傅里叶变换和拉普拉斯变换

1、一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数在一对傅里叶变换。即f jf t e j tdtf t -1f j ej td2f t满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存（正变换）（5.1）（反变换）（5.2）但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号u t ,斜变信号 tu t ,单边正弦信号sin tu t等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号 eatu t a 0等，则根本就不存在傅里叶变换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求 从 到 区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则

2、需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号f t总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f t接入系统的时刻作为t 0的时刻（称为起始时刻），那么，在tv 0的时间内即有f t =0。我们把具有起始时 刻的信号称为因果信号。这样，式 （5-1）即可改写为(5-3)中有可能包含有冲激函数）,不过此时要在公式后0 f tejtdt式（5-3）中的积分下限取为0

3、,是考虑到在t 0的时刻f tt。但要注意，式（5-2）中积分的上下限仍然不变（因积分变量是面标以t0,意即只有在t0时f t才有定义，即f t-1f j ej td2t0(5-4a)或用单位阶跃函数 u t加以限制而写成下式，即1f t 一 f j ej td u t2 (5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数f t不满足绝对可积条件时，可采取给f t乘以因子e t ( 为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数f t e to今若能根据函数f t的具体性质，恰当地t选取 的值，从而使当t 时，函数f t e 0 ,即满足条件lim f t e t 0 ttt则函数f t e

4、即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e起着使函数f t收敛的作用，故称e t为收敛因子。设函数f t e t满足狄里赫利条件且绝对可积 (这可通过恰当地选取b的值来达到)，则根据式(5-3)有f j f te te j tdtf t e j tdtoo在上式中，j是以 j的形式出现的。令 s j , s为一复数变量，称为复频1率。的单位为s ,的单位为rad/so这样，上式即变为f j f te stdt0由于上式中的积分变量为 t,故积分结果必为复变量 s的函数，故应将f j 改写为(5-5)0 f test出复变量函数f s称为时间函数f t的单边拉普拉斯变换。f s

5、称为f t的像函数，f t称为f s的原函数。一般记为.1 ,f t进行拉普拉斯变换。利用式（5-4）可推导出求f s反变换的公式，即对上式等号两边同乘以et不是的函数而可置于积分号内。于是得td1st f s e d 2(5-6)由于式（5-6）中被积函数是,而积分变量却是实变量o所以欲进行积分，必须进行变量代换。故dsjd（因为任意实常数）故-ds且当时,时,j 。将以上这些关系代入式（5-6）即sts e ds(5-7a)符号l ?为一算子，表示对括号内的时间函数l1 jstf tf se ds u t写成2 j (5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数f s求与之

6、对应的原函数f t。一般记11为f t l f s符号l ?也为一算子，表示对括号内的像函数f s进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为f t f s 或 f s f t若f t不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为()，即f s f t estdt (5-8)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即f t f j而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复

7、频域之间的关系，即、复频率平面以复频率s j的实部 和虚部j为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：j轴以左的区 域为左半开平面；j轴以右的区域为右半开平面；j轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。 将s平面划分为这样三个区域， 对以后研究问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域便有可能上面已经指出，当函数f t乘以收敛因子e t后，所得新的时间函数f te满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视f t的性质与值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因lim f t e t 0tf s 0

8、f t e stdt 0 fte te j tdtt 由此式可见，欲使f s存在，则必须使f t e满足条件左半开平面右半开平面res式（5-9）中的0值指出了函数fte 的收敛条件。0的值由函数ft的性质确定。根据0 的值，可将s平面（复频率平面）分为两个区域，如图5-2所示。通过0点的垂直于轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，。称为收敛坐标。收敛轴以右的区域（不包括收敛轴在内）即为收敛域，收敛轴以左的区域（包括收敛轴在内）则为非收敛域。可见 f t或f s的收敛域就是在s平面上能使式（5-9）满足的的取值范围，意即只有在收敛域内取值，f t的拉普拉斯变换 f s才能存在，且一定存在。五

9、、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域（即s域）中的推广，因而也具有与傅里叶变换利用这的性质相应的一些性质。 这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系,些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。表5-1拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称f t u tf s1唯一性f tf s2齐次性af taf s3叠加性f1 tf2 tfi sf 2 s4线性af1ta2f2 taf1 sa2f2 s5尺度性f(at), a 0a a6时

10、移性ft to u t toto0lt0sf s e7时域微分a aatf t ef s a8复频微积分f tsf s f 0f ts2f s sf 0 f 0f n tn _n1,n2j-,n1 s f s s f 0 s f 0f 09复频移性tf ti df s1 dstftndnf s 1. nds10时域积分tf d0f s s11复频域f t tf s s积分12时域卷积f1 tf2 tf1 s f2 s13复频域副f1 t f2 t1 llf1s f2 s 27t14初值定理f t cos 0t1-f s j 0 f(s j 0) 2f t sin 0t12 f s j 0 f(

11、s j 0)15终值定理f 0 lim f t lim sf s t ot16调制定理flim f t lim sf stt 0利用式（5-5）和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数f t u t的拉普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数f s或原函数f t表5-2拉普拉斯变换表序号f t u tf s1t12n tns3u t1 s4t1s5tnn!n 1s6at e1 s a7te at12s a8tne atn!n 1s a9e j t1s j10sin t22s11cos ts22s12e at sin t22s a13e at cos ts

12、a22s a14tsin t2 s22 2s15tcos t22s22 2s16sh t22s17ch ts22s18(t nt)n 01dst1 e19f(t nt)n 0f0(s)dst1 e20u(t nt) u(t nt )n 0t,ss1 edsts 1 e七、拉普拉斯反变换从已知的像函数 f s求与之对应的原函数 f t ,称为拉普拉斯反变换。通常有两种方1部分分式法由于工程实际中系统响应的像函数f s通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦即是s的一个有理分式，即mm 1n s bmsbm1sd- nn 1s san 1sbs boa1s a0(5-10)式中，aoa1an 1

13、和b1 , b2 ,，bm等均为实系数；m和n均为正整数。故可将像函数f s展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数f t。欲将f s展开成部分分式，首先应将式 (5-10)化成真分式。即当 m n时，应先用除no s法将fs表示成一个 s的多项式与一个余式 d s 之和，即bqm nm nsb1 s b0 -n-s-n-sd s ,这样余式d s已为一真分式。对应于多项式q s bm nsb1 s b0各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激函数本身。所以，在下面的分析中，均按研究：n sd s已是真分式的情况讨论。分两种情况分母多项式d snan 1sa1s a00的根为

14、 n个单根p1 p2 pi pn。由于d s 0时即有f s,故称d s 0的根pi(i=1,2,n)为f(s)的极点。此时可将d(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即mm 1bmsbmsbis bk1sp1k2sp2sp1 sp2kis pispispnknpn(5-11)式中，ki(i=1,2,n)为待定常数。可见，只要将待定常数 ki求出，则的原函数f t即可通过查表5-2中序号求得为f tk1ep1t32tkiepitknepntkiepitu待定常数ki按下式求得，即ki6的公式而tspis pi(5-12)现对式(5-12)推导如下：给式(5-1

15、1)等号两端同乘以pif s s pi 一 sksp1pik2spis p2kikns pnpi由于此式为恒等式,故可取pi代入之，并考虑到p1p2p2 pipnpi,故得:f s s pi于是得s pikikif s spipis pi证毕。*2 留数法(residue method)f t根据式（5-7）知，拉普拉斯反变换式为stse dst 0这是c10的直线ab（亦即直就转化为求被积函数stse在f s的全部极点上留数的代数和，即2 j1 o2 j ab crstseds1f s estds2 j ab121f sestdscrf s estdsres pif s estds式中 ab

16、f s estds个复变函数的线积分，其积分路径是s平面内平行于j轴的 线ab必须在收敛轴以右），如图5-4所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论知，可将求此线积分的问题，转化为求f s的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的 代数和。这种方法称为留数法，也称围线积分法。闭合回线确定的原则是：必须把全部极点都包围在此闭合回线的内部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线 ab与直线ab左侧半径r的圆cr所组成，如图54所示。这样，求拉普拉斯反变换的运算,cr f s estdsr i 1,2,为 f s的极点，亦即respi为极点pi的留数。以下分两种情况介绍留数的具体求法。（1）若曾为d s 0的单根即为f s的一阶极点,则其留数为res pif s es