§1.5、向量函数的积分[课堂使用]

1、1.51.5、向量函数的积分、向量函数的积分 1、体积分 设D是R3中的一个体积元V， 在V中定义的函数。 定义（体积分）定义（体积分）：设 是V的一个分割， ，任取点 ，作和式： 当 时，若和式的极限存在，且与V的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在V上的积分，记做 1, , n VV ( )f x 1 max, n VVV ii xV 1 ( ) n ii i f xV 0,Vn i x ( )f x ( ) V f x dV 在R3空间， 可以表示为：( )f x ( )( )( )( ) xyz f xfx ifx jfx k 则： ( )( )( )( ) xyz VVVV f x

2、 dVfx dV ifx dV jfx dV k ( ),( ),( ) T xyz VVV fx dVfx dVfx dV ( ),( ),( ) T xyz VVV fx dVfx dVfx dV 体积分的计算规则： (1) 设 为常向量， 为数量函数，则： a ( )u x ( )( ) VV au x dVa u x dV (2) 设 为常向量， 为向量函数，则： a ( )f x ( )( ) VV a f x dVaf x dV (3) 设 为常向量， 为向量函数，则： a ( )f x ( )( ) VV af x dVaf x dV 例例1：设V是平面 和三个坐标平面x=0,y

3、=0 z=0所围的区域，求 在V上的体积分。 1xyz ( , , )Trx y z 解： 如图表示，则：V ( ), T VVVV r x dVxdVydVzdV 分别计算三个分量的积分，首先： VV xdVxdxdydz 111 000 xx y xdxdydz 11 00 (1) x xdxxy dy 1 2 0 1 (1) 2 xxdx 1 24 同理： 1 24 VV ydVydxdydz 1 24 VV zdVzdxdydz 最后得： 111 ( ), 24 24 24 T V r x dV 1 1,1,1 24 T 1 2 1 0 0 1 2 x y xdxx y 2、曲面积分

4、设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面 ， 我们可以定义 沿 一侧的积分。 定义定义(曲面积分曲面积分)：设 在空间曲面 上有定义， 为 的任意一个分割，记 ，任取点 ，作和式： 当 时，若和式的极限存在，且与 的划分与 的选取无关，则称这个极限为 在 上的积分，记做 1, , n SS 1 max, n SSS ii xS 1 ( ) n ii i f xS 0,Sn S i x ( )f x ( ) S f xdS S S S S ( )f x S ( )f x 在R3空间， 可以表示为：( )f x ( )( )( )( ) xyz f xfx ifx jfx k ( )( )

5、S SS f xdSf xn dS 若 的法向量的单位向量为：S (cos ,cos,cos ) S n 则： S SSn 所以： ( )cos( )cos( )cos xyz S fxfxfxdS ( )cos( )cos( )cos xyz S fxdSfxdSfxdS ( )( )( ) xyz S fx dydzfx dxdzfx dxdy ( ) SS r xdSxdydzydxdzzdxdy 例2：设 是平面 和三个坐标平面 所围的闭曲面，求 沿 的外侧的曲面 积分。 S 1xyz0,0,xy 0z ( , , )Trx y z S 解： 如图表示， 是分别表示三角形 OAB,OB

6、C,OCA所围平面， 代表ABC的 所围三角形，则： S 123 ,S SS 4 S 对于 ，z=0，dz=0，则： 1 S 1 ( )0 S r xdS 同理： 23 ( )( )0 SS r xdSr xdS 对于 ，则： 4 S 44 ( ) SS r xdSxdydzydxdzzdxdy 44 (1) SS xdydzyz dydz 而： 444 SSS dydzydydzzdydz 4 11 00 y S ydydzydydz 1 0 (1)yy dy 1 6 4 11 00 y S zdydzdyzdz 1 6 4 11 00 1 2 y S dydzdydz 所以： 4 1111

7、 2666 S xdydz 同理： 44 1 6 SS ydzdxzdxdy 最后得： 1 ( ) 2 S r xdS 例3：设 是球面 ，求 沿球面外侧的积分。 S 222 1xyz( , , )Trx y z ( ) ( )( ) SS r x r xdSr xdS r 解：对于球面来说，其任意点 的法向分量为 所以，沿球面外侧的积分为： x 0 r S rdS 4 2 S rr d 3、曲线积分 设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线 ， 我们可以定义 在曲线 上的积分。 定义定义(曲线积分曲线积分)：设 为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲 线，任取分段点 ，把 分成n个有向

8、线段，定义 ，记 ，任取点 ，作和 当 ，和式的极限存在且和曲线的划分与 的 选取无关，则称这个极限为 沿曲线 的曲线积分，记作 01 , n AMMMB ( )f x 1 max, n lll 1 ( ) n ii i f xl 0,ln l ii xl ( ) l f xdl l ( )f x l l 1iii lMM i x l 在R3空间， 可以表示为：( )f x ( )( )( )( ) xyz f xfx ifx jfx k ( )( ) l ll f xdlf xn dl 若 的法向量的单位向量为：l (cos ,cos,cos ) l n 则： l lln 所以： ( )co

9、s( )cos( )cos xyz l fxfxfxdl ( )cos( )cos( )cos xyz l fxdlfxdlfxdl ( )( )( ) xyz l fx dxfx dyfx dz 例4：设 为平面 与三个坐标平面的交线所围的 闭曲线，曲线方向如图所示，求函数 沿曲线正向的积分。 l 1xyz ( )(,)Tf xzy xz yx 解： 由 围成， ,AB BC CA l ( ) ll f xdlzy dx xz dyyx dz 同理： ( )( )1 BCCA f xdlf xdl 最后得： ( )3 l f xdl ( ) ABAB f xdlzy dxxz dyyx dz

10、 AB ydxxdy 01 10 (1)(1)x dxy dy 01 10 (1)(1)1x dxy dy 对于 ，z=0，dz=0，则：AB 4、Gauss公式和Stokes公式 GaussGauss公式：公式：设空间曲面 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部 区域记为 ，设函数 在 和 上连续，在 内具有一阶偏导数，则： S V ( )( ( ),( ), ( )Tf xP x Q x R x S VV ( )( ) VS f xdSf x dV Stokes公式公式：设空间曲面 是光滑的有界曲面，其边界l是一条 分段光滑的闭曲线，设函数 在 和l上连续，在 上具有一阶偏导数，则： S ( )(

11、 ( ),( ), ( )Tf xP x Q x R x S S ( )( ) Sl f xdlf xdS 总 结 1、体积分 体积分的定义 体积分公式： 2、面积分 ( )( )( )( ) ( )( )( ) xyz VVVV xyz VVV f x dVfx dV ifx dV jfx dV k fx dVifx dV jfx dVk ( )( ) ( )( )( ) S SS xyz S f xdSf xn dS fx dydzfx dxdzfx dxdy 3、线积分 4、Gauss公式和Stokes公式 ( )( ) ( )( )( ) l ll xyz l f xdlf xn dl fx dxfx dyfx dz ( )( ) ( )( ) VS Sl f xdSf x dV f xdlf xdS 作业：作业： (1) 设l为正向圆周 ，向量