12函数及其表示(1)

1、函数的概念函数的概念（1 1） 1.2.11.2.1 一、回顾初中学习的函数概念 设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么 就说y是x的函数，x叫做自变量 请你举出这样的例子 二、下面先看几个实例： 问题： （1）写出时间t的变化范围的集合A. A=t|1979t2001 （2）写出臭氧层空洞面积S的变化范围的集合B. B=S|0S26 由问题的实际意义可知，对于数集A中的每一个 时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的 臭氧层空洞面积S和它对应. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表1-

2、1中恩 格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以 来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。 时间（年）时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001 城镇居民家城镇居民家 庭恩格尔系庭恩格尔系 数（数（%） 53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9 表表1-11-1 问题： （1）写出时间t的变化范围的集合A. A=t|1991t2001 （2）写出恩格尔系数的变化范围的集合B. B=53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9, 39.2,37.9

3、 由问题的实际意义可知，对于数集A中的每 一个时间t,按照表中数据，在数集B中都有唯一 确定的恩格尔系数和它对应. 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域 （domain）；与x的值对应的y值叫作函数值，函数值的 集合 叫作函数的值域（range）. 值域是集合B的子集. 新课新课 1、函数定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从 集合A到集合B的一个函数（function），记作 y=f(x),xA Axxf)( 2对概念的理解 （1）定义域、值域和对应关系是决定函数

4、的三要素， 这是一个整体.一般来说值域由定义域和对应关系所确 定，因为对于定义域中的数x，按照确定的对应关系f， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和x对应. （2）记住y=f(x)的内涵.例如对于f(x)=x2，对应 关系f就是“取平方”，而对于 ，对应关 系f就是“开平方”，f就是函数符号，对于具体的函 数它有具体的涵义.函数符号还可以记作y=g(x),y=u(x) 等 xxf )( 3用函数定义理解初中学习过的函数 问：我们已经学过了那些函数？ 答：一次函数、二次函数和反比例函数. 请填写下表： 函数函数一次函数一次函数二次函数二次函数反比函数反比函数 a0 0a0 0 对应关系对应关系

5、 定义域定义域 值域值域 4请具体写出一个一次函数、二次函数和 反比例函数，并作出图象. 求求函函数数的的定定义义域域； 已已知知函函数数例例 )1( 2 1 3)(1. x xxf 课堂例题课堂例题 的的值值；，求求 已已知知函函数数例例 ) 3 2 ()3()2( 2 1 3)(1. ff x xxf .)1(),(,0)3( 2 1 3)(1. 的的值值求求时时当当 已已知知函函数数例例 afafa x xxf . 13 1 13. 2的定义域和求函数例 x yxy 课堂总结课堂总结 1用集合与对应的语言定义的函数. 2如何求简单函数定义域和函数值.求定义域时 通常要注意以下几点： （1

6、）开偶次方根需非负； （2）分母不等于零； （3）具体函数的定义域要求. 课后作业课后作业 课本第24页习题1.2A组第1题（1）（2）（3）（4）. 课本第44页复习参考题A组第6题. 函数的概念函数的概念（2 2） 1.2.11.2.1 复习导入复习导入 问：什么是函数？ 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从 集合A到集合B的一个函数（function），记作 y=f(x),xA 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域 （domain）；与x的值对应的y值叫作函数值，

7、函数值 的集合 叫作函数的值域（range）. Axxf)( 新课新课 一、求函数的值域 例1. 求下列函数的值域： 76)4(54)3( 8 )2(3)1( 2 xxyxy x yxy 二、区间的概念 例1. 求下列函数的值域（用区间表示 ）： 76) 4(54) 3( 8 ) 2(3) 1 ( 2 xxyxy x yxy 课堂例题课堂例题 三、函数的相等 两个函数是同一个函数，应该满足它们的定义域、 值域和对应法则都相同由于值域是由定义域和对应 关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并 且对应关系完全一致，这两个函数就相等. .)4( ;)3( ;)2( ;)()1( ?. 2 2

8、2 33 2 x x y xy xy xy xy 相等相等下列函数中哪个与函数下列函数中哪个与函数例例 我们还可以用列出表格的方式进行判断我们还可以用列出表格的方式进行判断 函数函数定义域定义域对应法则对应法则值域值域 RxyxR RR R xy 2 )( xy 33 xy 2 xy x x y 2 xyx xyx xyx xyx 0| xx 0| xx 0| yy 0| yy 0| yy 课堂小结课堂小结 1函数的值域由定义域和对应关系确定. 2如果两个函数的定义域、对应关系都相同， 则它们是同一个函数. 3.区间的概率 . 函数的表示法函数的表示法（1 1） 1.2.21.2.2 复习导入

9、复习导入 问：我们在初中接触过函数的哪一些表示法？ 答：解析法、图象法和列表法. 问：什么是解析法、图象法和列表法？ 答：解析法，就是用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系； 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应 关系； 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的 对应关系. 问：解析法、图象法和列表法的优点有哪些？ 复习导入复习导入 解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了 变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个 自变量的值所对应的函数值.这是中学阶段所研究的 主要的函数表示形式. 图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化， 相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来 研究函数的

10、某些性质.图象法在生产和生活中有许 多应用，如企业生产图、股市走势图等. 列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值.列表法在实际生产和 生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻 表等. 新课新课 一、函数的三种表示法 1我们结合具体的例子来思考如何表示函数？ 解析法 图象法 列表法 课堂例题课堂例题 例1.某种笔记本的单价是5元，买x(x1,2,3,4,5) 个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解：函数的定义域是数集1,2,3,4,5. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x，x1,2,3,4,5. 用列表法可将函数y=f(x)表示为

11、 笔记本数笔记本数x 1 12 23 34 45 5 钱数钱数y5 51010151520202525 用图象法可将函数y=f(x)表示为： 0 例2. 某儿童服装商店一年内销售额(万元)与一年 内12个月份的关系用一条折线连接起来如图2-2-1 请 用列表法表示图中的函数关系 课堂例题课堂例题 ? 图2-2-1 解： 在图象上找出月份与销售额的对应点， 用列表法表示为 x ( (月月) ) 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212 y( (万元万元) ) 4040 6060 3030 2020 4040 5050 3030 2525 5050 606

12、0 4040 4040 2思考： 1)所有的函数都能用解析式表示吗？ 2)三种表示法的特点各是什么，请用例子说明. 课堂例题 例3. 下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年六次数学测试的成绩及班级平均分表. 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况 做一个分析. 分析：从表中可以知道每位同学在每次测试 中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化 情况.如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系 用函数图象表示出来，那么就能比较直观地看到 成绩变化的情况. 解：从图中可以看到: 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平， 学习情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平 均

13、水平上下波动，而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平， 但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩 在稳步提高. 课堂练习课堂练习 1. 如图，把截面半径为25 cm的圆形木头锯成 矩形木料，如果矩形的一边长为x cm，面积为y cm2， 把y表示为x的函数. 25cm25cm x 课堂练习课堂练习 2. 下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合 得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事. （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家 里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到 一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行

14、进，后来为 了赶时间开始加速. 时间时间 离开家的距离离开家的距离 （A） 时间时间 离开家的距离离开家的距离 （B） 时间时间 离开家的距离离开家的距离 （C） 时间时间 离开家的距离离开家的距离 （D） 0 0 00 课堂小结课堂小结 表示函数常用的有三种方法，它们有各自的 优点和不足. 课后作业课后作业 1课本第24页习题1.2A组7、8、9题. B组第3题. 课后作业课后作业 2. 已知定义在R上的函数y=f(x)，其部分值的 对应关系如下表： x0 01 12 23 34 4 y-1-10 03 38 81515 则符合上面的关系的一个函数解析式是 1.2.21.2.2 函数的表示法

15、函数的表示法（2 2） 复习导入复习导入 问：函数有哪三种表示法？ 答：解析法、图象法和列表法. 复习导入复习导入 .)( 3 , 5 . 2(.2 1 . 245 . 3 : )( 的图象的解析式，并作出函数写出函数 时，当，例如 的最大整数，的函数值表示不超过函数 讲解作业： xf x xxxf 新课新课 一、分段函数 用解析法表示函数时，常常遇到这样的情形，一 个函数在整个定义域上不能建立统一的函数解析式， 自变量在不同的取值范围内，对应着不同的函数解析 式，这样的一类函数我们把它称为“分段函数” （segment-function） 课堂例题课堂例题 例1. 画出函数y=|x|的图象.

16、 . 0, , 0, xx xx y 我们有我们有解：由绝对值的概念，解：由绝对值的概念， 所以，函数y=f(x)的图象如下： -3-3 -2-2 -1-11 12 23 3x y 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 O 例2. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规 则指定： (1)5公里以内（含5公里），票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足 5公里的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写 出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 课堂例题课堂例题 课堂练习课堂练习 画出函数y=|x+1|的图象。 1,1, 1 1,1. xx

17、yx xx 由于这个函数的自变量x取x-1与x-1的解析 式不同，所以要分段讨论 ? 图2-2-3 其图象是图其图象是图2 2 函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”. 当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映 射的概念. 例如，欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首 都构成集合B，对应关系f：国家a对应它的首都b. 这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对 应关系f，在集合B中都有唯一确定的首都与之对应. 我们将对应f:AB称为映射. 新课新课 二、映射 一般地，我们有： 设A，B是两个非空集合，如果按某一个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集 合B中都有惟一确定的元素

18、y与之对应，那么就称对 应f:AB为从集合A到集合B的一个映射(mapping), 记作 f:AB 其中x叫做原象(inverse image)，与x对应的y 叫做象(image) 练习. 判断下列对应是不是从A到B的映射？ 课堂练习课堂练习 ? -1 ? 0 ? 2 ? 3 ? 求绝对值 ? - ? 1 ? B ? A ? 1 ? -2 ? 2 ? -3 ? 3 ? 1 ? 开平方 ? - ? 1 ? B ? A ? 1 ? -2 ? 2 ? -3 ? 3 ? 4 ? 1 ? 9 ? 求平方 ? - ? 1 ? B ? A ? 1 ? -2 ? 2 ? -3 ? 3 ? 4 ? 1 ? 9 ? 一种对应 ? r ? q ? p ? - ? 1 ? B ? A ? -2 ? 2 ? -3 ? 3 ? 1 ? 图2-1-3 ? 图甲 ? 图乙 ? 图丙 ? 图丁 图甲不是映射，因为集合A中的一个元素对应了 集合B中的两个元素； 图乙是映射，符合映射的定义； 图丙是映射，虽然，集合B中有的元素没有A中 的元素与之对应，但仍符合映射的定义； 图丁不是映射，因为集合A中的每一个元素都要 对应集合B中的元素，但是A中的元素-1,-2没有对 应B中的元素 例3. 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？ （1）集合A=P|P是数轴上的点，