§3定积分的简单应用[课堂优讲]

1、定积分的简单应用定积分的简单应用 1 课堂节课 定积分的几何意义定积分的几何意义 （1 1）当）当f(x) 0f(x) 0时，时， 表示的是表示的是y=f(x)y=f(x) 与与x=a, x=bx=a, x=b和和x x轴所围曲边梯形的面积。轴所围曲边梯形的面积。 （2 2）当）当f(x) f(x) 0 0时，时，y=f(x)y=f(x)与与x=a, y=bx=a, y=b和和x x轴轴 所围曲边梯形的面积为所围曲边梯形的面积为 ( ) b a f x dx |( )|( ) bb aa f x dxf x dx （一）复习回顾（一）复习回顾 2课堂节课 - 1 -1 y x o 例例1.求如

2、图所示阴影部分图形的面积。求如图所示阴影部分图形的面积。 分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； 一部分是一部分是x轴上方的图形的面轴上方的图形的面 积（记为积（记为s1）; 另一部分是另一部分是x轴下方图形的面轴下方图形的面 积（记为积（记为s2）. 根据图像的性质：根据图像的性质： s1 =s2. 所以，所求阴影部分的面积是所以，所求阴影部分的面积是4. 1 0 sincos|(coscos0)2. 0 sxdxx （二）例题分析（二）例题分析 3课堂节课 5 4 2 o 思考：思考： 求如下图形中阴影部分面积 5 4 2 42 sin(sin

3、) 2 sxdxxdx 4课堂节课 例例2.求抛物线求抛物线y=x 与直线与直线y=2x所围成平面图所围成平面图 形的面积。形的面积。 2 o 2x 4 y 求出曲线求出曲线y= 与直线与直线y=2x的交点为（的交点为（0， 0）和（）和（2，4）。）。 2 x 设所求图形的面积为设所求图形的面积为S，根据图像可以看，根据图像可以看 出出S等于直线等于直线y=2x，x=2以及以及x轴所围成轴所围成 平面图形的面积（设为平面图形的面积（设为S1）减去抛物线）减去抛物线 y= ，直线，直线x=2以及以及x轴所围成的图形轴所围成的图形 的面积（设为的面积（设为S2）。）。 2 x 解解 : 画出抛物

4、线画出抛物线y= 与直线与直线y=2x所围成的平面图形，所围成的平面图形， 如图所示。如图所示。 2 x 5课堂节课 2 2333 2 0 2 118 |(20 ) 0333 sx dxx 12 84 4 33 sss 2 222 1 0 2 2|204 0 sxdxx 6课堂节课 思考：思考： 求曲线求曲线y= 与直线与直线x+y=2围成的图形的面积。围成的图形的面积。 小结：小结： 求平面图形的面积的一般步骤求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形；）根据题意画出图形； （2）找出范围，确定积分上、下限；）找出范围，确定积分上、下限； （3）确定被积函数；）确定被积函数； （4）

5、写出相应的定积分表达式；）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。 2 x 7课堂节课 抽象概括：抽象概括： 一般地，设由曲线一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线以及直线x=a，y=b所围成所围成 的平面图形（如图的平面图形（如图1）的面积）的面积S，则，则 ()(). bb aa sfx dxg x dx y xoab y=f(x) y=g(x) s y y=f(x) s y=g(x) abox x y oaby=g(x) y=f(x) s 图1 图2图3 想一想：想一想：上图中（上图中（2）、（）、（3）满

6、足上面的公式吗？）满足上面的公式吗？ 8课堂节课 例例3.求曲线求曲线x= 和直线和直线y=x-2所围成的图形所围成的图形 的面积。的面积。 2 y x=1 s1 s2 y ox421 2 -2 -1 1 y=x-2 x= 2 y 解：阴影部分面积解：阴影部分面积 S=S1+S2. S1由y= ，y= - ， x=1围成： xx S2由y= ，y= x-2 ， x=1围成： x 9课堂节课 1 1 0 (),sxx dx 4 2 1 (2),sxxdx 14 01 2(2).sxdxxxdx 9 2 10课堂节课 （三）练习（三）练习 1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平

7、 面图形的面积。 2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图 形的面积。 3.求曲线y=sinx(x )和y=cosx(x ) 围成的平面图形的面积。 3 44 ， 3 44 ， 11课堂节课 解解: 求两曲线的交点求两曲线的交点: (0,0),( 2,4),(3,9). 2 3 6 xy xxy 32 0 1 2 )6(xAdxxx 2 3 3 2 0 (6 )xAxx dx 2 xy xxy6 3 12课堂节课 13课堂节课 于是所求面积于是所求面积 21 AAA dxxxxA)6( 2 0 2 3 dxxxx)6( 32 3 0 . 12 253 说明：说明： 注意各积分区间

8、上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式 2 xy xxy6 3 1 A 2 A 14课堂节课 (2)变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 例例4：如果：如果1N能拉长弹簧能拉长弹簧1cm,为了将弹簧为了将弹簧 拉长拉长6cm,需做功（需做功（ ） A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J 所以做功就是求定积分所以做功就是求定积分 0 06 0 100 xdx0 18 . . kxF 则由题可得则由题可得 k100 。 略解：略解：设 A 说明：物体在变力说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并 且物体沿着与且物体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x= b点，点， 则变力则变力F(x) 所做的功为所做的功为: b a dxxFW)( 15课堂节课 （四）总结（四）总结 （1）利用定积分求所围平面图形的面积，）利用定