina=2 , tai】a=：. jg(3) -.-zc=90, tana=1. .可设 bc=k, ac=2k.由勾股定理，得ab二途匕根据三角函数概念，得sina二cosa=(4) sin (90

15、a) =cosa= .(五)三角函数在平面直角坐标系中的应用17例6.如图，角。的顶点在直角坐标系的原点,一边在x轴上,另一边经过点p (2, 2/)，求角。的三个三角函数值.解析:. p (2, 25/3 ) , -.op=4, *邛,cos a =；，tan a = 0前思后想：在平面直角坐标系中，求直线与x轴夹角的三角函数值，过直线上的点作x轴的垂线 段，与x轴和直线一起构成直角三角形，根据该点的横坐标和纵坐标可以求出该三角 形的三边长度，从而求出三角函数值。牛刀小试：1 .点m (-sin 60。,cos60。)关于y中由对称的点的坐标是2 巳知锐角a的终边经过点p (x, 2),点p

16、到坐标原点的距离r=8 ,则sin a =, cos a =.3 .(此题为补充题，用到一元二次方程的根与系数关系)如图，点a (tana, 0) , b(tanp, 0)在x轴的正半轴上，点a在点b的左边，*。是以线段ab为斜边、顶点c在x轴上方的rs abc的两个锐角；(1)若二次函数y=-x2一kx+(2+2k-k的图象经过a、 2b两点，求它的解析式。(2)点c在(1)中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由。答案：1. vm (一, ：), 它关于y轴对称的点的坐标为(*,：); 22222. 根据画图，由勾股定理可求x=3,所以sina = *, cosa = 2 ;3. (1)在直角三角形abc中，由于a+0=9o。，因此tanaan0=l,而a、b是抛物线 与x钻的交