柯西不等式(优质课)[青苗教育]

1、柯 西 不 等 式 二维形式的柯西不等式 1技能教育 柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。 2技能教育 设设 为任意实数为任意实数. ., , ,a b c d ()() 2222 abcd 联联 想想 3技能教育 2222 22222222 2

2、2 2 ()() ()() () abcd a cb da db c acbdadbc acbd 研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系 4技能教育 二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式定理：二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立. 仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积平方的和的乘积不小于不小于乘积的和的平方乘积的和的平方 5技能教育 例例1：已知：已知a,b为实数，求证为实数，求证 2332244 )()(bababa 分清（找准）a,b,c,d 6技能教育 练习练习 1

3、1: :设设,1,a bRab 求证求证: : 11 4 ab . . 补全a,b,c,d 7技能教育 证明思路2：(构造向量法) 2222 ( , ),( , ), , , , . a bc d abcd acbd 设则 利用 两边平方后得证 2222 ()acbdabcd 柯西不等式的几何意义 8技能教育 “=”何时成立 2222 ()acbdabcd ,. kk 当且仅当 是零向量 或存在实数使时 等号成立 柯西不等式的几何意义 ( , ),( , ),a bc d 设则 9技能教育 10技能教育 变变形变变形, ,可得下面不等式可得下面不等式: : 11技能教育 例例2.求函数求函数

4、的最大值 xxy21015 变形，使之出现常数 2222 ()acbdabcd 12技能教育 122 0,0,1,21 32 ababab 设且求证： 变形，使之出现 条件中的表达式或表达式的倍数 练习2 13技能教育 22 0,0,2, 22 xy xyxy xy 例3.设且的最小值。 14技能教育 c d b a bdac d c b a bcad 不等式：不等式： 不等式：不等式： 22222 22222 ()()() ()()() abdcadbc abcdacbd 不不等等式式成成立立吗吗？ 与与不不等等式式 矛矛盾盾吗吗？它它们们之之间间有有什什么么区区别别？ 15技能教育 22

5、0,0,2, 22 xy xyxy xy 例3.设且的最小值。 灵活对调前后项 16技能教育 22 231,49.xyxy变式1：若求的最小值 22222 22 22 :(49)(11 )(23 )1, 1 49. 2 2131,23. 1 23 4 1231 6 1 49 2 xyxy xy xyxy x xy xy y xy 解 由柯西不等式 当且仅当即时取等号 由得 的最小值为 17技能教育 21 ,236.a bRab ab 变式2：设求的最小值 18技能教育 2、二维形式的柯西不等式的变式、二维形式的柯西不等式的变式 小 结 19技能教育 123123 , nn a aaab b b

6、b设是实数 则 222222 1212 ()() nn aaabbb 思 考 222222 123123 ()()aaabbb ? 20技能教育 21技能教育 114 ,abc abbcac 例4.若求证： 22技能教育 已知已知 a,b R，a+b=1, 12 ,xxR 求证：求证： 121212 axbxbxaxx x 23技能教育 24技能教育 l定理3：(二维形式的三角不等式) 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 11 )()(R, 221 yyxxyxyxyxyx则则设设 l证明思路1：(几何法) l证明思路2：(代数法) Ox y P1(x1,y1) P2(x2,y2)

7、 Ox y P1(x1,y1) P2(x2,y2) 2 21 2 2 2 221 2 1 2 221 2 2 2 22121 2 1 2 2 2 22121 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 1 2 1 22 22 2 )()( )( )( : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 yyxxyyyyxxxx yxyyxxyxyxyyxxyx yxyxyxyxyxyx 证明证明 25技能教育 ., ),()()( )( 等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当 二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式 bcad Rdcbabdacdcba 22222 1 ., .(4) 等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量 当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222 2)( bdacdcba 2222 3)( 小小 结结 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2