上海交通大学大学物理课件 6 刚体

1、1 第第 5 章章 刚体力学基础刚体力学基础 2 第第 5 章章 刚体力学基础刚体力学基础 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 5.2 刚体定轴转动刚体定轴转动定律定律 5.3 刚体转动惯量的计算刚体转动惯量的计算 5.4 定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律 5.5 定轴转动的功能关系定轴转动的功能关系 3 刚体：刚体： 既考虑物体的质量既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽又考虑形状和大小，但忽 略其形变的略其形变的物体模型物体模型。 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间 相对距离保

2、持不变的质点系。相对距离保持不变的质点系。 一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 1. 平动平动 刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 4 a. 定轴转动定轴转动 b. 定点转动定点转动 如：门、如：门、 窗的转动等。窗的转动等。 如：陀螺的转动。如：陀螺的转动。 3. 平面运动平面运动 可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平可以分解为刚体随质心的平移和

3、绕质心垂直于运动平 面的定轴转动。面的定轴转动。 刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。 如：车轮滚动。如：车轮滚动。 可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。 4. 刚体的一般运动刚体的一般运动 刚体上所有质点都绕同一直线刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴即转轴)作圆周运动。作圆周运动。 2. 转动转动 5 研究方法：研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上 各点具有相同的运动状态各点具有相同的运动状态(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研

4、 究刚体内某一究刚体内某一垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面(转动平面转动平面)上各点的运动，上各点的运动， 就可了解整个刚体的运动。就可了解整个刚体的运动。 转动平面内：取转心转动平面内：取转心O，参考轴，参考轴x， 1. 刚体的角位置与角位移刚体的角位置与角位移 2. 刚体的角速度刚体的角速度 角加速度角加速度 t d d 二、二、定轴转动的描述定轴转动的描述 角量角量 x O P r 转动平面转动平面 2 2 d d t P点：角位置点：角位置 角位移角位移 6 3. . 线量与角量的关系：线量与角量的关系： t v at d d 2 2 r r v an 的单位分别是 :SI.rad/s

5、rad/s,rad, 2 rv rv 角速度角速度 的方向：的方向： / 角加速度的方向：角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。 r t r d d r v r 7 对于对于匀角加速转动匀角加速转动，则有：，则有： t 0 2 2 1 00 tt )(2 0 2 0 2 式中：式中： 00 , 是是 t =0 时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置。 说明：说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的质点具有不同的线量。但不同位置的质点具有不同的线量。 匀加速直

6、线运动：匀加速直线运动： )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 xxavv attvxx atvv END 8 上次课主要内容上次课主要内容 质点的角动量定理质点的角动量定理、角动量守恒定律角动量守恒定律 质点系的角动量定理、质点系的角动量定理、角动量守恒定律角动量守恒定律 质点系内力矩的矢量和为零。质点系内力矩的矢量和为零。 t L M d d MFr t L i ii d d 刚体模型、刚体运动的基本形式刚体模型、刚体运动的基本形式 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角量角量 角位置角位置 角位移角位移 t d d 2 2 d d d d tt 角速度角速度 角加速度角加速度

7、9 刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程： t L M d d 1. 刚体是质点系，刚体所受关于原点刚体是质点系，刚体所受关于原点O 的力矩的力矩 等于合外力矩。等于合外力矩。 2. 只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩 Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被轴则被轴 承上支承力的力矩所抵消。轴承不随刚体转动，其对承上支承力的力矩所抵消。轴承不随刚体转动，其对 刚体的支承力是外力。刚体的支承力是外力。 5.2 刚体的定轴转动定理刚体的定轴转

8、动定理 一、刚体所受的力矩一、刚体所受的力矩 说明说明 o x y z F 取惯性坐标系取惯性坐标系 ， xyz o 轴为固定转轴z 10 F i 设第设第 i 个质元受外力个质元受外力 ， F i 并假定并假定 垂直于转轴。垂直于转轴。 iii FRM 轴轴z/ ii rooR x y z o o Ri F i i r i m i o o iii FrooM iii FrFoo 轴轴z 也被抵消也被抵消 iiiiiiz FrFrMsin 所受关于所受关于O 点的外力矩为：点的外力矩为： 刚体所受的关于定轴的合力矩：刚体所受的关于定轴的合力矩： i iii i izz FrMMsin 该质元到

9、转轴的距离该质元到转轴的距离 11 刚体所受的关于刚体所受的关于O 的角动量：的角动量： )( i iii i i vmRLL iiiiii RvLrRzv ),( iiii vmRL 共面共面 iiiz LLsin 二、刚体定轴转动的角动量二、刚体定轴转动的角动量 x z o o i R i r i m o o i v i L i y i iiii vmRsin iii vmr *关于刚体角动量的补充说明关于刚体角动量的补充说明 12 对整个刚体：对整个刚体： i izz LL JLz 称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量。的转动惯量。 为刚体关于转轴为刚体关于转轴 z 的角动量。的

10、角动量。 2 i i ir mJ i ii i iii rmvmr)( 2 13 t L M z z d d 得到：得到： t J M d d J t JM d d = 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律： 设转动过程中设转动过程中J不变不变， 则有：则有： 由质点系的角动量定理：由质点系的角动量定理： t L M d d 对刚体的定轴转动，有：对刚体的定轴转动，有： zz MMJL 而且而且 刚体在作定轴转动时，刚体的角刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。量成反比。 三、刚体定轴转动定律三、

11、刚体定轴转动定律 14 推广到推广到 J 可变可变情形：情形： JtMdd 00 000 dd JJJtM J J t t t t tM 0 d称为在称为在 t0 到到 t t 时间内作用在刚体时间内作用在刚体 上的上的角冲量角冲量或或冲量矩冲量矩。 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 是关于刚体定轴转动的动力学方程。是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与与 F = ma 比较比较) J t JM d d = 15 例例 5-1 定滑轮：定滑轮：m， r，J ，物体：，物体：m1， m2， 轻绳不能伸轻绳不能伸 长，无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。长，无相对滑动。求滑

12、轮转动的角加速度和绳的张力。 amTgm 111 amgmT 222 JrTrT 21 解：解： 由于考虑滑轮的质量，由于考虑滑轮的质量， 21 TT 问题中包括平动和转动。问题中包括平动和转动。 轮不打滑：轮不打滑： ra 联立方程，可解得联立方程，可解得 T1 ，T2，a， 。 此装置称阿特伍德机此装置称阿特伍德机可用于测量重力加速度可用于测量重力加速度 g gm 1 gm 2 1 T 1 T 2 T 2 T a a r 16 例例5-2 均质细棒：均质细棒： m ， l ，对水平轴，对水平轴O： ，铅，铅 直位置时，一直位置时，一水平力水平力 F 作用于距作用于距 O为为 l 处，计算处

13、，计算O 轴对棒轴对棒 的作用力的作用力( (称轴反力称轴反力) )。 2 3 1 mlJ F l O 解：解： JlF xx maNF c yy mamgN c 得：得： 1 2 3 l l FN x mgN y 设轴反力为设轴反力为 Nx，Ny。 由转动定律：由转动定律： 由质心运动定理：由质心运动定理： 当当 l =2l/3 时，时， Nx =0 ，此时的打击点称，此时的打击点称打击中心打击中心。 l 2l/3 时，时，Nx 0 ，l 2l/3 时，时， Nx B ，但两圆盘的质量与厚度相，但两圆盘的质量与厚度相 同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转

14、动惯量各为动惯量各为 JA和和 JB，则，则 （A）JAJB （B）JBJA （C）JA=JB （D）JA、JB哪个大，不能确定。哪个大，不能确定。 B 36 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1 和和 m2 的物体的物体 (m1 m2)，如图所示，如图所示. .绳与绳与 轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针 方向转动，则绳的张力方向转动，则绳的张力 C o 1 m 2 m (A) 处处相等处处相等. . (B) 左边大于右边左边大于右边. . (C) 右边大

15、于左边右边大于左边. . (D) 无法判断无法判断. . 37 定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理： t J M d d 定轴转动角动量守恒定律：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当刚体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保 持不变。持不变。 适用于刚体，非刚体和物体系。适用于刚体，非刚体和物体系。 5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0=M .0 d d t J 当当时，时， 有有 00 JJ 即即(常量常量) 38 一、一、 刚体刚体( J 不变不变)的角动量守恒的角动量守恒 若若

16、 M=0，则，则 J =常量，而刚体的常量，而刚体的 J 不变，故不变，故 的的 大小，方向保持不变。大小，方向保持不变。 此时，即使撤去轴承的支撑作用，此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作刚体仍将作 定轴转动定轴转动定向回转仪定向回转仪 可以作定向装置。可以作定向装置。 如：直立旋转陀螺不倒。如：直立旋转陀螺不倒。 o 39 二、非刚体二、非刚体( J 可变可变)的角动量守恒的角动量守恒 当当 J 增大，增大， 就减小，就减小，当当 J 减小，减小， 就增大。就增大。 常量常量 00 JJ 如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动，如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩恒星塌缩 (R0， 0)

17、(R， ) 中子星中子星 的形成等。的形成等。 40 三、物体系的角动量守恒三、物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的 力矩的矢量和为零，则系统（对共同转轴）的总角动量力矩的矢量和为零，则系统（对共同转轴）的总角动量 守恒：守恒： 常常量量 i ii J 如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。 41 u 0 人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：轴的角动量守恒： JJ 00 ) 2 1 ( 2 1 22 2 2 10 2 1 tumRmRm 2

18、 2 1 2 2 0 2 1t Rm um 例例5-11 水平转台水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角可绕竖直的中心轴转动，初角 速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿沿 半径向边缘走去，计算经时间半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。台转过了多少角度。 解：解： 42 t t 0 dd 台转过台转过的的角度角度： R m m ut m m u R 2/1 1 2 2/1 1 2 0 ) 2 ( arctan ) 2 ( 43 例例5-12 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：J1、 1 1 摩擦

19、摩擦轮轮2： J2 、静静 止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角速度。止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角速度。 两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒 2111 JJJ 21 11 JJ J 解：解： 试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较。啮合过程比较。 21 1 21 44 例例5-13 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于对通过盘心垂直于 盘面转轴的盘面转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、 J2，开始开始 1 1轮以轮以 0 0转动，然转动，然 后两轮正交啮后两轮正交啮(nie)(nie)合，求啮合后两轮的角速度。合，求啮合后

20、两轮的角速度。 两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分 别用角动量定理：别用角动量定理： 01111d JJtFr 222d JtFr 2211 rr 得：得： 2 21 2 12 2 201 1 rJrJ rJ 2 21 2 12 2101 2 rJrJ rrJ 解：解： 0 1 2 2 F 1 45 例例5-14 均质细棒：均质细棒：m1、 l ，水平轴水平轴O，小球：，小球：m2与棒与棒 相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保如图，设碰撞时间很短，棒保 持竖直，求碰后棒的角速度。持竖直，求碰后棒的角速度。 v v 系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守

21、恒 2 2 13 1 2 v lmlmlvm lm vvm 1 2 3 注意：注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。 只当碰撞在打击中心时，只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量才守恒：，系统的水平动量才守恒： 解：解： vmlmvmvmvm 212 1 2c12 3 2 2 2 13 1 3 2 2 )(v lmlmlvm v v O END 46 作业作业: P172 5-7，5-8, 5-9, 5-10，5-11 47 一、一、 刚体定轴转动的转动动能刚体定轴转动的转动动能 ii iiii rmvmE 222 k 2

22、 1 2 1 2 c mdJJ 22 ck 2 1 mdJE 2 c 2 c 2 1 2 1 mvJ 定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心 （绕定轴作圆周运动）的平动。（绕定轴作圆周运动）的平动。 2 2 1 J 2 c 2 1 mv 5.5 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 o c 由平行轴定理：由平行轴定理： 222 c 2 1 2 1 mdJ 48 二、力矩的功二、力矩的功 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不由于刚体内两质元的相对距离不 变，一对内力做功之和

23、为零。变，一对内力做功之和为零。 ijijij rfA dd i i AA i ij ijii rfFA d)( ijijij rrr d)(d ijijij frr 说明说明 r ij i r d j r d ijij rr d ij r d i j 0 49 iiiiii sFrFAdcosdd d i M 合外力对刚体做的元功：合外力对刚体做的元功： i i i i MAAddd 力矩的功：力矩的功： 0 dMA 功率：功率： t A P d d z P r i F i d i i r d i 设作用在质元设作用在质元 mi上的外力上的外力 位于转动平面内。位于转动平面内。 i F ii

24、ii rFdsin dM M t M d d 50 三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理 t JM d d 2 0 2 2 1 2 1 dd 00 JJJMA 合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。 d d d d d d J t J 如：转动的飞轮可作为储能和节能的装置。如：转动的飞轮可作为储能和节能的装置。 51 四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能 以地面为势能零点，刚体和地球以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：系统的重力势能： i ii gzmEp gmi z O i c r i ii m zm mg c

25、mgz 52 五、五、 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 将重力矩作的功用重力势能差表示：将重力矩作的功用重力势能差表示： )(d 0ccg 0 mgzmgzM 得得 ) 2 1 () 2 1 (d 2 00c 2 c 0 JmgzJmgzM 其中，其中，M是除重力以外的其它外力矩。是除重力以外的其它外力矩。 刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律 2 0 2 2 1 2 1 JJA 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 若若M=0，则则 常量 2 c 2 1 Jmgz 53 设设M是除是除保守保守力以外的其它外力矩。力以外的其它外力矩。 刚体的机械能守恒定律刚体的机械能

26、守恒定律 若若M=0，则则 常量 2 2 1 JE p 54 例例 5-15 均质细棒均质细棒m， l ，水平轴水平轴O，开始棒处于水平状态，开始棒处于水平状态， 由静止释放，求棒摆到竖直位置时：由静止释放，求棒摆到竖直位置时： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒的转动动能，棒的转动动能，(3) 质心的加速度，质心的加速度，(4) 轴的支反力。轴的支反力。 解：解： 0 22 1 2 l mgJ l g3 (2) 2 k 2 1 JE (3) 2 3 2 2 cn g l a F x F y 0 ct maFx(4) cn mamgFymgmgmgFy 2 5 2 3 (1) 2 l

27、mg 0 2 ct l a 55 例例5-16 细杆细杆A ： (m ， L)可绕可绕轴转动轴转动，水平处静止释放，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块物块B的速度的速度 vB B ，(2)细杆细杆A 的角速度的角速度 2 ， (3)细杆细杆A 转过的最大角度转过的最大角度 max 。 2 1 2 1 2 1 JmgL L g mLJ 3 3 1 1 2 解：解： 22 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 B B mvJJ LmvJJ L g gLvB 3 2 1 3 2 1 2 碰后反方向转动。

28、碰后反方向转动。 B A 56 max 2 2 cos1 2 1 2 1 mgLJ 1 .41 4 3 cos maxmax B A 57 例例5-17 圆锥体圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以，表面有浅槽，令以0转动，转动， 小滑块小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对块相对圆锥体的圆锥体的速度速度、圆锥体角速度。圆锥体角速度。 解：解： 系统机械能守恒：系统机械能守恒： )( 2 1 2 1 2 1 22222 0 RumJmghJ h R u 对竖直轴的角动量守恒：对竖直轴的角动量守恒： END ) 2 0 mRJJ （ 2 0

29、 mRJ J gh mRJ RJ u2 2 22 0 58 上次课主要内容上次课主要内容 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 刚体定轴转动的功能原理、机械能守恒定律刚体定轴转动的功能原理、机械能守恒定律 刚体定轴转动的转动动能、动能定理刚体定轴转动的转动动能、动能定理 2 0 2 2 1 2 1 dd 00 JJJMA ) 2 1 () 2 1 (d 2 00c 2 c 0 JmgzJmgzM 0=M .0 d d t J 当当时，时， 有有 00 JJ 即即(常量常量) 59 均匀细棒均匀细棒 oA 可绕通过其一端可绕通过其一端 o 而与棒而与棒 垂直的水平固定光滑轴转动垂直的水平固定光滑轴转动, ,如图所示如图所示. .今今 使棒从水平位置由静止开始自由下落使棒从水平位置由静止开始自由下落, ,在在 棒摆动到竖直位置的过程中棒摆动到竖直位置的过程中, ,下列情况哪下列情况哪 一种说法是正确的一种说法是正确的? ? (D) 角速度从大到小角速度从大到小, , 角加速度从小到大角加速度从小到大. . (C) 角速度从大到小角速度从大到小, , 角加速度从大到小角加速度从大到小. . (B) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角加速度