复数的三角形式及乘除运算

1、一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值).4利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.5注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点 :复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用 .四、学习建议:1复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方

2、和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的 .前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即z=a+bi(a,b r).二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数z的模和辐角来表示，设其模为 r,辐角为9,则z=r(cos 0 +isin 0 )(r 0).既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化 .三角形式代数形式 r=z=a+bi(a,b r)z=r(cos 0 +isin 0 )(r 0)复数三角形式

3、的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中。应是复数z的一个辐角，不一定是辐角主值.五、基础知识1)复数的三角形式定义：复数 z=a+bi (a,bcr)表示成r (cos8 + i sin 0 )的形式叫复数 z的三角形式。即 z=r (cos 0 + i sin 8 )非零复数z辐角e的多值性。其中z r 8为复数z的辐角。0叫复数z=a+bi的辐角始边，向量oz所在的射线为终边的角角是 e +2k(kcz)z表示复数z的辐角主值。2 )的角8叫辐角主值 0 argz 2唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。不等于零的复数的模 z r是唯一的。z=0时，

4、其辐角是任意的。复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。(求法)这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容(也是解题术)复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这 个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。2)复数的向量表示在复平面内与复数 zi、z2对应的点分别为zi、z2 (如图)何量oz1对应于z1何量oz2对应于z2何量z1 z2对应于z2 z1z与复数z2- z1对应的向量为oz显然 oz h z1z2贝

5、u argzi= / xozi= 9 1argz2=/xoz2= 9 2argz (z2 zi ) =arg z= / xoz= 93)复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如 zi=r i (cos 8 1+isin 8 1)z2=r2 (cos 8 2+isin 8 2)乘法：z=zi , z2=r 1 , r2 cos( 81+8 2)+isin( 81+8 2)如图：其对应的向量分别为 。乙oz2 oz显然积对应的辐角是 0 1+02若82 0则由。4逆时针旋转0 2角模变为oz1的2倍所得向量便是积 z1 - z2=z的向量 oz。若8 2 0 则由向量oz|顺时

6、针旋转 2角模变为1 t2所得向量便是积z1 - z2=z的向量oz。为此，若已知复数 z1的辐角为a, z2的辐角为3求a +3时便可求出z1 - z2=za z对应的辐角就是a + 3 这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。z1r1除法 zz1 z2 cos( 12) isin( 12)(其中 z20)z2 r2除法对于辐角主要是“相减”(被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法简述如下： 2 0时oz1顺时针旋转2角。 20时oz1逆时针旋转2角。 1.下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式 ： 1) z1=-2(cos 0 +isin 0*2) z2=cos-is

7、in 0 (3) z 3=-sin 0 +icos 0(4) z4=-sin 4cos 0(5) z5=cos60+isin30 分析：由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行 ：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定 。为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为 定点一定名一定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率解：(1)由 模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1=z(-cos -isin 0 )复平面上 乙（-2cos 2sin貂第三象限（假定。为锐角），余弦-cos。已在前，不需再变换三角函数

8、名称,因此可用诱导公式“兀+将。变换到第三象限.，zi=z（-cos -isin 0 ）=2cos（兀+ 0 ）+isin（兀+ 0 ）（ 2）由“加号连 ”知，不是三角形式复平面上点z2（cos -sin貂第四象限（假定 。为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “2-超或-。招。变换到第四象限. z2=cos -isin 0 =cos（）+isin（9 或 z2=cos -isin 0 =cos（20 ）+isin（2- 0 ）考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.（ 3）由“余弦前 ”知，不是三角形式复平面上点z3（-sin q ,cos&筋二象限（假定 。为锐角），需

9、改变三角函数名称，可用诱导公式+。将。变换到第二象限+ 0 )+isin(z3(-sin 0 ,cos 0 尸cos(同理（4）z4=-sin -icos 0 =cos(乃 0 )+isin(乃0 ) z5=cos60 +isin30 =i=(1+i尸(cos+isin)=(cos+isin)小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了定点-定名-定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题例2.求复数z=1+coso +isin。(兀 0翎莫曷辐角主值.分析 :式子中多 3个 “1”，只有将 “1消去，才能更接近三角形式，因此可”利用三角公

10、式消 “1” .-1)+2i sin解:z=1+cos 0+isin 0 =1+(2coscos=2cos(cos+isin)(1)兀 0 2兀，兀，cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(兀 +)+isin(7t +)r=-2cosargz=兀 +2k 兀(k z)2 71,argz=兀 +小结 : （1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argz=argz=错误之处在于他们没有去考虑。角范围，因此一定要用模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如zi=1-cos 0 +isin 。（兀0

11、z2=1-）cos -isin 0 （兀 眸2n问题.例 3 将z=为三角形式，并求其辐角主值解:分析 :三角形中只有正余弦，因此首先想到化切为弦 ”. 下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化=cos2 0 +isin2 0兀 0 3兀；2 0 6 兀，兀 2-4 兀 2 g argz=2 0-4 %小结 :掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，1- 1-itg 0 , tg 9-ctgi建.2.复数z的

12、模|z|的几何意义是：复平面上点z到原点距离，复数模|zi-z2|的几何意义是：复平面上两点zi,z2之间距离.辐角几何意义是：以x轴正半轴为角始边，以向量在射线为终边的角记为argz.在0, 2 nt范围内的辐角称辐角主值，记为 argz.要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.例4.若zc c, |z-2| wj求| z |的最大，最小值和argz范围.解:法一，数形结合由|z-2|wj知z的轨迹为复平面上以（2, 0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周）， |z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然 1w|z| w3； |z|max=3, |z|min = 1,

13、另设圆的两条切线为 oa, ob, a, b为切点，由|ca|=1 , |oc|二2知z aoc= z boc=0,u7t ,2 7t )法二:用代数形式求解|z|的最大，最小值，设 z=x+yi(x,y r) 则由 |z-2| w 得(x-2)2+y2w 1,|z|= (x-2)2+y2w 1, .-. (x-2)2 1, .-1w-2w 1, 1wxw3, 1w4x3w9, . 1w|z| 0)|z iz2|2=k2+(2k)2-2k 2k cos=3k2|z1z2|=k,而 k2+(k)2=(2k)2,，aozz2为有一锐角为60 的直角三角形小结 :此题中利用除法几何意义来解决三角形中

14、角的大小问题，十分方便.例8.已知直线l过坐标原点，抛物线 c的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点a(-1,0)和b(0,8)关于l 的对称点都在c 上，求直线 l 与抛物线 c 的方程 .解:如图，建立复平面 xoy,设向量对应复数分别为xi+yii, x2+y2i.由对称性,|oa|=|oa|=1, |ob|=|ob|=8,x2+y2i=(x i+yi i)8i=-8y i+8xii设抛物线方程为 y2=2px(p0)则有yi2=2px i,y22=2px2,xi=,yi2=p2,又 |oa|=1 ,p=或-)2+p2=1,(舍)y2=x,直线方程为 :y=x.小结 :对于解析几何的许多

15、问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.五、易错点1并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.2注意argz 与 argz 的区别 .argz 表示复数 z 的辐角，而argz 表示复数 z 的辐角主值.argz=argz+2k兀（k c z）,argz c 0,2兀）辐角主值是0,2 n的辐角，但辐角不一定是辐角主值.3复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式 .4注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.六、练习1 写出下列复数的三角形

16、式(1) ai(acr) (2) tg 0 +i(e %(3)2设z=(-3n,当zcr时，n为何值?(sin -icos 0 )+3i)n, nc3.在复平面上 a, b表示复数为 a, 3 (“丹oexi+i)，”判断aaob形状，并证明saaob=参考答案 :|d|2.1 （1） ai=cos(7- 0 )+isin(sin -匕os 0 )=cos(+ 0 )+isin+ 0 )2 . n为4的正整数倍3 .法一: a 3 = (1+i) a(cos=1+i=+isin），/aob=分别表不复数a,”,=i=cos+isin，/oab=90 , aaob为等腰直角三角形|=| -他 |

17、=| e i|=|,|=|=| 3 |=|(1+i)” |=|,|2+|2=|否|公2|御|2saaobfaaob为等腰直角三角形,选择题1.若复数z=(a+i) 2的辐角是1 =在线测试,则实数a的值是()a、 1b、-1c、2.已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a,b 满足 |a-b|=3则p的值是（）a、-2b、-d、1cos3.设 0 6k+1(k c z)|z+3|5. z为复数，)1z31 =()-1的图形是(a、直线b、半实轴长为1的双曲线c、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支 , dk不能确定答案与解析答案：1、b 2、c 3、b 4、c 5、c解析：1.z=(a+

18、i) 2=(a 2-1)+2ai , argz=a=-1 ,本题选 b.2.求根a, b=(a =1-4p0 )|a-b|=|1=3 ，4p-1=9 ,p=,故本题应选c.=cos33.0 +isin3 0 ., 4,1- p-4=1 , 得 p=5说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别.一等式成立.若有两个虚根则上述等式不成立.因为i2w(-.2.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰.已知方程2x2+3ax+a 2-a=0 有模为1 的根，求实数a 的值分析 已知方程有模为1 的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a 要注意分域讨论解

19、(1)若所给方程有实根则 =(3a)2-4 2(a2-a)=a2+8a0,即av-8或a 0由条件得根必为 1 或-1 ，将 x=1 代入原方程可得a2+2a+2=0a 无实数解(2)若所给方程有虚根则 =a2+8v0,即-8vav0即 a-a-2=0,a=-1 或 a=2（舍）已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0 有实数根，求实数m 分析 求实数 m 的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数 m 均可以现仅介绍一种方法解 . x, mcr,方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0复数例题讲解与分析例 1

20、 已知 x, y 互为共轭复数，且 (x+y) 2-3xyi=4-6i, 求 x, y.思路1 ： 确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi 或三角形式，化虚为实。解法 1:设 x=a+bi(a,b c r),则 y=a-bi,代入原等式得：(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i.或或或或思路 2 ：x, ym为共轲”含义？ - x+y c r, xy c r,则(x+y)2-3xyi=4-6i解法 2: .x=,x+y r, xy r, /.由两复数相等可得:由韦达定理可知：x,y同是方程：z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根, 分别解两个一元二次方程则得

21、x.y（略）。例2.已知zcc,|z|二1且z2nl,则复数()a、必为纯虚数b、是虚数但不一定是纯虚数c、必为实数d、可能是实数也可能是虚数思路分析 ： 选择题，从结论的一般性考虑，若z=1 ，显然a 、 b 选项不成立，分析c 、 d 选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演解：法 1 设 z=a+bi, a,b c r, a2+b2=i,a 丰 0.则coe r,故，应选),法2 设z=cos 0+isin。他且。金女兀十法 3-. z =1,二 |z|2, 当 |z| = 1 时有=1法4二当|z|=1时有z r.法5二,复数z为实数的充要条件是 z=而（)=|z|=1 时, ro形

22、如 a+bi （a,bc r）的形式将问题化虚为，评注 ：复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实； ）同时对一些概念的等价表达式要熟知。（比如：z=a+bi 6 rb=0(a,b r)z=z2z=a+bi是纯虚数a=0 且 b w 0 (a,b r)z+=0 亿 w0)z20；.)在面对具体问题时要有简捷意识(比如该例方法 1，有同学可能会在算到时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行)，多方理解挖掘题目立意。例 3 求使关于 x 的方程x2+(m+2i)x

23、+2+mi=0 至少有一个实根的实数m.思路分析 ： 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。解 ：设x0 为方程的一个实根，则有m= 2例 4.设 zcc,arg(z+2)=arg(z-2)=,求 z。思路分析:常规思路，设z=a+bi,由已知列关于a,b的方程求解；数形结合思想，由题设可知z+2对应的点a在射线 oa上，/ aox=, z-2对应的点b应在射线ob上，/ box=,z对应的点z应在ab中点上，|ab|=4, ab/ox轴,/ aob=故而易得：z=-1 +解：（略）i.例 5.设 x,ycr, zi=2-x+xi,-y)i,z2=y-1+(

24、已知 |zl| = |z2|,arg,(1)求)100=?(2)设z=,求集合 a=x|x=z 2k+z-2k,kcz中元素的个数。思路分析：理解已知，|zl| = |z2|,arg含义?=i,即 zi=z2i复数相等-x, y.(1)b：|zi| = |z2|, ,. | = 1,又arg=1|(cos+isin)=i,即z1=z2i,x=y=()100=(+i)100=(-i) 50=-i.简评 10 本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要解关于 x, y 的二元二次方程组，其运算肯定很麻烦；1+=0,关于此20在计算题中对1的立方根之一:z31

25、 =3,忆| = 1w=-i的特性要熟知即w3=3=1,=w2,1+w+w 2=0,i, z的特性:点设计问题是命题经常参考的着眼点。(2)思路分析:由(1)知2k z=cos+isinz2=w,，z2k+z-2k 可怎么理解呢？亿2)k+(z2)-k, z2k+w=-解法1:令i,则z2k+z-2k=wk+w-kw3=i,而 k c z, k=当 k=3m 时，z2k+z_2k=(w3)m+(w 3)-m=2,=-1,当 k=3m+1 时，z2k+z_2k=w3m w+w_3m w=w+w”=w+当 k=3m+2 时，z2k+z_2k=w3m w2+w_3m w-2=w2+w-2=w3 w-1+w_3 w=w-1+w=-1,综上可知，集合a中有2个元素。法 2：|z|=1,z2k+z-2k=z2k +2k=cos+isin+cos-isin=2cosa 中有 2 个元素。例 6.设复数 z=cos 0 +isin 0 (0 0 u ), w=并且,argw，求|w|二0o （ 93年全国理）思路分析：欲