一元二次不等式3月26日第一次空中课堂用0007实验003

1、第二节 一元二次不等式及其解法 【知识梳理知识梳理】 1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填 (1)(1)一元二次不等式的特征一元二次不等式的特征: : 一元二次不等式的二次项一元二次不等式的二次项( (最高次项最高次项) )系数系数_0._0. 不等于不等于 (2)(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: : 判别式判别式 =b=b2 2-4ac-4ac 00=0=000)+bx+c(a0) 的图象的图象 一元二次方程一元二次方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) 的根的根 (2)(

2、2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: : 判别式判别式 =b=b2 2-4ac-4ac 00=0=000)+bx+c(a0) 的图象的图象 一元二次方程一元二次方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) 的根的根 有两个相异实有两个相异实 根根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1x00=0=000(a0+bx+c0(a0 ) )的解集的解集 _ axax2 2+bx+c0+bx+c0 ) )的解集的解集 _ 在不等式在不等式axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)中中, ,如果二次项系

3、数如果二次项系数a0,a00=0=000(a0+bx+c0(a0 ) )的解集的解集 _R R axax2 2+bx+c0+bx+c0 ) )的解集的解集 _ _ x|xxx|xxxx2 2 x|xxx|xx1 1 x|xx|x1 1xxx0(a0)+bx+c0(a0)中中, ,如果二次项系数如果二次项系数a0,a0+bx+c0 (a0)(a0)的求解过程的求解过程 0?0? (-,x(-,x2 2)(x)(x1 1,+),+) R R 2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记 (x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0或或(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0型不等式解

4、法型不等式解法 不等式不等式 解集解集 ababab (x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0_ (x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0或或(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0型不等式解法型不等式解法 不等式不等式 解集解集 ababab (x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0 x|xax|xbxb_ (x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0_x|bxax|bxa x|xax|xax|xbx|xaxa x|axbx|axb 3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看 (1)(1)常用方法常用方法: :配方法配方法, ,因式分解因式分

5、解. . (2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想数形结合思想. . (3)(3)记忆口诀记忆口诀: :一元二次解集口诀一元二次解集口诀. . 大于取两边大于取两边, ,小于取中间小于取中间( (开口向上开口向上) ) 【小题快练小题快练】 1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判 (1)(1)若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0.(a0.() ) (2)(2)若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集是的解集是(-,x(-,x1 1)(x)(x2 2,+),+),则方程则方程axax2 2+bx+bx+ c=0c=0的两个根是的两个根是

6、x x1 1和和x x2 2.(.() ) (3)(3)若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)没有实数根没有实数根, ,则不等式则不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集的解集 为为R.(R.() ) (4)(4)不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a0a0且且=b=b2 2-4ac0.(-4ac0.() ) 【解析解析】(1)(1)正确正确. .由不等式由不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0.a0. (2)(2)正确正确. .由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是由一元二次

7、不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是 正确的正确的. . (3)(3)错误错误. .只有当只有当a0a0时才成立时才成立, ,当当a0a0+bx+c0的解集为空集的解集为空集. . (4)(4)错误错误. .还要考虑还要考虑a=0a=0的情况的情况, ,不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件上恒成立的条件 是是a=0,b=0,c0a=0,b=0,c0或或a0a0-3x-100的解集是的解集是 ( () ) A.(-2,5) B.(5,+)A.(-2,5) B.(5,+) C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+)C.(-,-2) D.(-,-2)(5

8、,+) 2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练 (1)(1)(必修必修5P805P80习题习题3.2A3.2A组组T1(3)T1(3)改编改编) )不等式不等式x x2 2-3x-100-3x-100的解集是的解集是 ( () ) A.(-2,5) B.(5,+)A.(-2,5) B.(5,+) C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+)C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+) 【解析解析】选选D.xD.x2 2-3x-10=(x-5)(x+2)0,-3x-10=(x-5)(x+2)0, 所以所以x5x5或或x-2.x-2. 故原不等式的解集为故原不等式的解集为(-,-2

9、)(5,+).(-,-2)(5,+). (2)(2)(必修必修5P815P81习题习题3.2B3.2B组组T2T2改编改编) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2(1(1m)xm)x +m=0+m=0没有实数根，则没有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_._. (2)(2)(必修必修5P815P81习题习题3.2B3.2B组组T2T2改编改编) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2(1(1m)xm)x +m=0+m=0没有实数根，则没有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_._. 【解析解析】若方程若方程mxmx2 2(1(1m)x+m=0

10、m)x+m=0没有实数根，没有实数根， 则则 解得解得mm1 1或或 答案：答案：( (, ,1)1) 22 m0, (1m)4m0, 1 m. 3 1 () 3 ， 3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试 (1)(2014(1)(2014大纲版全国卷大纲版全国卷) )设集合设集合M=x|xM=x|x2 2-3x-40,N=x|0 x5,-3x-40,N=x|0 x5, 则则MN=(MN=() ) A.(0,4 B.0,4) A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) C.-1,0) D.(-1,0 D.(-1,0 3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试 (1)

11、(2014(1)(2014大纲版全国卷大纲版全国卷) )设集合设集合M=x|xM=x|x2 2-3x-40,N=x|0 x5,-3x-40,N=x|0 x5, 则则MN=(MN=() ) A.(0,4 B.0,4) A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) C.-1,0) D.(-1,0 D.(-1,0 【解析解析】选选B.B.因为因为M=x|-1x4,N=x|0 x5,M=x|-1x4,N=x|0 x5, 所以所以MN=x|0 x4.MN=x|0 x4. (2)(2013(2)(2013重庆高考重庆高考) )关于关于x x的不等式的不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0

12、)的解集为的解集为 (x(x1 1，x x2 2) )，且，且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a=( )a=( ) 571515 A. B. C. D. 2242 (2)(2013(2)(2013重庆高考重庆高考) )关于关于x x的不等式的不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为 (x(x1 1，x x2 2) )，且，且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a=( )a=( ) 571515 A. B. C. D. 2242 5 a. 2 【解析解析】选选A.A.由题意知由题意知, , 不等式不等式x x2 2-2ax-8a-2ax

13、-8a2 20)0)的解集为的解集为( (2a,2a, 4a),4a),因为因为x x2 2-x-x1 1=15,=15,所以所以4a4a( (2a)=15,2a)=15,解得解得 【解题提示解题提示】(1)(1)把不等式化简变形，确定相应方程的两个根，然后把不等式化简变形，确定相应方程的两个根，然后 根据二次函数的性质得到不等式的解集根据二次函数的性质得到不等式的解集. . (2)(2)先求先求a a0 0时不等式的解集，再分时不等式的解集，再分a0a0和和a0a0两种情况求解两种情况求解 当当0a10a1a1时，不等式的解集为时，不等式的解集为 1 x |x1. a ) 1 ,1( a 【

14、互动探究互动探究】本例本例(2)(2)的不等式改为的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a0,-(a+1)x+a0,求其解集求其解集. . 【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)的不等式改为的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a0,-(a+1)x+a0,求其解集求其解集. . 【解析解析】原不等式可化为原不等式可化为(x-1)(x-a)0,(x-1)(x-a)1a1时时, ,解集为解集为x|1xa.x|1xa. 当当a=1a=1时时, ,解集为解集为 . . 当当a1a1时时, ,解集为解集为x|ax1.x|ax1a1时时, ,解集为解集为x|1xa;x|1xa; 当当a=1a=1时时

15、, ,解集为解集为 , , 当当a1a1时时, ,解集为解集为x|ax1.x|ax00，即，即 时，方程时，方程x x2 22ax2ax3 30 0的两根为的两根为 且且x x1 1xx2 2. . 所以所以 3a3 a3a3或 22 12 xaa3xaa3 ， ， 22 xaa3xaa3.或 【加固训练加固训练】设二次不等式设二次不等式axax2 2bxbx1010的解集为的解集为 则则abab的值为的值为( )( ) A.A.6 B.6 B.5 5 C.6 C.6 D.5D.5 1 ( 1) 3 ， ， 【加固训练加固训练】设二次不等式设二次不等式axax2 2bxbx1010的解集为的解

16、集为 则则abab的值为的值为( )( ) A.A.6 B.6 B.5 5 C.6 C.6 D.5D.5 【解析解析】选选C.C.由题意知，方程由题意知，方程axax2 2bxbx1 10 0的两根为的两根为1 1， 则有则有 解得解得 所以所以abab6 6，故选，故选C.C. 1 ( 1) 3 ， ， 1 3 ， b1 1, a3 11 1, a3 a3, b2, 考点考点2 2 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 知知考情考情 一元二次不等式的恒成立问题以及三个一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次二次”间的联系及综合间的联系及综合 应用是高考的热点应用是高考的热点, ,

17、而且常与函数、导数等知识交汇命题而且常与函数、导数等知识交汇命题, ,考查应用分考查应用分 类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力. . 明明角度角度 命题角度命题角度1:1:形如形如f(x)0(f(x)0)(xR)f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围求参数的取值范围 【典例典例2 2】(2013(2013重庆高考重庆高考) )设设0,0,不等式不等式8x8x2 2-(8sin)x+-(8sin)x+ cos 20cos 20对对xRxR恒成立恒成立, ,则则的取值范围为的取值范围为. . 明明角度角度 命题角度命题角度1:1:形如形如f(

18、x)0(f(x)0)(xR)f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围求参数的取值范围 【典例典例2 2】(2013(2013重庆高考重庆高考) )设设0,0,不等式不等式8x8x2 2-(8sin)x+-(8sin)x+ cos 20cos 20对对xRxR恒成立恒成立, ,则则的取值范围为的取值范围为. . 【解题提示解题提示】因为不等式恒成立因为不等式恒成立, ,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零, ,直接求解即直接求解即 可可. . 【规范解答规范解答】因为不等式因为不等式8x8x2 2-(8sin)x+cos20-(8sin)x+cos20对对xRxR恒成立恒成立, ,

19、所以所以=64sin=64sin2 2-32cos20,-32cos20,即即64sin64sin2 2-32+64sin-32+64sin2 20,0, 解得解得0sin (0).0sin (0). 因为因为0,0,所以所以 答案答案: : 1 2 5 0. 66 ， 5 0 66 ， 命题角度命题角度2:2:形如形如f(x)0(f(x)0(参数参数ka,b)ka,b)求求x x的取值范围的取值范围 【典例典例3 3】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意的对任意的k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+ + (k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的值

20、恒大于零的值恒大于零, ,则则x x的取值范围是的取值范围是. . 命题角度命题角度2:2:形如形如f(x)0(f(x)0(参数参数ka,b)ka,b)求求x x的取值范围的取值范围 【典例典例3 3】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意的对任意的k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+ + (k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,则则x x的取值范围是的取值范围是. . 【解题提示解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+xy=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40在在 k

21、 k-1,1-1,1上恒成立上恒成立, ,再利用一次函数函数值恒大于再利用一次函数函数值恒大于0 0所满足的条件即所满足的条件即 可求出可求出x x的取值范围的取值范围. . 【规范解答规范解答】因为任意因为任意k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x-2k+40+(k-4)x-2k+40 恒成立恒成立, , 所以所以f(k)=k(x-2)+xf(k)=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40为一次函数为一次函数, , 所以所以 所以所以 解得解得x1x3,x3, 所以所以x x的取值范围为的取值范围为(-,1)(3,+).(-,1)(3,+). 答案

22、答案: :(-,1)(3,+)(-,1)(3,+) f ( 1)0, f (1)0, 2 2 1(x2)x4x40, (x2)x4x40, 【易错警示易错警示】解答本题易出现以下两种错误解答本题易出现以下两种错误: : (1)(1)不会合理分析已知条件不会合理分析已知条件, ,这样无法转化成关于这样无法转化成关于k k的一次函数的一次函数, ,而导致而导致 题目无法求解题目无法求解. . (2)(2)解关于解关于x x的二次不等式组的二次不等式组, ,确定解集出现确定解集出现1x31x3等错误等错误. . 命题角度命题角度3:3:形如形如f(x)0(xa,b)f(x)0(xa,b)求参数范围求

23、参数范围 【典例典例4 4】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意对任意x-1,1,x-1,1,函数函数f(x)=f(x)= x x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,求求k k的取值范围的取值范围. . 命题角度命题角度3:3:形如形如f(x)0(xa,b)f(x)0(xa,b)求参数范围求参数范围 【典例典例4 4】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意对任意x-1,1,x-1,1,函数函数f(x)=f(x)= x x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,求求k k的取值范围的

24、取值范围. . 【解题提示解题提示】表示出对称轴表示出对称轴, ,然后根据区间分类讨论求解然后根据区间分类讨论求解. . 【规范解答规范解答】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的对称轴为的对称轴为 当当 即即k k6 6时时,f(x),f(x)的值恒大于零等价于的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)f(-1)=1+(k-4) (-1)+4-2k(-1)+4-2k0 0，解得，解得k k3 3，故，故kk ; ; 当当 即即2k62k6时时, , 只要只要 即即k k2 20 0，故，故kk . . k44k x. 22 4k 1 2 ，

25、 4k 11 2 ， 2 4k4k4k f ()()k442k0, 222 当当 即即k k2 2时时, ,只要只要f(1)=1+(k-4)+4-2kf(1)=1+(k-4)+4-2k0 0即即k k1 1， 故有故有k k1,1, 综上可知综上可知, ,当当k k1 1时，对任意时，对任意xx-1,1-1,1， 函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零. . 4k 1 2 ， 悟悟技法技法 解不等式恒成立问题的技巧解不等式恒成立问题的技巧 (1)(1)对于一元二次不等式恒成立问题对于一元二次不等式恒成立问题, ,恒大于恒大

26、于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的 图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方, ,恒小于恒小于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的 图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方. .另外常转化为求二次函数的最值另外常转化为求二次函数的最值 或用分离参数法求最值或用分离参数法求最值. . (2)(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元解决恒成立问题一定要搞清谁是主元, ,谁是参数谁是参数, ,一般地一般地, ,知道谁的知道谁的 范围范围, ,谁就是主元谁就是主元, ,求谁的范围求谁的范围, ,谁就是参数谁就是参数. . 通通一

27、类一类 1.(20151.(2015武汉模拟武汉模拟) )一元二次不等式一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都都 成立，则成立，则k k的取值范围是的取值范围是( )( ) A.(-3A.(-3，0) B.(-30) B.(-3，0 0 C.C.-3-3，0 0 D.(-D.(-，-3)-3)0 0，+)+) 2 3 2kxkx0 8 【解析解析】选选A.A.由一元二次不等式由一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成都成 立，则立，则 解得解得-3-3k k0 0 综上，满足一元二次不等式综上，满足一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成立的都成立的 k k的取值范围是的取值

28、范围是(-3(-3，0).0). 2 3 2kxkx0 8 2 k0, 3 k42k()0, 8 2 3 2kxkx0 8 2.(20152.(2015济宁模拟济宁模拟) )在在R R上定义运算上定义运算:xy=x(2-y),:xy=x(2-y),若不等式若不等式 (x+m)x1(x+m)x1对一切实数对一切实数x x恒成立恒成立, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是. . 2.(20152.(2015济宁模拟济宁模拟) )在在R R上定义运算上定义运算:xy=x(2-y),:xy=x(2-y),若不等式若不等式 (x+m)x1(x+m)x1对一切实数对一切实数x x恒成立恒成立,

29、,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是. . 【解析解析】由题意得由题意得:(x+m):(x+m) x=(x+m)(2-x)1,x=(x+m)(2-x)0,+(m-2)x+(1-2m)0, 因为对任意的实数因为对任意的实数x x不等式都成立不等式都成立, , 所以其对应的一元二次方程所以其对应的一元二次方程:x:x2 2+(m-2)x+(1-2m)=0+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式的根的判别式 =(m-2)=(m-2)2 2-4(1-2m)0,-4(1-2m)0,解得解得:-4m0.:-4m0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成恒成 立立, ,则实数则实数a

30、 a的取值范围为的取值范围为. . 3.(20153.(2015银川模拟银川模拟) )已知不等式已知不等式x x2 2-2x+a0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成恒成 立立, ,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为. . 【解析解析】令令f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a=(x-1)-2x+a=(x-1)2 2+a-1,+a-1,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单上单 调递增调递增, , 又不等式又不等式x x2 2-2x+a0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成立恒成立, , 所以所以f(2)0f(2)0恒成立恒成立,

31、 ,即即4-4+a0,4-4+a0,解得解得a0.a0. 故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是a0.a0. 答案答案: :a0a0 4.(20154.(2015洛阳模拟洛阳模拟) )若已知不等式若已知不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)对满足对满足|m|2|m|2的一切的一切 实数实数m m的取值都成立的取值都成立, ,则则x x的取值范围为的取值范围为. . 4.(20154.(2015洛阳模拟洛阳模拟) )若已知不等式若已知不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)对满足对满足|m|2|m|2的一切的一切 实数实数m m的取值都成立的取值都成立, ,则则x x的取值范围为的取值范围为. . 【解析解析】构造变量构造变量m m的函数求解的函数求解:2x-1m(x:2x-1m(x2 2-1)-1)即即:(x:(x2 2-1)m-(2x-1)0-1)m-(2x-1)0 构造关于构造关于m m的函数的函数f(m)=(xf(m)=(x2 2-1)m-(2x-1),|m|-1)m-(2x-1),|m|2 2即即-2-2m m2.2.