广东省惠州市2012届理科数学二模

1、广东省惠州市2012届高三模拟考试数学（理科）及答本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1 .答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。2 .选择题每小题选出答案后，用 2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。1 一参考公式：锥体的体积公式v - sh

2、,其中s是锥体的底面积，h为锥体的高.3一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合 m 4,5, 3mn 9,3，若 m i nm的值为（2.设a,b为实数，若复数a 1,b 33.0”是 a2充分非必要4.公差不为零的等差数列b. 3c. 3或d.u 1 a bib. a 3,b）条件b.必要非充分an的前n项和为c.c.充要d.非充分非必要sn,若24是23与27的等比中项，s832,3则sio等于（）5.b.24c. 60d. 90将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （

3、6.b.20c. 30d. 40函数 f(x) asin(x )(a 0,0,| | 一）的部分图象2如图示，则将yf（x）的图象向右平移 一个单位后，得到的6图象解析式为（sin2xb. ycos2xc. y sin(2xd . ysin(2x ) 67.已知双曲线x22y21的焦点为fi,f2 ,点m在双曲线上,uuuu uuuur且 mf1 mf2到x轴的距离为b.d.8.定义函数y f (x), xd ,若存在常数c,对任意的xid ,存在唯一的x2 df(xi) f(x2)则称函数f (x)在d上的均值为f (x) lg x, x10,100,则函数f (x) lgx在x 10,10

4、0上的均值为7a.10二、填空题(本大题共d. 107小题，分为必做题和选做题两部分.每小题 5分,(一)必做题：第 9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.9.某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是10.右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是11. f(x)x 12e , xlog3(x22,1), x 2.则f ( f (2)的值为12.由曲线yx3围成的封闭图形面积为. .213.已知 x_1_,5x35的展开式中的常数项为 t , f (x)是以t为周期的满分30分)偶函数，且

5、当x0,1时，f(x) x,若在区间1,3内，函数g(x)f(x) kx k有4个零点，则实数k的取值范围是(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14.(坐标系与参数方程选做题)x曲线y4cos2、3sin(为参数)上一点p到点a 2,0、a-stb 2,0 距离之和为.15 .(几何证明选讲选做题)如图，已知直角三角形 abc中,acb 90, bc 4, ac 3,以ac为直径作圆。交ab于d ,则cd第15题图c三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 .(本小题满分12分)设向量 rn (c

6、osx, sin x) , x (0, ), h (1,3).(1)若 1rm n 。5,求x的值;ir r r(2)设f (x) (m n) n ,求函数f(x)的值域.17 .(本小题满分12分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为r的函数：f1(x) x,23一，、一，、一 ，、一f2(x)x , f3(x)x , f4(x) sinx, f5(x)cosx , f6(x) 2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求

7、抽取次数的分布列和数学期望.18 .(本小题满分14分)(1)求四棱锥 p-abcd的体积;(2 )是否不论点 e在何位置，者b有 bd xae ?证明你的结论;(3)若点 e为pc的中点，求二面角 dae b的大小.已知四棱锥p-abcd的三视图如下图所示，e是侧棱pc上的动点.19 .(本小题满分14分)1已知数列an满足：ai 1, a2 1,且3 ( 1同2 2街2( 1)n 1 0, 2* n n .(1)求a3, a,，as, a6的值及数列an的通项公式；20.(本小题满分14分)2已知椭圆c:0a点构成的三角形的面积为(2 )设bna2n 1 a2n，求数列bn的前n项和sn

8、.-yy 1(a b 0)的离心率为y6,椭圆短轴的一个端点与两个焦 b35、2.3(1)求椭圆c的方程；(2)已知动直线 y k(x 1)与椭圆c相交于a、b两点.若线段ab中点的横坐标为1 ,求斜率k的值;27uur uuur已知点m ( ,0),求证：ma mb为定值.321.(本小题满分14分)1 in x已知函数f(x),(x 1)x(1)试判断函数 f (x)的单调性，并说明理由；k(2 )若f(x)恒成立，求实数k的取值范围;x 1(3)求证：(n 1)!2 (n 1)en 2,( n n ).1.由m i n 可知 3m 9或3m 3,故选2.1 2i3a bi1 i2313,

9、b 1.故选22d.3.2一因为 a a 00”能推出“ a2 a 0”,惠州市2012届高三模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准题号12345678答案adacbdbc选择题：共8小题，每小题5分，满分40分【解析】a.1000 10,100x1令 x1x2 10 100 1000，当 x1 10,100时,x2但“ a4.【解析】由2a4a3a7 得(ai3d)2 (a12d)(ai6d)得 2al 3d 0 ,5.6.再由s8所以so8 al10ai56 d 32 得 2al 7d290d260 .故选c【解析】安排方法可分为3+2及2+3两类，则共有【解析】由图像知a=1,4t11_

10、1262, aic2t,t3,a2 20种分法，故选b.2,由 sin(2 ) 1,| | 一得一23f(x)sin(2 x-）,则图像向右平移一个单位后66得到的图像解析式为y sin2( xsin(2 x),故选d.67 【解析】设f1mf28 【解析】uuuumf1uuuirm, mf22, m由|m1n -|f1f2 | d 解得 d 2f (xi) f (x2)lg(x1x2)uuuur 2f1f2n| 2学.故选b.从而对任意的x1 10,100,存在唯一的x210,100,使得人,乂2为常数。充分利用题中给出的常数10, 100.由此得c岭1x2) 3故选c.二.填空题:共7小题

11、，每小题5分，满分30分.其中1415题是选做题，考生只选做一题.9. 76010. 2711. 212.13.1210，4 .14. 89 【解析】男生x,女生y,则x y 1600, x y101600200 ,y10.【解析】答案：27.由框图的顺序，s=0, n=1,s=(s+ n)n=(0+1)*1=1 , n=n+1=2 ,依次循环s=(1+2)*2=6 , n=3,注意此刻 33仍然是否,所以还要循环一次s =(6+3)*3=27，n=4,1215.54分此刻输出s=27.1 111 【解析】f(f(2)f(1) 2 e1 1 2 .12【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为/

12、 23(x x )dx1 31 4、3x zx)11213【解析】按二项式公式展开得t 2,函数g(x) f(x) kxk有4个零点,等价于函数y1f (x)与y2k(x 1),再利用数形结合可得x 4cos14 【解析】曲线y 2.3 sin表示的椭圆标准方程为22x y16 12可知点a2,0、b 2,0为椭圆的焦点，故pa pb 2a 8 .15 【解析】adc为直径ac所对的圆周角，则adc90,在 rt acb 中,cd ab,由等面积法有 ab cd ca cb ,故得cd125三、解答题：本大题共 6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分

13、)ir r解：(1) q m n (cosx1, sin x 、3)由1m n . 5得cos2 x 2cos x 1 sin2 x 2 3 sin x 3 5整理得 cosx 3 sin x 显然 cosx 0 /. tan x3355分(0,ur q m(cosx1,sinx .3)ir1- f (x) (mr rn) n =(cosx 1, sinx , 3)(1, .,3) cosx 1.3sinx 3=2(立sinx 1cosx)224 = 2sin( x ) 4 31 sin(x 6)12sin( x ) 2610分2sin( x ) 466 ,即函数f （x）的值域为（3,6.1

14、2分17.（本小题满分12分）解：（1）六个函数中是奇函数的有3- ， 、f1(x) x, f3(x) x , f4(x) sinx,由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数.记事件a为任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数c2由题意知p(a) -4c2(2)可取 1,2,3,4p(c11) 4 c6p(c12) 4 c6cc5310p(c13)演320p(c14) cc6cc5c4 c；1201234p12310320120故的分布列为10分1 c 312 一210答:的数学期望为32207442720 412分19.（本小题满分14分）解：(1)由三视图可知，四棱

15、锥 pabcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pc，底面 abcd ,且pc= 2. 1分1122. vp abcd- sabcd gpc 12,即四棱锥 p- abcd 的体积为 2. 3分3333(2)不论点e在何位置，都有 bdxae. 4分证明如下：连结 ac, .abcd是正方形，bd ac. 5分. pc，底面 abcd，且 bd?平面 abcd ,bd pc.又acn pc = c, . bd,平面 pac. 7 分不论点e在何位置，都有 ae?平面pac.，不论点e在何位置，都有 bd xae. 8分 (3)解法1:在平面 dae内过点d作dflae于f,连结bf. ad=ab=

16、1, de = be=y12+ 12 =12, ae =ae = 3,rtaadertaabe ,从而adf0abf,bfxae.10分11分12分丁./dfb为二面角 d aeb的平面角. cl ad de 1 xj2 6 cl 乖在 rtmde 中，df = y=%t =玄=甘.又bd = 2,在 dfb中，由余弦定理得222dfbfbd1cos / dfb = -,2dfbf2./dfb=2, 13 分即二面角 d aeb的大小为崇 14分3解法2:如图，以点 c为原点，cd, cb, cp所在的直线分别为 x, y, z轴建立空间直角1,1).9分坐标系.则 d(1,0,0), a(1

17、,1,0), b(0,1,0), e(0,0,1),从而 da = (0,1,0), de=(1,0,1), ba = (1,0,0), be=(0,设平面 ade和平面abe的法向量分别为irurn1。丫1,乙,色vzait uurn1 da 0y10 u由 ir uuir，取 n11,0,1n1 de 0x1 z10uu urnn2 ba 0 由 uu uuun2 be 0x20 uuc，取 n20, 1, 1v2z20设二面角d aeb的平面角为 9,则cosur ur11分1.221 20= 2：即二面角 dae b的大小为 寻 33uu注：若取n20,1,1算出可酌情给分。319.（

18、本小题满分14分）11斛：（1）经计算 a3 3, a4，a55, a64813分14分3分21.（本小题满分14分）当n为奇数时,an 2 an 2 ,即数列an的奇数项成等差数列,a2n 1a1(n 1) 2,，1当n为偶数，an 2 -an,即数列an的偶数项成等比数列,2/1 n 1/1 /a2n a2 ( 一)( 一) 22因此，数列an的通项公式为ann1 - (2)2（n为奇数）（n为偶数）1 n(2) bn (2n 1) (-)n, 223n 1sn 1 - 3 (-)5 (-)(2n 3)()2222s1 ()23 ()35()4l(2n3) ( )nsn1 (-)3 j)5( )/l(2n3) j)22222分、两式相减,1町)1) 9分1 (2n 1) (1)n 21 n 1(2n 1) (-)n 1102(ysn(2)n12(2n1) (2)n 1(2n3) (i)n1123 (2n 3)(414分2分2x解：（1）因为a2 y_ b21(a b 0)满足 a2 b2 c2 ,c .1 6a 32 b 2c(，解得 a2 5，b25，、一 x5 ,则椭圆方程为352y53将y k(x1）代入土51 中得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 5 0因为由所以36k4 4(3k21)